Derivada de un tensor (mecánica de medios continuos)
[2] A continuación se dan las definiciones de derivadas direccionales para diversas situaciones.
Se supone que las funciones son lo suficientemente suaves como para poder tomar derivadas.
El producto escalar anterior produce un escalar, y si u es un vector unitario, da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.
Entonces la derivada de f(v) con respecto a v (o en v) es el tensor de segundo orden definido a través de su producto escalar con cualquier vector u para todos los vectores u.
El producto escalar anterior produce un vector, y si u es un vector unitario, da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.
una función con valor real del tensor de segundo orden
se definen usando En coordenadas cilíndricas, el gradiente viene dado por La divergencia de un campo tensorial
se define usando la relación recursiva donde c es un vector constante arbitrario y v es un campo vectorial.
En un sistema de coordenadas cartesiano se tienen las siguientes relaciones para un campo vectorial v' y un campo tensorial de segundo orden
donde con la notación tensorial indexada para derivadas parciales se utiliza en las expresiones situadas más a la derecha.
Tenga en cuenta que Para un tensor simétrico de segundo orden, la divergencia también suele escribirse como[4] La expresión anterior se utiliza a veces como definición de
en forma de componente cartesiano (a menudo también escrito como
Téngase en cuenta que dicha definición no es coherente con el resto de este artículo (consúltese la sección sobre coordenadas curvilíneas).
también se define usando la relación recursiva donde c es un vector constante arbitrario y v es un campo vectorial.
Considérese un campo vectorial v y un vector constante arbitrario c. En notación indexada, el producto cruzado viene dado por donde
, es Esta identidad es válida para campos tensoriales de todos los órdenes.
En ese caso, el lado derecho corresponde a los cofactores de la matriz.
viene dado por Por eso, Teniendo en cuenta la arbitrariedad de
son Para las derivadas de las otras dos invariantes, se retoma la ecuación característica Utilizando el mismo enfoque que para el determinante de un tensor, se puede demostrar que Ahora, el lado izquierdo se puede expandir como Por eso o, Expandir el lado derecho y separar términos en el lado izquierdo da o, Si se define
, se puede escribir lo anterior como Reuniendo términos que contienen varias potencias de λ, se obtiene Entonces, invocando la arbitrariedad de λ, se tiene que Esto implica que Sea
viene dada por Esto se debe a que
En notación indexada con respecto a una base ortonormal Este resultado implica que donde Por lo tanto, si el tensor
dos tensores de segundo orden, entonces En notación indexada con respecto a una base ortonormal También se tiene que En notación indexada Si el tensor
, se puede escribir Usando la regla del producto para tensores de segundo orden se obtiene o, Por lo tanto, Otra operación importante relacionada con las derivadas tensoriales en la mecánica continua es la integración por partes.
La fórmula de integración por partes se puede escribir como donde
son campos tensoriales diferenciables de orden arbitrario,
es la unidad normal hacia afuera con respecto al dominio sobre el cual se definen los campos tensoriales,
representa un operador del producto tensorial generalizado y
es igual al tensor de identidad, se obtiene el teorema de la divergencia Se puede expresar la fórmula de integración por partes en coordenadas cartesianas con notación indexada como Para el caso especial donde la operación del producto tensorial es una contracción de un índice y la operación del gradiente es una divergencia, y tanto
son tensores de segundo orden, se tiene que En notación indexada,
