Cicloide

Curva trazada por un punto en un círculo rodante

Un cicloide generado por un círculo rodante

En geometría , una cicloide es la curva que traza un punto de una circunferencia al rodar sobre una línea recta sin deslizarse. Una cicloide es una forma específica de trocoide y es un ejemplo de ruleta , una curva generada por una curva que rueda sobre otra curva.

La cicloide, con las cúspides apuntando hacia arriba, es la curva de descenso más rápido bajo gravedad uniforme ( curva braquistócrona ). También es la forma de una curva para la cual el período de un objeto en movimiento armónico simple (rodando hacia arriba y hacia abajo repetidamente) a lo largo de la curva no depende de la posición inicial del objeto ( curva tautocrona ). En física, cuando una partícula cargada en reposo se coloca bajo un campo eléctrico y magnético uniforme perpendiculares entre sí, la trayectoria de la partícula dibuja una cicloide.

Bolas que ruedan bajo gravedad uniforme sin fricción sobre una cicloide (negra) y líneas rectas con distintas pendientes. Esto demuestra que la bola que sigue la curva siempre supera a las bolas que viajan en línea recta hasta el punto de intersección de la curva y cada línea recta.

Historia

Fue en el recipiente de la izquierda del Pequod, con la esteatita girando diligentemente a mi alrededor, que me llamó la atención indirectamente por primera vez el hecho notable de que, en geometría, todos los cuerpos que se deslizan a lo largo del cicloide, mi esteatita por ejemplo, descenderán desde cualquier punto exactamente en el mismo tiempo.

Moby Dick de Herman Melville , 1851

La cicloide ha sido llamada "La Helena de los Geómetras" ya que, al igual que Helena de Troya , causó frecuentes disputas entre los matemáticos del siglo XVII, mientras que Sarah Hart la ve nombrada así "porque las propiedades de esta curva son tan hermosas". ^{[1] [2]}

Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos para el descubridor de la cicloide. El historiador matemático Paul Tannery especuló que una curva tan simple debe haber sido conocida por los antiguos , citando un trabajo similar de Carpo de Antioquía descrito por Jámblico . ^[3] El matemático inglés John Wallis escribió en 1679 que atribuyó el descubrimiento a Nicolás de Cusa , ^[4] pero los estudios posteriores indican que Wallis estaba equivocado o que la evidencia que utilizó ahora se ha perdido. ^{[5] El nombre de} Galileo Galilei fue propuesto a fines del siglo XIX ^[6] y al menos un autor informa que se le dio crédito a Marin Mersenne . ^[7] A partir del trabajo de Moritz Cantor ^[8] y Siegmund Günther , ^[9] los académicos ahora asignan prioridad al matemático francés Charles de Bovelles ^{[10] [11] [12]} basándose en su descripción del cicloide en su Introductio in geometriam , publicada en 1503. ^[13] En este trabajo, Bovelles confunde el arco trazado por una rueda rodante como parte de un círculo más grande con un radio 120% más grande que la rueda más pequeña. ^[5]

Galileo originó el término cicloide y fue el primero en hacer un estudio serio de la curva. ^[5] Según su estudiante Evangelista Torricelli , ^[14] en 1599 Galileo intentó la cuadratura de la cicloide (determinando el área bajo la cicloide) con un enfoque inusualmente empírico que implicaba trazar tanto el círculo generador como la cicloide resultante en una hoja de metal, cortarlos y pesarlos. Descubrió que la relación era aproximadamente 3:1, que es el valor verdadero, pero concluyó incorrectamente que la relación era una fracción irracional, lo que habría hecho imposible la cuadratura. ^[7] Alrededor de 1628, Gilles Persone de Roberval probablemente aprendió del problema de la cuadratura de Père Marin Mersenne y efectuó la cuadratura en 1634 utilizando el Teorema de Cavalieri . ^[5] Sin embargo, este trabajo no se publicó hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles ). ^[15]

