Teoría de la deformación finita
La distancia entre dos partículas cualesquiera cambia si y solo si se ha producido una deformación.
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}
está relacionado tanto con la configuración de referencia como con la actual, expresada según los vectores unitarios
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}
, es decir, la deformación en puntos vecinos, transformando (mediante una aplicación lineal) un elemento lineal del material que conecta la configuración de referencia de cada punto con su configuración actual o deformada, asumiendo la continuidad de la función
, es decir, considerando que es diferenciable respecto a la posición
Así, se tiene que Considérese una partícula o punto material
en la nueva configuración viene dada por la posición del vector
es el vector de desplazamiento relativo, que representa el movimiento del punto
se puede escribir como Los cálculos que implican la deformación de un cuerpo dependiente del tiempo a menudo requieren que se calcule una derivada respecto al tiempo del gradiente de deformación.
Una definición geométricamente consistente de dicha derivada requiere una incursión en la geometría diferencial,[2] aunque en el presente artículo no se considera este tipo de problemas.
Si el gradiente de la velocidad espacial es constante en el tiempo, la ecuación anterior se puede resolver exactamente para obtener suponiendo que
Existen varios métodos para calcular el valor exponencial anterior.
distintos de cero, y tensores simétricos, es decir,
Esta descomposición implica que la deformación de un elemento lineal
; o de manera equivalente, aplicando primero una rotación rígida
es invertible con un determinante positivo, es un corolario de la descomposición en valores singulares.
es la normal exterior al elemento de área en la configuración actual, mientras que
La fórmula correspondiente para la transformación del elemento de volumen es:
Sin embargo, esa nomenclatura no es universalmente aceptada en la mecánica aplicada.
un sistema de coordenadas cartesiano definido en el cuerpo no deformado y sea
Son admisibles muchas otras definiciones diferentes de tensores
es el cambio en el ángulo entre dos elementos lineales que originalmente eran perpendiculares a las direcciones
, se obtiene que La deformación cortante, o cambio de ángulo entre dos elementos lineales
Estas condiciones permitidas dejan el cuerpo sin espacios ni superposiciones no físicas después de una deformación.
La mayoría de estas condiciones se aplican a cuerpos simplemente conexos.
Se requieren condiciones adicionales para los límites internos en el caso de múltiples cuerpos conexos.
La condición necesaria y suficiente para la existencia de un campo
compatible sobre un cuerpo simplemente conexo es que Las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un campo
[15] Janet Blume encontró las condiciones de compatibilidad para campos
