Teorema de Riemann-Roch

Relación entre género, grado y dimensión de espacios funcionales sobre superficies

El teorema de Riemann-Roch es un teorema importante en matemáticas , específicamente en análisis complejo y geometría algebraica , para el cálculo de la dimensión del espacio de funciones meromórficas con ceros prescritos y polos permitidos . Relaciona el análisis complejo de una superficie de Riemann compacta conexa con el género puramente topológico de la superficie g , de una manera que puede trasladarse a entornos puramente algebraicos.

El teorema, que Riemann demostró inicialmente como desigualdad de Riemann (1857), alcanzó su forma definitiva para las superficies de Riemann después del trabajo de Gustav Roch (1865), alumno de Riemann que vivió poco tiempo en la universidad  . Más tarde se generalizó a las curvas algebraicas , a variedades de dimensiones superiores y más allá.

Nociones preliminares

Una superficie de Riemann de género 3.

Una superficie de Riemann es un espacio topológico que es localmente homeomorfo a un subconjunto abierto de , el conjunto de números complejos . Además, se requiere que las funciones de transición entre estos subconjuntos abiertos sean holomorfas . La última condición permite transferir las nociones y métodos de análisis complejo que tratan con funciones holomorfas y meromórficas a la superficie . Para los propósitos del teorema de Riemann-Roch, la superficie siempre se supone que es compacta . Coloquialmente hablando, el género de una superficie de Riemann es su número de asas ; por ejemplo, el género de la superficie de Riemann que se muestra a la derecha es tres. Más precisamente, el género se define como la mitad del primer número de Betti , es decir, la mitad de la dimensión del primer grupo de homología singular con coeficientes complejos. El género clasifica las superficies de Riemann compactas hasta el homeomorfismo , es decir, dos de esas superficies son homeomorfas si y solo si su género es el mismo. Por lo tanto, el género es un invariante topológico importante de una superficie de Riemann. Por otra parte, la teoría de Hodge muestra que el género coincide con la dimensión del espacio de las uniformas holomorfas en , por lo que el género también codifica información analítica compleja sobre la superficie de Riemann. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$

Un divisor es un elemento del grupo abeliano libre en los puntos de la superficie. De manera equivalente, un divisor es una combinación lineal finita de puntos de la superficie con coeficientes enteros. ${\displaystyle D}$

Cualquier función meromórfica da lugar a un divisor denotado definido como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f)}$

${\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }}$

donde es el conjunto de todos los ceros y polos de , y está dado por ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{\nu }}$

${\displaystyle s_{\nu }:={\begin{cases}a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a zero of order }}a\\-a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a pole of order }}a\end{cases}}}$.

Se sabe que el conjunto es finito; esto es una consecuencia de ser compacto y del hecho de que los ceros de una función holomorfa (no nula) no tienen un punto de acumulación . Por lo tanto, está bien definido. Cualquier divisor de esta forma se llama divisor principal . Dos divisores que difieren en un divisor principal se llaman linealmente equivalentes . El divisor de una 1-forma meromórfica se define de manera similar. Un divisor de una 1-forma meromórfica global se llama divisor canónico (generalmente denotado ). Cualesquiera dos 1-formas meromórficas producirán divisores linealmente equivalentes, por lo que el divisor canónico se determina de manera única hasta la equivalencia lineal (de ahí "el" divisor canónico). ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle K}$

El símbolo denota el grado (a veces también llamado índice) del divisor , es decir, la suma de los coeficientes que aparecen en . Se puede demostrar que el divisor de una función meromórfica global siempre tiene grado 0, por lo que el grado de un divisor depende únicamente de su clase de equivalencia lineal. ${\displaystyle \deg(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