La construcción de la tangente de la cicloide se remonta a agosto de 1638, cuando Mersenne recibió métodos únicos de Roberval, Pierre de Fermat y René Descartes . Mersenne transmitió estos resultados a Galileo, quien se los dio a sus estudiantes Torricelli y Viviani, quienes pudieron producir una cuadratura. Este resultado y otros fueron publicados por Torricelli en 1644, ^[14] que también es el primer trabajo impreso sobre la cicloide. Esto llevó a Roberval a acusar a Torricelli de plagio, y la controversia se vio interrumpida por la temprana muerte de Torricelli en 1647. ^[15]

En 1658, Blaise Pascal había abandonado las matemáticas por la teología pero, mientras sufría de un dolor de muelas, comenzó a considerar varios problemas relacionados con la cicloide. Su dolor de muelas desapareció, y tomó esto como una señal celestial para continuar con su investigación. Ocho días después había terminado su ensayo y, para dar a conocer los resultados, propuso un concurso. Pascal propuso tres preguntas relacionadas con el centro de gravedad , el área y el volumen de la cicloide, y el ganador o ganadores recibirían premios de 20 y 40 doblones españoles . Pascal, Roberval y el senador Carcavy fueron los jueces, y ninguna de las dos propuestas (de John Wallis y Antoine de Lalouvère ) fue juzgada como adecuada. ^{[16] : 198} Mientras el concurso estaba en curso, Christopher Wren envió a Pascal una propuesta para una prueba de la rectificación de la cicloide; Roberval afirmó rápidamente que conocía la prueba desde hacía años. Wallis publicó la prueba de Wren (crédito a Wren) en el Tractatus Duo de Wallis , dándole prioridad a Wren para la primera prueba publicada. ^[15]

Quince años después, Christiaan Huygens había utilizado el péndulo cicloidal para mejorar los cronómetros y había descubierto que una partícula recorrería un segmento de un arco cicloidal invertido en la misma cantidad de tiempo, independientemente de su punto de partida. En 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó la geometría analítica para describir la curva con una única ecuación. En 1696, Johann Bernoulli planteó el problema de la braquistócrona , cuya solución es una cicloide. ^[15]

Ecuaciones

La cicloide que pasa por el origen, generada por un círculo de radio r que gira sobre el eje x en el lado positivo ( y ≥ 0 ), está formada por los puntos ( x , y ) , con donde t es un parámetro real que corresponde al ángulo que ha girado el círculo que gira. Para t dado , el centro del círculo se encuentra en ( x , y ) = ( rt , r ) . $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}}$$

La ecuación cartesiana se obtiene resolviendo la ecuación y para t y sustituyendo en la ecuación x : o bien, eliminando el coseno inverso de múltiples valores: $${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}$$

${\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}$

Cuando y se considera como una función de x , la cicloide es diferenciable en todas partes excepto en las cúspides del eje x , con la derivada tendiendo hacia o cerca de una cúspide (donde y=0 ). La función de t a ( x , y ) es diferenciable, de hecho de clase C ^∞ , con derivada 0 en las cúspides. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

La pendiente de la tangente a la cicloide en el punto está dada por . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$

Un segmento cicloide de una cúspide a la siguiente se llama arco del cicloide, por ejemplo los puntos con y . ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }$

Considerando la cicloide como la gráfica de una función , satisface la ecuación diferencial : ^[17] ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}$

Si definimos como la diferencia de altura desde el vértice de la cicloide (el punto con tangente horizontal y ), entonces tenemos: ${\displaystyle h=2r-y=r(1+\cos t)}$ ${\displaystyle \cos t=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}={\frac {2r}{h}}-1.}$

Evolvente

Generación de la involuta de la cicloide desenrollando un alambre tenso colocado sobre un arco de semicicloide (marcado en rojo)

La involuta de la cicloide tiene exactamente la misma forma que la cicloide de la que se origina. Esto se puede visualizar como el camino trazado por la punta de un alambre que inicialmente se encuentra sobre un semiarco de la cicloide: a medida que se desenrolla mientras permanece tangente a la cicloide original, describe una nueva cicloide (ver también péndulo cicloidal y longitud de arco).

