Material hiperelástico
Un material hiperelástico o material elástico de Green[1] es un tipo de material elástico para el cual la ecuación constitutiva que relaciona tensiones y deformaciones puede obtenerse a partir de una potencial elástico
o energía elástica de deformación que sea función de estado.
En un material elástico el tensor de tensiones (2º tensor de Piola-Kirchhof)
puede relacionarse con el tensor de deformación de Green-Cauchy
mediante la relación: (1)
{\displaystyle \mathbf {T} _{2PK}=2{\frac {\partial W_{e}}{\partial \mathbf {C} }},}
Los materiales hiperelásticos son un caso particular de material elástico de Cauchy.
Aunque la expresión (1) es muy particular y es sólo un caso posible de ecuación constitutiva, sorpredentemente puede demostrar que cualquier material elástico físicamente razonable es de hecho hiperelástico (por lo que realmente los materiales hiperelásticos más que un caso muy específico, son bastante generales).
La demostración de la universalidad de la hiperelasticidad requiere considerar el segundo principio de la termodinámica y su aplicación a problemas termomecánicos.
En el contexto de los problemas termomecánicos el principio de Coleman-Noll postula que las ecuaciones constitutivas de un sólido deformable satisfacen el segundo principio de la termodinámica.
Si se acepta como axioma el principio de Coleman-Noll puede probarse que todo material elástico es de hecho hiperelástico.
En ese contexto el segundo principio puede expresarse en forma integral, expresión que recibe el nombre de desigualdad de Clausius-Duhem: (2a)
{\displaystyle \int _{K}{\frac {{\dot {Q}}(\mathbf {r} ,t)}{\theta (\mathbf {r} ,t)}}dV+\int _{\partial K}{\frac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} _{S}}{\theta (\mathbf {r} ,t)}}dS\leq {\frac {d}{dt}}\int _{K}s(\mathbf {r} ,t)dV}
Donde: La expresión anterior se puede escribir localmente como ecuación diferencial: (2b)
Pues que para problemas termomecánicos se tiene la siguiente relación entre la varición de la energía interna
, el calor generado, el flujo de calor y la potencia elástica: (3)
{\displaystyle {\dot {u}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\sigma _{ij}{\dot {C}}_{ij}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} +{\dot {Q}}}
Substituyendo (3) en (2) conduce a: (4)
{\displaystyle \theta {\dot {s}}-{\dot {u}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\sigma _{ij}{\dot {C}}_{ij}+{\frac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\theta }{\theta }}\geq 0}
Substituyendo en esta ecuación la energía libre de Helmholtz
f = u − s θ
se puede ver que la igualdad anterior sólo se cumple para un proceso arbitrario si el tensor tensió satisface (1).
Existe una gran variedad de ecuaciones constitutivas para materiales hiperelásticos, estos tipos de materiales se pueden clasificar como: El material de Saint-Venant–Kirchhoff es el modelo más simple de material hiperelástico.
En él el potencial elástico es cuadrático, y es el modelo material usado para un material isótropo lineal sometido a pequeñas deformaciones (de hecho cualquier material elástico sometido a pequeñas deformaciones, se aproxima asintóticamente a este modelo).
La ecuación constitutiva entre la tensión y la deformación tiene la forma:
{\displaystyle \mathbf {S} =\lambda {\mbox{tr}}(\mathbf {E} )~\mathbf {I} +2\mu \mathbf {E} }
donde: Las ecuaciones anteriores pueden ser derivadas a partir del siguiente potencial o función de energía de deformación para este modelo es:
Obteniéndose el tensor tensión (segundo tensor de Piola-Kirchhoff) puede ser derivado de la relación:
{\displaystyle \mathbf {S} ={\cfrac {\partial W}{\partial \mathbf {E} }}}
