A veces se usa el término constante elástica también para referirse a los coeficientes de rigidez de una barra o placa elástica.
Los materiales ortótropos requieren nueve, y otro tipo de sólidos elásticos lineales con menos simetrías pueden requerir hasta 21 constantes elásticas.
Debido a esa propiedad puede probarse que el comportamiento de un material elástico homogéneo isótropo queda caracterizado por solo dos constantes elásticas.
En diversos campos son comunes las siguientes elecciones de las constantes: Así tenemos un total de seis constantes elásticas comúnmente usadas: E, ν, K, G, λ y μ.
Obviamente, todos estos pares de constantes elásticos están relacionados, como se resume en la siguiente tabla: Expresadas en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson las ecuaciones constitutivas son:
Algunos materiales elásticos son anisótropos, lo cual significa que su comportamiento elástico, en concreto la relación entre tensiones aplicadas y deformaciones unitarias es diferente para diferentes direcciones.
Los materiales elásticos ortótropos presentan una forma común de anisotropía, en la que su comportamiento elástico queda caracterizado por una serie de constantes elásticas asociadas a tres direcciones mutuamente perpendiculares.
El comportamiento elástico de un material ortótropo queda caracterizado por nueve constantes independientes: 3 módulos de elasticidad longitudinal (Ex, Ey, Ez), 3 módulos de rigidez (Gxy, Gyz, Gzx) y 3 coeficientes de Poisson (νxy, νyz, νzx).
De hecho para un material ortótropo la relación entre las componentes del tensor tensión y las componentes del tensor deformación viene dada por:
{\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}\qquad (*)}
Como puede verse las componentes que gobiernan el alargamiento y las que gobiernan la distorsión están desacopladas, lo cual significa que en general es posible producir alargamientos en torno a un punto sin provocar distorsiones y viceversa.
Las ecuaciones inversas que dan las deformaciones en función de las tensiones toman una forma algo más complicada:
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{xy}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{yz}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{pmatrix}(1-\nu _{yz}\nu _{zy})E_{x}&(\nu _{xy}+\nu _{xz}\nu _{zy})E_{y}&(\nu _{xz}+\nu _{xy}\nu _{yz})E_{z}&&&\\(\nu _{yx}+\nu _{yz}\nu _{zx})E_{x}&(1-\nu _{zx}\nu _{xz})E_{y}&(\nu _{yz}+\nu _{yx}\nu _{xz})E_{z}&&&\\(\nu _{zx}+\nu _{zy}\nu _{yx})E_{x}&(\nu _{zy}+\nu _{zx}\nu _{xz})E_{y}&(1-\nu _{xy}\nu _{yx})E_{z}&&&\\&&&G_{xy}&0&0\\&&&0&G_{zx}&0\\&&&0&0&G_{yz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{xy}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yz}\end{pmatrix}}}
viene dada por la relación: De hecho la matriz anterior, que representa al tensor de rigidez es simétrica ya que de las relaciones (*) se la simetría de la anterior matriz puesto que: Un caso particular de material ortótropo es el de los materiales transversalmente isótropos en los que existe una dirección preferente o longitudinal y todas las secciones perpendiculares a la misma son mecánicamente equivalentes.
Así, en cualquier sección transversal a la dirección diferente habrá isotropía y el número de constantes elásticas independientes necesarias para caracterizar dicho material será 5 y no 9, como en el caso de un material ortotropo general.
Estas constantes se relacionan con las demás constantes generales de un material ortótropo mediante estas relaciones:
Durante las últimas décadas del siglo XIX existió una polémica entre Cauchy, Green, Poisson, Voight y otros[1] sobre el número máximo que caracterizaba un material elástico anisótropo.
Este modelo con menos constantes elásticas se conoce como el modelo rariconsonante o la teoría rariconsonante, apoyada por Poisson, lord Kelvin, Lamé frente a la hipótesis multiconsonante (con 21 parámetros independientes) sostenida por Green, Stokes o Kirchhoff.
Los experimentos decisivos de Voight demostraron que existen materiales que requieren una descripción multiconsonante y por tanto con 21 constantes.
Sin embargo, experimentalmente se han encontrado también materiales con solo 15 constantes independientes.
Para cuerpos elásticos lineales anisótropos más generales, las relaciones entre tensión y deformaciones pueden seguir expresándose mediante un tensor de constantes elásticas o tensor de rigidez dado por:
En tres dimensiones puesto que cada uno de los índices i, j, k y l puede tener 3 valores diferentes (x, y o z), existen 34 componentes del tensor Cijkl, sin embargo, de la simetría de las componentes de tensión y deformación deben cumplirse las siguientes relaciones entre componentes:
Estas 21 componentes pueden escribirse en forma matricial del siguiente modo:
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{xy}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{yz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{xxxx}&C_{xxyy}&C_{xxzz}&C_{xxxy}&C_{xxxz}&C_{xxyz}\\C_{yyxx}&C_{yyyy}&C_{yyzz}&C_{yyxy}&C_{yyxz}&C_{yyyz}\\C_{zzxx}&C_{zzyy}&C_{zzzz}&C_{zzxy}&C_{zzxz}&C_{zzyz}\\C_{xyxx}&C_{xyyy}&C_{xyzz}&C_{xyxy}&C_{xyxz}&C_{xyyz}\\C_{xzxx}&C_{xzyy}&C_{xzzz}&C_{xzxy}&C_{xzxz}&C_{xzyz}\\C_{yzxx}&C_{yzyy}&C_{yzzz}&C_{yzxy}&C_{yzxz}&C_{yzyz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{xy}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yz}\end{pmatrix}}}
Las relaciones anteriores se han escrito siempre en forma de matriz, pero para los diferentes tipos de sólidos es posible escribir también las componentes tensoriales explícitas.
Para un sólido isótropo el tensor de constantes elásticas en coordenadas cartesianas viene dado por:
{\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu (\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})\,}
En un sistema de coordenadas curvilíneas (esféricas, cilíndricas, etc.) más general el tensor anterior es simplemente:
{\displaystyle C_{ijkl}=\lambda g_{ij}g_{kl}+\mu (g_{ik}g_{jl}+g_{il}g_{jk})\,}
es el tensor métrico asociado a las coordenadas curvilíneas correspondientes.