tiene incrementos independientes : para cada uno , los incrementos futuros son independientes de los valores pasados ,
tiene incrementos gaussianos: se distribuye normalmente con media y varianza ,
tiene caminos casi seguramente continuos: es casi seguro que es continuo en .
Que el proceso tenga incrementos independientes significa que si 0 ≤ s 1 < t 1 ≤ s 2 < t 2 entonces W t 1 − W s 1 y W t 2 − W s 2 son variables aleatorias independientes, y la condición similar se cumple para n incrementos.
Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la llamada caracterización de Lévy que dice que el proceso de Wiener es casi seguramente una martingala continua con W 0 = 0 y variación cuadrática [ W t , W t ] = t (lo que significa que W t 2 − t también es una martingala).
Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie de senos cuyos coeficientes son N (0, 1) variables aleatorias independientes. Esta representación se puede obtener utilizando el teorema de Karhunen-Loève .
Otra caracterización de un proceso de Wiener es la integral definida (desde el tiempo cero hasta el tiempo t ) de un proceso gaussiano de media cero, varianza unitaria y correlación delta ("blanco") . [3]
El proceso de Wiener se puede construir como el límite de escala de un paseo aleatorio u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos estacionarios independientes. Esto se conoce como teorema de Donsker . Al igual que el paseo aleatorio, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que regresa casi con seguridad a cualquier vecindad fija del origen con una frecuencia infinita), mientras que no es recurrente en dimensiones tres y superiores (donde un proceso de Wiener multidimensional es un proceso tal que sus coordenadas sean procesos de Wiener independientes). [4] A diferencia del paseo aleatorio, es invariante de escala , lo que significa que
Estos resultados se derivan de la definición de que los incrementos que no se superponen son independientes, de los cuales sólo se utiliza la propiedad de que no están correlacionados. Suponer que .
Sustituyendo
Dado que y son independientes,
De este modo
Un corolario útil para la simulación es que podemos escribir, para t 1 < t 2 :
Z
Representación de Viena
Wiener (1923) también dio una representación de una trayectoria browniana en términos de una serie aleatoria de Fourier . Si son variables gaussianas independientes con media cero y varianza uno, entonces
Para cada c > 0 el proceso es otro proceso de Wiener.
Inversión del tiempo
El proceso para 0 ≤ t ≤ 1 se distribuye como W t para 0 ≤ t ≤ 1 .
inversión de tiempo
El proceso es otro proceso Wiener.
Invariancia proyectiva
Considere un proceso de Wiener , condicionado de modo que (que se cumple casi con seguridad) y como de costumbre . Entonces los siguientes son todos los procesos de Wiener (Takenaka 1988):
Sea un proceso de Wiener bidimensional, considerado como un proceso de valores complejos con . Sea un conjunto abierto que contenga 0 y esté asociado al tiempo de Markov:
De manera más general, para cada polinomio p ( x , t ) el siguiente proceso estocástico es una martingala:
a
Ejemplo: el proceso
t
Sobre funciones p ( xa , t ) más generales que los polinomios, véase martingalas locales .
Algunas propiedades de las rutas de muestra
El conjunto de todas las funciones w con estas propiedades es de medida Wiener completa. Es decir, una ruta (función de muestra) del proceso de Wiener tiene casi con seguridad todas estas propiedades.
Propiedades cualitativas
Para cada ε > 0, la función w toma valores (estrictamente) positivos y (estrictamente) negativos en (0, ε).
La función w es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna parte (como la función de Weierstrass ).
Para cualquiera , es casi seguro que no es -Hölder continuo , y casi seguramente -Hölder continuo. [7]
Los puntos de máximo local de la función w son un conjunto denso contable; los valores máximos son diferentes por pares; cada máximo local es agudo en el siguiente sentido: si w tiene un máximo local en t entonces
Lo mismo se aplica a los mínimos locales.
La función w no tiene puntos de incremento local, es decir, ningún t > 0 satisface lo siguiente para algunos ε en (0, t ): primero, w ( s ) ≤ w ( t ) para todos los s en ( t − ε, t ), y segundo, w ( s ) ≥ w ( t ) para todos los s en ( t , t + ε). (El aumento local es una condición más débil que el hecho de que w aumente en ( t − ε , t + ε ).) Lo mismo se aplica a la disminución local.
Los teoremas de duplicación de dimensiones dicen que la dimensión de Hausdorff de un conjunto bajo un movimiento browniano se duplica casi con seguridad.
Estas propiedades de continuidad no son triviales. Considere que la hora local también se puede definir (como la densidad de la medida de avance) para una función suave. Entonces, sin embargo, la densidad es discontinua, a menos que la función dada sea monótona. En otras palabras, existe un conflicto entre el buen comportamiento de una función y el buen comportamiento de su hora local. En este sentido, la continuidad de la hora local del proceso de Wiener es otra manifestación de la falta de suavidad de la trayectoria.
En muchos casos, es imposible codificar el proceso Wiener sin probarlo primero. Cuando se muestrea el proceso de Wiener a intervalos antes de aplicar un código binario para representar estas muestras, el equilibrio óptimo entre la tasa de código y el error cuadrático medio esperado (al estimar el proceso de Wiener en tiempo continuo) sigue la representación paramétrica [9].
Dos procesos aleatorios en el intervalo de tiempo [0, 1] aparecen, en términos generales, al condicionar el proceso de Wiener para que desaparezca en ambos extremos de [0,1]. Sin más condicionamientos, el proceso toma valores tanto positivos como negativos en [0, 1] y se llama puente browniano . Condicionado también a permanecer positivo en (0, 1), el proceso se denomina excursión browniana . [10] En ambos casos un tratamiento riguroso implica un procedimiento limitante, ya que la fórmula P ( A | B ) = P ( A ∩ B )/ P ( B ) no se aplica cuando P ( B ) = 0.