Demostración

Demostración de las propiedades de la involuta de una cicloide

Esta demostración utiliza la definición de cicloide de rueda rodante, así como el vector de velocidad instantánea de un punto en movimiento, tangente a su trayectoria. En la imagen adyacente, y son dos puntos que pertenecen a dos círculos rodantes, con la base del primero justo encima de la parte superior del segundo. Inicialmente, y coinciden en el punto de intersección de los dos círculos. Cuando los círculos ruedan horizontalmente con la misma velocidad, y atraviesan dos curvas cicloidales. Considerando la línea roja que conecta y en un momento dado, se demuestra que la línea siempre es tangente al arco inferior en y ortogonal al arco superior en . Sea el punto en común entre los círculos superior e inferior en el momento dado. Entonces: ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$son colineales: de hecho, la misma velocidad de rodadura da ángulos iguales y, por lo tanto , el punto se encuentra en la línea, por lo tanto , y análogamente , de la igualdad de y se tiene que también . Se sigue que ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$ ${\displaystyle {\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$ ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$
• Si es el punto de encuentro entre la perpendicular desde al segmento de recta y la tangente al círculo en , entonces el triángulo es isósceles, como se ve fácilmente a partir de la construcción: y . Para la igualdad señalada anteriormente entre y entonces y es isósceles. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$
• Dibujando desde el segmento ortogonal a , desde la recta tangente al círculo superior, y llamando al punto de encuentro, se ve que es un rombo utilizando los teoremas sobre ángulos entre líneas paralelas ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$
• Ahora considere la velocidad de . Puede verse como la suma de dos componentes, la velocidad de rodadura y la velocidad de deriva , que son iguales en módulo porque los círculos ruedan sin derrapar. es paralela a , mientras que es tangente al círculo inferior en y por lo tanto es paralela a . El rombo constituido a partir de los componentes y por lo tanto es similar (mismos ángulos) al rombo porque tienen lados paralelos. Entonces , la velocidad total de , es paralela a porque ambas son diagonales de dos rombos con lados paralelos y tiene en común con el punto de contacto . Por lo tanto, el vector de velocidad se encuentra en la prolongación de . Como es tangente a la cicloide en , se deduce que también coincide con la tangente a la cicloide inferior en . ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle P_{1}A}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}A}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle BP_{1}AP_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$
• De manera análoga, se puede demostrar fácilmente que es ortogonal a (la otra diagonal del rombo). ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$
• Esto demuestra que la punta de un alambre inicialmente estirado sobre un semiarco del cicloide inferior y fijado al círculo superior en seguirá el punto a lo largo de su trayectoria sin cambiar su longitud porque la velocidad de la punta es en cada momento ortogonal al alambre (sin estiramiento ni compresión). El alambre será al mismo tiempo tangente en al arco inferior debido a la tensión y a los hechos demostrados anteriormente. (Si no fuera tangente habría una discontinuidad en y, en consecuencia, fuerzas de tensión desequilibradas). ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

Área

Utilizando la parametrización anterior , el área bajo un arco, viene dada por: ${\textstyle x=r(t-\sin t),\ y=r(1-\cos t)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}$ $${\displaystyle A=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt=3\pi r^{2}.}$$

Esto es tres veces el área del círculo rodante.

Longitud del arco

La longitud del cicloide como consecuencia de la propiedad de su involuta

La longitud del arco S de un arco está dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{aligned}}}$$

Otra forma geométrica de calcular la longitud del cicloide es observar que cuando un alambre que describe una evolvente se ha desenrollado completamente de la mitad de un arco, se extiende a lo largo de dos diámetros, una longitud de 4 r . Esto es, por tanto, igual a la mitad de la longitud del arco, y la de un arco completo es 8 r .