El número es la cantidad que es de interés primario: la dimensión (sobre ) del espacio vectorial de funciones meromórficas en la superficie, tales que todos los coeficientes de son no negativos. Intuitivamente, podemos pensar en esto como todas las funciones meromórficas cuyos polos en cada punto no son peores que el coeficiente correspondiente en ; si el coeficiente en en es negativo, entonces requerimos que tenga un cero de al menos esa multiplicidad en – si el coeficiente en es positivo, puede tener un polo de como máximo ese orden. Los espacios vectoriales para divisores linealmente equivalentes son naturalmente isomorfos a través de la multiplicación con la función meromórfica global (que está bien definida hasta un escalar). ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h)+D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle h}$

Enunciado del teorema

El teorema de Riemann-Roch para una superficie de Riemann compacta de género con estados divisores canónicos ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1}$.

Normalmente, el número es el de interés, mientras que se considera un término de corrección (también llamado índice de especialidad ^{[2] [3]} ), por lo que el teorema se puede parafrasear aproximadamente diciendo ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle \ell (K-D)}$

dimensión − corrección = grado − género + 1.

Debido a que es la dimensión de un espacio vectorial, el término de corrección siempre es no negativo, de modo que ${\displaystyle \ell (K-D)}$

${\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)-g+1}$.

Esto se llama desigualdad de Riemann . La parte de Roch del enunciado es la descripción de la posible diferencia entre los lados de la desigualdad. En una superficie general de Riemann de género , tiene grado , independientemente de la forma meromórfica elegida para representar el divisor. Esto se deduce de poner en el teorema. En particular, siempre que tenga grado al menos , el término de corrección es 0, de modo que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle D=K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2g-1}$

${\displaystyle \ell (D)=\deg(D)-g+1}$.

A continuación se ilustrará el teorema para superficies de género bajo. También existen otros teoremas estrechamente relacionados: una formulación equivalente de este teorema utilizando haces de líneas y una generalización del teorema a curvas algebraicas .

Ejemplos

El teorema se ilustrará eligiendo un punto en la superficie en cuestión y considerando la secuencia de números. ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

es decir, la dimensión del espacio de funciones que son holomorfas en todas partes excepto en donde se permite que la función tenga un polo de orden como máximo . Para , se requiere que las funciones sean enteras , es decir, holomorfas en toda la superficie . Por el teorema de Liouville , tal función es necesariamente constante. Por lo tanto, . En general, la secuencia es una secuencia creciente. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell (0)=1}$ ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

Género cero

La esfera de Riemann (también llamada línea proyectiva compleja ) es simplemente conexa y, por lo tanto, su primera homología singular es cero. En particular, su género es cero. La esfera puede estar cubierta por dos copias de , con un mapa de transición dado por ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto {\frac {1}{z}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.

Por lo tanto, la forma de una copia de se extiende a una forma meromórfica en la esfera de Riemann: tiene un polo doble en el infinito, ya que ${\displaystyle \omega =dz}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz}$

Por lo tanto, su divisor canónico es (donde es el punto en el infinito). ${\displaystyle K:=\operatorname {div} (\omega )=-2P}$ ${\displaystyle P}$

Por lo tanto, el teorema dice que la secuencia se lee ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

1, 2, 3, ... .

Esta secuencia también se puede leer a partir de la teoría de fracciones parciales . Por el contrario, si esta secuencia comienza de esta manera, entonces debe ser cero. ${\displaystyle g}$

Género uno

Un toro

El siguiente caso es una superficie de Riemann de género , como un toro , donde es una red bidimensional (un grupo isomorfo a ). Su género es uno: su primer grupo de homología singular se genera libremente mediante dos bucles, como se muestra en la ilustración de la derecha. La coordenada compleja estándar en produce una forma unidimensional en que es holomorfa en todas partes, es decir, no tiene polos en absoluto. Por lo tanto, , el divisor de es cero. ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \omega =dz}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \omega }$

En esta superficie, esta secuencia es

1, 1, 2, 3, 4, 5...;

y esto caracteriza el caso . De hecho, para , , como se mencionó anteriormente. Para con , el grado de es estrictamente negativo, de modo que el término de corrección es 0. La secuencia de dimensiones también se puede derivar de la teoría de funciones elípticas . ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle \ell (K-D)=\ell (0)=1}$ ${\displaystyle D=n\cdot P}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle K-D}$

Género dos y más allá

Para , la secuencia mencionada anteriormente es ${\displaystyle g=2}$

1, 1, ?, 2, 3, ... .

