Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor.Las funciones están ligadas por operaciones racionales y por potencias de exponente entero, aunque en algunos casos se recurre a la raíz cuadrada.Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.De estas identidades, se puede elaborar la siguiente tabla.Para obtener el signo correcto en algunos casos se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.De las definiciones de las funciones trigonométricas: Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1): A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente.Dicho de otro modo: donde Usando la función Atan2 también puede escribirse como La identidad Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene: Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene: Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida: Ejemplo 2: Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos.La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.Las siguientes demostraciones son válidas sólo para valores depues las construcciones sobre las que se sostienen no se pueden construir para ángulos fuera de ese intervalo.Debajo hay una demostración para el caso general.Primera demostración por semejanza de triángulos: Para comprobarhace falta substituir las relaciones trigonométricas del dibujo construible: simplificando: confirmándose el resultado por semejanza de triángulos.se obtiene: simplificando: Demostración deaplicando la primera identidad: Demostración deA continuación se presenta una demostración válida para cualquier ángulo a partir de las definiciones de seno y coseno de cualquier ángulo como parametrizaciones del círculo unidad.Utilizando el caso particular descrito al principio de la demostración.Esto demuestra la fórmula para el coseno de la resta, a la que nos referiremos en adelante comoLas otras expresiones se deducen de esta, pero necesitamos los siguientes lemas:Con estos lemas vemos el resto de fórmulas: Las fórmulas para la tangente se pueden deducir de las cuatro fórmulas anteriores de igual forma que en la demostración particular anterior.Además Estas identidades pueden ser demostradas utilizando las identidades de la suma y diferencia o las fórmulas para ángulos múltiples.Se obtienen al resolver la segunda y la tercera versiones de las fórmulas del coseno del ángulo doble.Sabemos por el teorema de la suma y la resta que: Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos: 1):Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría: Simplificando el elemento sen(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría: Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda: Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible expresar senos y cosenos en tangentes.Los resultados de hacer la composición entre funciones trigonométricas con funciones trigonométricas inversas son los siguientes: Las siguientes fórmulas de productos infinitos para funciones trigonométricas pueden ser útiles: Teorema del coseno Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y CEl teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados para posteriormente identificar los valores de las funciones trigonométricas.La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:
Todas las funciones en
O
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra
Triángulo usado para demostrar el resultado del seno de la suma de dos ángulos.
Dibujo para demostrar una identidad trigonométrica.
