En mecánica de sólidos, un material del Mooney–Rivlin[1][2] es un tipo de material hiperelástico modelizable mediante una función densidad de energía de deformación
que es una combinación lineal de dos invariantes algebraicos del tensor tensor deformación de Cauchy-Green izquierdo
El modelo de Mooney-Rivlin fue propuesto inicialmente por Melvin Mooney en 1940 y fue reformulado en términos de invariantes algebraicos por Ronald Rivlin en 1948.
La función densidad de energía de deformación para un material de Mooney-Rivlin incompresible viene dada por:[3][4]
son constantes que se determinan empíricamente para cada material concreto y
son el primer invariante (invariante lineal) y segundo invariante (invariante cuadrático) del componente unimodular del tensor de Cauchy-Green:[5]
es el gradiente de deformación.
El material de Mooney-Rivlin es un caso especial de "material de Rivlin generalizado" (también llamado modelo hiperelástico polinómico[6]) que tiene la forma:
{\displaystyle W=\sum _{p,q=0}^{N}C_{pq}({\bar {I}}_{1}-3)^{p}~({\bar {I}}_{2}-3)^{q}+\sum _{m=1}^{M}D_{m}~(J-1)^{2m}}
son constantes materiales relacionadas con la respuesta frente a distorsión o cambio de forma y
son las constantes elásticas relacionadas con el cambio de volumen.
Para un material compresible de Mooney-Rivlin
se obtiene un material neohookeano, un caso especial de material de Mooney-Rivlin.
Por consistencia con la elasticidad lineal en el límite de las pequeñas deformaciones, es necesario que se satisfaga la condición:
es el módulo de compresibilidad y
es el módulo de elasticidad transversal.
El tensor de tensiones de Cauchy de un material hiperelástico compresible que posee un estado natural (sin tensión) viene dado por:
Para un material de Mooney-Rivlin compresible,
A partir de lo anterior puede demostrarse, que la presión viene dada por
{\displaystyle p:=-{\tfrac {1}{3}}\,{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {\partial W}{\partial J}}=-2D_{1}(J-1)\,.}
La anterior ecuación se escribe frecuentemente como:
donde: Para un material de Mooney-Rivlin incompresible con
Entonces, del teorema de Cayley-Hamilton se sigue que:
En términos de los alargamientos principales, el tensor de tensiones de Cauchy para un material hiperelástico incompresible viene dada por:
para un material de Mooney-Rivlin incompresible:
Entonces las expresiones para el tensor de tensiones de Cauchy se expresan como:
La respuesta elástica de materiales de tipo goma o caucho se modeliza frecuentemente como un material de Mooney—Rivlin model.
se determinan experimentalmente ajustando los datos experimentales mediante las ecuaciones anteriores.
Los ensayos recomendados son el ensayo uniaxial de tracción, la compresión y tracción equibiaxiales, la compresión uniaxial, y para la respuesta de cortante la tracción y compresión planas.
Los dos parámetros del modelo de Mooney–Rivlin proporcionan respuestas adecuadas para deformaciones inferiores al 100%.