Desde el vértice de la cicloide (el punto con una tangente horizontal y ) hasta cualquier punto dentro del mismo arco, la longitud del arco al cuadrado es , que es proporcional a la diferencia de alturas ; esta propiedad es la base del isocronismo de la cicloide . De hecho, la longitud del arco al cuadrado es igual a la diferencia de alturas multiplicada por la longitud total del arco 8 r . ${\displaystyle \cos t=-1}$ ${\displaystyle 8r^{2}(1+\cos t)}$ ${\displaystyle r(1+\cos t)}$

Péndulo cicloidal

Esquema de un péndulo cicloidal.

Si un péndulo simple se suspende de la cúspide de una cicloide invertida, de modo que la cuerda está restringida a ser tangente a uno de sus arcos, y la longitud del péndulo L es igual a la mitad de la longitud del arco de la cicloide (es decir, el doble del diámetro del círculo generador, L = 4r ), la plomada del péndulo también traza una trayectoria cicloide. Un péndulo de este tipo es isócrono , con oscilaciones de tiempo igual independientemente de la amplitud. Introduciendo un sistema de coordenadas centrado en la posición de la cúspide, la ecuación de movimiento viene dada por: donde es el ángulo que forma la parte recta de la cuerda con el eje vertical, y viene dada por donde A < 1 es la "amplitud", es la frecuencia en radianes del péndulo y g la aceleración gravitacional. $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\qquad \omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},}$$ ${\displaystyle \omega }$

Cinco péndulos cicloidales isócronos con diferentes amplitudes.

El matemático holandés del siglo XVII Christiaan Huygens descubrió y demostró estas propiedades del cicloide mientras buscaba diseños de relojes de péndulo más precisos para utilizar en la navegación . ^[18]

Curvas relacionadas

Varias curvas están relacionadas con la cicloide.

• Trocoide : generalización de una cicloide en la que el punto que traza la curva puede estar dentro del círculo rodante (cortada) o fuera (prolada).
• Hipocicloide : variante de cicloide en la que un círculo rueda sobre el interior de otro círculo en lugar de una línea.
• Epicicloide : variante de un cicloide en la que un círculo rueda sobre el exterior de otro círculo en lugar de una línea.
• Hipotrocoide : generalización de un hipocicloide donde el punto generador puede no estar en el borde del círculo rodante.
• Epitrocoide : generalización de un epicicloide donde el punto generador puede no estar en el borde del círculo rodante.

Todas estas curvas son ruletas con un círculo que se desplaza a lo largo de otra curva de curvatura uniforme . La cicloide, las epicicloides y las hipocicloides tienen la propiedad de que cada una es similar a su evoluta . Si q es el producto de esa curvatura por el radio del círculo, con signo positivo para epicicloides y negativo para hipocicloides, entonces la razón de similitud de la curva con la evoluta es 1 + 2 q .

El clásico juguete Spirograph traza curvas hipotrocoides y epitrocoides .

Otros usos

Arcos cicloidales en el Museo de Arte Kimbell

El arco cicloidal fue utilizado por el arquitecto Louis Kahn en su diseño para el Museo de Arte Kimbell en Fort Worth, Texas . También fue utilizado por Wallace K. Harrison en el diseño del Centro Hopkins en el Dartmouth College en Hanover, New Hampshire . ^[19]

Las primeras investigaciones indicaron que algunas curvas arqueadas transversales de las placas de los violines de la edad de oro están estrechamente modeladas por curvas cicloides cortadas. ^[20] Trabajos posteriores indican que las cicloides cortadas no sirven como modelos generales para estas curvas, ^[21] que varían considerablemente.