De esto se demuestra que el término ? de grado 2 es 1 o 2, dependiendo del punto. Se puede demostrar que en cualquier curva de género 2 hay exactamente seis puntos cuyas secuencias son 1, 1, 2, 2, ... y el resto de los puntos tienen la secuencia genérica 1, 1, 1, 2, ... En particular, una curva de género 2 es una curva hiperelíptica . Porque siempre es cierto que en la mayoría de los puntos la secuencia comienza con unos y hay un número finito de puntos con otras secuencias (ver puntos de Weierstrass ). ${\displaystyle g>2}$ ${\displaystyle g+1}$

Riemann–Roch para haces de líneas

Usando la correspondencia cercana entre divisores y fibrados lineales holomorfos en una superficie de Riemann, el teorema también puede enunciarse de una manera diferente, pero equivalente: sea L un fibrado lineal holomorfo en X . Sea el espacio de secciones holomorfas de L . Este espacio será de dimensión finita; su dimensión se denota . Sea K el fibrado canónico en X . Entonces, el teorema de Riemann-Roch establece que ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g}$.

El teorema de la sección anterior es el caso especial de cuando L es un fibrado puntual.

El teorema se puede aplicar para demostrar que hay g secciones holomorfas linealmente independientes de K , o formas unitarias en X , como sigue. Tomando L como el fibrado trivial, ya que las únicas funciones holomorfas en X son constantes. El grado de L es cero, y es el fibrado trivial. Por lo tanto, ${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$ ${\displaystyle L^{-1}}$

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g}$.

Por lo tanto, , demostrando que hay g formas-uno holomorfas. ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$

Grado del haz canónico

Dado que el fibrado canónico tiene , al aplicar Riemann-Roch a se obtiene ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$ ${\displaystyle L=K}$

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

que puede reescribirse como

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

Por lo tanto el grado del fibrado canónico es . ${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$

Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas

Cada elemento de la formulación anterior del teorema de Riemann-Roch para divisores en superficies de Riemann tiene un análogo en geometría algebraica . El análogo de una superficie de Riemann es una curva algebraica no singular C sobre un cuerpo k . La diferencia en la terminología (curva vs. superficie) se debe a que la dimensión de una superficie de Riemann como una variedad real es dos, pero una como una variedad compleja. La compacidad de una superficie de Riemann es paralela a la condición de que la curva algebraica sea completa , lo que es equivalente a ser proyectiva . Sobre un cuerpo general k , no hay una buena noción de (co)homología singular. El llamado género geométrico se define como

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

es decir, como la dimensión del espacio de las uniformas (algebraicas) definidas globalmente (véase diferencial de Kähler ). Finalmente, las funciones meromórficas en una superficie de Riemann se representan localmente como fracciones de funciones holomorfas. Por lo tanto, se las reemplaza por funciones racionales que son localmente fracciones de funciones regulares . Por lo tanto, escribiendo para la dimensión (sobre k ) del espacio de funciones racionales en la curva cuyos polos en cada punto no son peores que el coeficiente correspondiente en D , se cumple exactamente la misma fórmula que la anterior: ${\displaystyle \ell (D)}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1}$.

donde C es una curva algebraica proyectiva no singular sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k . De hecho, la misma fórmula se cumple para curvas proyectivas sobre cualquier cuerpo, excepto que el grado de un divisor debe tener en cuenta las multiplicidades provenientes de las posibles extensiones del cuerpo base y los cuerpos de residuos de los puntos que soportan al divisor. ^[4] Finalmente, para una curva propiamente dicha sobre un anillo artiniano , la característica de Euler del fibrado lineal asociado a un divisor está dada por el grado del divisor (definido apropiadamente) más la característica de Euler del haz estructural . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

El supuesto de suavidad del teorema también se puede relajar: para una curva (proyectiva) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, cuyos anillos locales son todos anillos de Gorenstein , se cumple la misma afirmación anterior, siempre que el género geométrico definido anteriormente se reemplace por el género aritmético g _a , definido como

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$. ^[6]

(Para curvas suaves, el género geométrico concuerda con el aritmético.) El teorema también se ha extendido a curvas singulares generales (y variedades de dimensiones superiores). ^[7]

Aplicaciones

Polinomio de Hilbert

Una de las consecuencias importantes de Riemann-Roch es que proporciona una fórmula para calcular el polinomio de Hilbert de los fibrados lineales en una curva. Si un fibrado lineal es amplio, entonces el polinomio de Hilbert dará el primer grado dando una incrustación en el espacio proyectivo. Por ejemplo, el haz canónico tiene grado , lo que da un fibrado lineal amplio para el género . ^[8] Si establecemos entonces la fórmula de Riemann-Roch se lee ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}}$

Dando el grado del polinomio de Hilbert de ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$.

Debido a que se utiliza el haz tricanónico para incrustar la curva, el polinomio de Hilbert ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

se considera generalmente al construir el esquema de Hilbert de curvas (y el espacio de módulos de curvas algebraicas ). Este polinomio es

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

y se llama polinomio de Hilbert de una curva de género g .

Incrustación pluricanónica

Analizando más a fondo esta ecuación, la característica de Euler se lee como

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

Desde ${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$.

para , ya que su grado es negativo para todo , lo que implica que no tiene secciones globales, hay una incrustación en algún espacio proyectivo desde las secciones globales de . En particular, da una incrustación en donde ya que . Esto es útil en la construcción del espacio de módulos de curvas algebraicas porque se puede utilizar como el espacio proyectivo para construir el esquema de Hilbert con el polinomio de Hilbert . ^[9] ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$ ${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$ ${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$ ${\displaystyle H_{C}(t)}$

Género de curvas planas con singularidades

Una curva algebraica plana irreducible de grado d tiene ( d  − 1)( d  − 2)/2 −  g singularidades, cuando se cuenta adecuadamente. De ello se deduce que, si una curva tiene ( d  − 1)( d  − 2)/2 singularidades distintas, es una curva racional y, por tanto, admite una parametrización racional.

Fórmula de Riemann-Hurwitz

La fórmula de Riemann-Hurwitz relativa a mapas (ramificados) entre superficies de Riemann o curvas algebraicas es una consecuencia del teorema de Riemann-Roch.

Teorema de Clifford sobre divisores especiales

El teorema de Clifford sobre divisores especiales también es una consecuencia del teorema de Riemann-Roch. Afirma que para un divisor especial (es decir, tal que ) que satisface , se cumple la siguiente desigualdad: ^[10] ${\displaystyle \ell (K-D)>0}$ ${\displaystyle \ell (D)>0}$

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}$.

Prueba

Prueba de curvas algebraicas

El enunciado para curvas algebraicas puede demostrarse utilizando la dualidad de Serre . El entero es la dimensión del espacio de secciones globales del fibrado de líneas asociado a D ( cf. divisor de Cartier ). En términos de cohomología de haces , tenemos por tanto , y asimismo . Pero la dualidad de Serre para variedades proyectivas no singulares en el caso particular de una curva establece que es isomorfo al dual . El lado izquierdo es, por tanto, igual a la característica de Euler del divisor D . Cuando D = 0, encontramos que la característica de Euler para la estructura de haces es por definición. Para demostrar el teorema para el divisor general, se puede proceder añadiendo puntos uno por uno al divisor y asegurarse de que la característica de Euler se transforma en consecuencia en el lado derecho. ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ ${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$ ${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$ ${\displaystyle 1-g}$