Sea A un evento relacionado con el proceso de Wiener (más formalmente: un conjunto, medible con respecto a la medida de Wiener, en el espacio de funciones), y X t la probabilidad condicional de A dado el proceso de Wiener en el intervalo de tiempo [0 , t ] (más formalmente: la medida de Wiener del conjunto de trayectorias cuya concatenación con la trayectoria parcial dada en [0, t ] pertenece a A ). Entonces el proceso X t es una martingala continua. Su propiedad martingala se desprende inmediatamente de las definiciones, pero su continuidad es un hecho muy especial: un caso especial de un teorema general que establece que todas las martingalas brownianas son continuas. Una martingala browniana es, por definición, una martingala adaptada a la filtración browniana; y la filtración browniana es, por definición, la filtración generada por el proceso Wiener.
Movimiento browniano integrado
La integral de tiempo del proceso de Wiener.
movimiento browniano integradoproceso de Wiener integradoNt 3/3[11][12]
Utilizando este hecho, las propiedades cualitativas indicadas anteriormente para el proceso de Wiener pueden generalizarse a una amplia clase de semimartingalas continuas. [13] [14]
Proceso Wiener de valor complejo
El proceso de Wiener de valores complejos puede definirse como un proceso aleatorio de valores complejos de la forma donde y son procesos de Wiener independientes (de valor real). [15]
autosimilitud
Escala browniana, inversión del tiempo, inversión del tiempo: lo mismo que en el caso del valor real.
Invariancia de rotación: para cada número complejo tal que el proceso sea otro proceso de Wiener de valor complejo.
Cambio de tiempo
Si es una función completa , entonces el proceso es un proceso Wiener de valor complejo con cambio de tiempo.
Ejemplo: donde
A diferencia del caso de valor real, una martingala de valor complejo generalmente no es un proceso de Wiener de valor complejo con cambio de tiempo. Por ejemplo, la martingala no lo es (aquí y son procesos de Wiener independientes, como antes).
hoja browniana
La hoja browniana es una generalización multiparamática. La definición varía según los autores, algunos definen la hoja browniana para que tenga un parámetro de tiempo específicamente bidimensional, mientras que otros la definen para dimensiones generales.
Ver también
Notas
^ Obras completas de N.Wiener vol.1
^ Durrett, Rick (2019). "Movimiento browniano". Probabilidad: teoría y ejemplos (5ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781108591034.
^ Huang, acero T.; Cambanis, Stamatis (1978). "Integrales de Wiener estocásticas y múltiples para procesos gaussianos". Los anales de la probabilidad . 6 (4): 585–614. doi : 10.1214/aop/1176995480 . ISSN 0091-1798. JSTOR 2243125.
^ "Constantes de caminata aleatoria de Pólya". Wolfram MathWorld .
^ Shreve, Steven E. (2008). Cálculo estocástico para finanzas II: modelos de tiempo continuo . Saltador. pag. 114.ISBN _978-0-387-40101-0.
^ Mörters, Peter; Peres, Yuval; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2010). Movimiento browniano . Serie de Cambridge en matemáticas estadísticas y probabilísticas. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 18.ISBN _978-0-521-76018-8.
^ T. Berger, "Tasas de información de los procesos de Wiener", en IEEE Transactions on Information Theory, vol. 16, núm. 2, págs. 134-139, marzo de 1970. doi: 10.1109/TIT.1970.1054423
^ Kipnis, A., Goldsmith, AJ y Eldar, YC, 2019. La función de tasa de distorsión de los procesos Wiener muestreados. Transacciones IEEE sobre teoría de la información, 65 (1), páginas 482-499.
^ Vervaat, W. (1979). "Una relación entre el puente browniano y la excursión browniana". Anales de probabilidad . 7 (1): 143–149. doi : 10.1214/aop/1176995155 . JSTOR 2242845.
^ "Preguntas de la entrevista VII: Movimiento browniano integrado - Quantopia". www.quantopia.net . Consultado el 14 de mayo de 2017 .
^ Foro, "Varianza del proceso Wiener integrado", 2009.
^ Revuz, D. y Yor, M. (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano (Vol. 293). Saltador.
^ Navarro-moreno, J.; Estudillo-martínez, MD; Fernández-alcalá, RM; Ruiz-molina, JC (2009), "Estimación de señales aleatorias de valores complejos inadecuados en ruido coloreado mediante el uso de la teoría espacial de Hilbert", IEEE Transactions on Information Theory , 55 (6): 2859–2867, doi :10.1109/TIT. 2009.2018329, S2CID 5911584
Referencias
Kleinert, Hagen (2004). Integrales de ruta en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros (4ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.(también disponible en línea: archivos PDF)
Lawler, Greg (2005), Procesos conformemente invariantes en el plano , AMS.
Rígido, Henry; Bosques, John (2002). Probabilidad y procesos aleatorios con aplicaciones al procesamiento de señales (3ª ed.). Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9.
Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Martingalas continuas y movimiento browniano (Segunda ed.). Springer-Verlag.
Takenaka, Shigeo (1988), "Sobre la invariancia proyectiva del movimiento browniano", Proc Japan Acad , 64 : 41–44.
enlaces externos
Movimiento browniano para el niño en edad escolar
Movimiento browniano, "diverso y ondulado"
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"La predicción de Einstein finalmente se hizo realidad un siglo después": una prueba para observar la velocidad del movimiento browniano
"Aplicación web interactiva: procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas".