Coeficiente de Poisson
El coeficiente de Poisson (denotado mediante la letra griega
El nombre de dicho coeficiente se le dio en honor al físico francés Simeon Poisson.
Para los materiales blandos,[1] como el caucho, donde el módulo aparente es mucho mayor que el módulo de cizallamiento, el coeficiente de Poisson es cercano a 0,5.
El coeficiente de Poisson es una medida del efecto Poisson, el fenómeno por el cual un material tiende a expandirse en direcciones perpendiculares a la dirección de compresión.
Por el contrario, si el material se estira en lugar de comprimirse, normalmente tiende a contraerse en las direcciones transversales a la dirección de estiramiento.
Es frecuente observar que cuando se estira una goma elástica, ésta se vuelve notablemente más fina.
De nuevo, la relación de Poisson será la relación entre la contracción relativa y la expansión relativa y tendrá el mismo valor que el anterior.
Un material isótropo perfectamente incompresible deformado elásticamente a pequeñas deformaciones tendría una relación de Poisson de exactamente 0,5.
La relación de Poisson del corcho es cercana a 0, mostrando muy poca expansión lateral cuando se comprime, y la del vidrio está entre 0,18 y 0,30.
Algunos materiales, como algunas espumas poliméricas, los pliegues de origami,[5][6] y ciertas células pueden presentar un coeficiente de Poisson negativo, y se denominan augéticos.
Suponiendo que el material es estirado o comprimido en una sola dirección (el eje x en el diagrama adjunto): where una variación dimensional positiva significa extensión mientras que una negativa significa contracción.
en las direcciones y y z, las deformaciones diagonales infinitesimales vienen dadas por Si la relación de Poisson es constante a través de la deformación, integrando estas expresiones y utilizando la definición de la relación de Poisson se obtiene Resolviendo y exponenciando, la relación entre
Si una varilla con diámetro (o anchura, o espesor) d y longitud L está sometida a tensión de forma que su longitud cambiará en ΔL entonces su diámetro d cambiará en: La fórmula anterior sólo es válida en el caso de deformaciones pequeñas; si las deformaciones son grandes, puede utilizarse la siguiente fórmula (más precisa): donde El valor es negativo porque disminuye con el aumento de la longitud.
Si se toma un prisma mecánico fabricado en el material cuyo coeficiente de Poisson pretendemos medir y se somete este prisma a una fuerza de tracción aplicada sobre sus bases superior e inferior, el coeficiente de Poisson se puede medir como: la razón entre el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la dirección de la carga aplicada, dividido en el alargamiento longitudinal producido.
Para un material isótropo elástico perfectamente incompresible, este es igual a 0,5.
Termodinámicamente puede probarse que todo material tiene coeficientes de Poisson en el intervalo (-1, 0,5), dado que la energía elástica de deformación (por unidad de volumen) para cualquier material isótropo alrededor del punto de equilibrio (estado natural) puede escribirse aproximadamente como:
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\rm {def}}\approx {\mathcal {E}}_{\rm {def}}+K\left(\sum _{i}\epsilon _{ii}\right)^{2}+G\sum _{i,j}\left(\varepsilon _{ik}-{\frac {\delta _{ij}\varepsilon _{V}}{3}}\right)^{2}+o(\epsilon _{ij}^{3})}
Conociendo lo anterior se puede concluir que al deformarse un material en una dirección producirá deformaciones sobre los demás ejes, lo que a su vez producirá esfuerzos en todos los ejes.
Por lo que es posible generalizar la ley de Hooke como:
{\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}}
Si suponemos que este plano de isotropía es
{\displaystyle E_{y}=E_{z},~\nu _{xy}=\nu _{xz},~\nu _{yx}=\nu _{zx}}
La simetría de los tensores de tensión y deformación implica que Esto nos deja con seis constantes independientes
Sin embargo, la isotropía transversal da lugar a una restricción adicional entre
which is Por lo tanto, hay cinco propiedades elásticas independientes del material, dos de las cuales son relaciones de Poisson.
Las otras relaciones de Poisson mayor y menor son iguales.
Para ver el valor del coeficiente de Poisson para varios materiales consultar los valores del coeficiente de Poisson del Anexo:Constantes elásticas de diferentes materiales.
Algunos materiales conocidos como augéticos presentan coeficientes de Poisson negativo.
Cuando son sometidos a deformación positiva en sentido longitudinal, la deformación transversal también será positiva, es decir que aumentara el área de la sección.
Para estos materiales, usualmente se debe a enlaces moleculares en orientación particular.