Prueba de superficies compactas de Riemann

El teorema para superficies de Riemann compactas se puede deducir de la versión algebraica usando el teorema de Chow y el principio GAGA : de hecho, cada superficie de Riemann compacta está definida por ecuaciones algebraicas en algún espacio proyectivo complejo. (El teorema de Chow dice que cualquier subvariedad analítica cerrada del espacio proyectivo está definida por ecuaciones algebraicas, y el principio GAGA dice que la cohomología de haces de una variedad algebraica es la misma que la cohomología de haces de la variedad analítica definida por las mismas ecuaciones).

Se puede evitar el uso del teorema de Chow argumentando de manera idéntica a la prueba en el caso de curvas algebraicas, pero reemplazando con el haz de funciones meromórficas h tales que todos los coeficientes del divisor son no negativos. Aquí el hecho de que la característica de Euler se transforma como se desea cuando se agrega un punto al divisor se puede deducir de la secuencia exacta larga inducida por la secuencia exacta corta ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$ ${\displaystyle (h)+D}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

¿Dónde está el haz de rascacielos en P , y el mapa devuelve el coeficiente de Laurent, donde . ^[11] ${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$ ${\displaystyle -k-1}$ ${\displaystyle k=D(P)}$

Teorema aritmético de Riemann-Roch

Una versión del teorema aritmético de Riemann-Roch establece que si k es un campo global y f es una función adecuadamente admisible de los adeles de k , entonces para cada ideal a , se tiene una fórmula de suma de Poisson :

${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)=\sum _{x\in k}f(ax)}$.

En el caso especial cuando k es el campo de funciones de una curva algebraica sobre un campo finito y f es cualquier carácter que es trivial en k , esto recupera el teorema geométrico de Riemann-Roch. ^[12]

Otras versiones del teorema aritmético de Riemann-Roch utilizan la teoría de Arakelov para asemejarse más exactamente al teorema tradicional de Riemann-Roch.

Generalizaciones del teorema de Riemann-Roch

El teorema de Riemann-Roch para curvas fue demostrado para superficies de Riemann por Riemann y Roch en la década de 1850 y para curvas algebraicas por Friedrich Karl Schmidt en 1931 mientras trabajaba en campos perfectos de característica finita . Como afirmó Peter Roquette , ^[13]

El primer logro importante de FK Schmidt es el descubrimiento de que el teorema clásico de Riemann-Roch sobre superficies de Riemann compactas puede transferirse a cuerpos de funciones con un cuerpo base finito. En realidad, su demostración del teorema de Riemann-Roch funciona para cuerpos base arbitrarios y perfectos, no necesariamente finitos.

Es fundamental en el sentido de que la teoría posterior de curvas intenta refinar la información que produce (por ejemplo, en la teoría de Brill-Noether ).

Existen versiones en dimensiones superiores (para la noción apropiada de divisor o fibrado lineal ). Su formulación general depende de dividir el teorema en dos partes. Una, que ahora se llamaría dualidad de Serre , interpreta el término como una dimensión de un primer grupo de cohomología de haces ; con la dimensión de un grupo de cohomología cero, o espacio de secciones, el lado izquierdo del teorema se convierte en una característica de Euler , y el lado derecho en un cálculo de la misma como un grado corregido de acuerdo con la topología de la superficie de Riemann. ${\displaystyle \ell (K-D)}$ ${\displaystyle \ell (D)}$

En geometría algebraica de dimensión dos los geómetras de la escuela italiana encontraron una fórmula similar ; se demostró un teorema de Riemann-Roch para superficies (existen varias versiones, la primera de las cuales posiblemente se deba a Max Noether ).

