Tras completar sus estudios jurídicos, Francesco se estableció en Roma como procurador.
En 1521 llegó a su apogeo en las finanzas pontificias: cuando murió Rafael Riario, que hasta entonces era el máximo responsable de la hacienda en su oficio de Camarlengo de la Iglesia católica, el cardenal Innocenzo Cybo compró el cargo por una suma cercana a los 35.000 ducados, pero un mes después Armellini se lo recompró por el doble.
[3] En tal condición multiplicó los impuestos existentes y creó otros nuevos sobre la sal, la carne, los cereales, el vino o los extranjeros, vendió indulgencias, títulos y oficios eclesiásticos y contratos con la Santa Sede, consiguió créditos sobre las rentas futuras de esta e incluso llegó a proponer la privatización del lago Trasimeno, mientras a nivel privado gestionaba una cadena de tabernas y bodegas, a través de terceros para así eludir una disposición de Inocencio VIII de 1488.
Si bien estas medidas rindieron sus frutos económicos, también contribuyeron a fomentar la impopularidad de Armellini; durante su gestión fueron frecuentes las protestas populares y los panfletos satíricos referentes a su persona aparecidos junto al Pasquino, y el mismo Pompeo Colonna le reprochó su avaricia.
[5] Fue sepultado en la Basílica de Santa María en Trastevere, donde todavía se conserva su cenotafio, atribuido a Michelangelo Senese.