Friedrich Hirzebruch descubrió y demostró una generalización n -dimensional, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , como una aplicación de las clases características en la topología algebraica ; estuvo muy influido por el trabajo de Kunihiko Kodaira . Casi al mismo tiempo, Jean-Pierre Serre estaba dando la forma general de la dualidad de Serre, tal como la conocemos hoy.

En 1957, Alexander Grothendieck demostró una generalización de gran alcance, conocida hoy como el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Su trabajo reinterpreta el teorema de Riemann-Roch no como un teorema sobre una variedad, sino sobre un morfismo entre dos variedades. Los detalles de las demostraciones fueron publicados por Armand Borel y Jean-Pierre Serre en 1958. ^[14] Más tarde, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la demostración. ^[15]

Finalmente, se encontró una versión general también en topología algebraica . Estos desarrollos se llevaron a cabo esencialmente entre 1950 y 1960. Después de eso, el teorema del índice de Atiyah-Singer abrió otra vía de generalización. En consecuencia, la característica de Euler de un haz coherente es razonablemente computable. Para un solo sumando dentro de la suma alternada, se deben usar argumentos adicionales, como teoremas de desaparición .

Véase también

• Teoría de Arakelov
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
• Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
• Fórmula de Riemann-Roch de Kawasaki
• Polinomio de Hilbert
• Módulos de curvas algebraicas

Notas

1. Griffith, Harris, pág. 116, 117
2. Stichtenoth pág. 22
3. Mukai págs. 295-297
4. Liu, Qing (2002), Geometría algebraica y curvas aritméticas , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850284-5, Sección 7.3
5. * Altman, Allen; Kleiman, Steven (1970), Introducción a la teoría de la dualidad de Grothendieck , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 146, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, Teorema VIII.1.4., pág. 164
6. Hartshorne, Robin (1986), "Divisores generalizados en curvas de Gorenstein y un teorema de Noether", Journal of Mathematics of Kyoto University , 26 (3): 375–386, doi : 10.1215/kjm/1250520873 , ISSN  0023-608X
7. Baum, Pablo; Fulton, William ; MacPherson, Robert (1975), "Riemann-Roch para variedades singulares", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 45 (45): 101–145, doi :10.1007/BF02684299, ISSN  1618-1913, S2CID  83458307
8. Nótese que los módulos de las curvas elípticas se pueden construir de forma independiente, consulte https://arxiv.org/abs/0812.1803, y solo hay una curva suave de género 0, , que se puede encontrar utilizando la teoría de la deformación. Consulte https://arxiv.org/abs/math/0507286 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$
9. Deligne, P.; Mumford, D. (1969). "Irreducibilidad del espacio de curvas de género dado". IHES . 36 : 75–110. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . doi :10.1007/BF02684599. S2CID  16482150. 
10. Fulton, William (1989), Curvas algebraicas (PDF) , Advanced Book Classics, Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-51010-2, pág. 109
11. Forster, Otto (1981), Conferencias sobre superficies de Riemann , Springer Nature , ISBN 978-1-4612-5963-3, Sección 16
12. Ramakrishnan, Dinakar; Valenza, Robert (1999), Análisis de Fourier en cuerpos numéricos , Springer-Verlag, Capítulo 7.
13. "Manuscritos".
14. A. Borel y J.-P. Serre. Bull. Soc. Math. Francia 86 (1958), 97-136.
15. SGA 6, Springer-Verlag (1971).

Referencias

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• Stichtenoth, Henning (1993). Campos y códigos de funciones algebraicas . Springer-Verlag. ISBN 3-540-56489-6.
• Misha Kapovich, El teorema de Riemann-Roch (nota de clase) una introducción elemental
• J. Gray, El teorema de Riemann-Roch y la geometría, 1854-1914.
• ¿Existe una ecuación de Riemann-Roch para curvas proyectivas suaves sobre un cuerpo arbitrario? en MathOverflow