Véase también

• Ciclogón
• Engranaje cicloide
• Lista de funciones periódicas
• Curva tautocrona

Referencias

1. Cajori, Florian (1999). Una historia de las matemáticas . Nueva York: Chelsea. p. 177. ISBN 978-0-8218-2102-2.
2. Hart, Sarah (7 de abril de 2023). "Las maravillosas conexiones entre las matemáticas y la literatura". New York Times . Consultado el 7 de abril de 2023 .
3. Tannery, Paul (1883), "Pour l'histoire des lignes etsurfaces courbes dans l'antiquité", Mélanges, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques , Ser. 2, 7 : 278–291, pág. 284: Avant de quitter la citation de Jamblique, j'ajouterai que, dans la courbe de double mouvement de Carpos, il est difficile de ne pas reconnaître la cycloïde dont la génération si simple n'a pas dû échapper aux anciens. [Antes de abandonar la cita de Jámblico, añadiré que, en la curva de doble movimiento de Carpo , es difícil no reconocer la cicloide, cuya generación tan simple no pudo escapar a los antiguos.](citado en Whitman 1943);
4. Wallis, D. (1695). "Un extracto de una carta del Dr. Wallis, del 4 de mayo de 1697, sobre la cicloeida conocida por el cardenal Cusanus, alrededor del año 1450; y por Carolus Bovillus alrededor del año 1500". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 19 (215–235): 561–566. doi : 10.1098/rstl.1695.0098 .(Citado en Günther, p. 5)
5. Whitman, EA (mayo de 1943), "Algunas notas históricas sobre la cicloide", The American Mathematical Monthly , 50 (5): 309–315, doi :10.2307/2302830, JSTOR  2302830 (se requiere suscripción)
6. Cajori, Florian (1999), Una historia de las matemáticas (5.ª ed.), pág. 162, ISBN 0-8218-2102-4(Nota: La primera edición (1893) y sus reimpresiones afirman que Galileo inventó la cicloide. Según Phillips, esto se corrigió en la segunda edición (1919) y se ha mantenido hasta la edición más reciente (quinta).)
7. Roidt, Tom (2011). Cicloides y trayectorias (PDF) (MS). Universidad Estatal de Portland. p. 4. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
8. Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2, Leipzig: BG Teubner, OCLC  25376971
9. Günther, Siegmund (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften , Leipzig: Druck und Verlag Von BG Teubner, p. 352, OCLC  2060559
10. Phillips, JP (mayo de 1967), "Braquistócrona, tautocrona, cicloide: manzana de la discordia", The Mathematics Teacher , 60 (5): 506–508, doi :10.5951/MT.60.5.0506, JSTOR  27957609(se requiere suscripción)
11. Victor, Joseph M. (1978), Charles de Bovelles, 1479-1553: Una biografía intelectual, pág. 42, ISBN 978-2-600-03073-1
12. Martin, J. (2010). "La Helena de la geometría". The College Mathematics Journal . 41 : 17–28. doi :10.4169/074683410X475083. S2CID  55099463.
13. de Bouelles, Charles (1503), Introductio in geometriam... Liber de quadratura circuli. Esfera de liberación de cúbicación. Introducción a la perspectiva. , OCLC  660960655
14. Torricelli, Evangelista (1644), Opera geométrica , OCLC  55541940
15. Walker, Evelyn (1932), Un estudio del Traité des Indivisibles de Roberval , Universidad de Columbia(citado en Whitman 1943);
16. Conner, James A. (2006), La apuesta de Pascal: El hombre que jugó a los dados con Dios (1.ª ed.), HarperCollins, págs. 224, ISBN 9780060766917
17. Roberts, Charles (2018). Ecuaciones diferenciales elementales: aplicaciones, modelos y computación (2.ª edición ilustrada). CRC Press. pág. 141. ISBN 978-1-4987-7609-7.Extracto de la página 141, ecuación (f) con su K=2r
18. C. Huygens, "El reloj de péndulo o demostraciones geométricas relativas al movimiento del péndulo (sic) tal como se aplican a los relojes", traducido por RJ Blackwell, Iowa State University Press (Ames, Iowa, EE. UU., 1986).
19. 101 razones para amar Dartmouth, Revista de exalumnos de Dartmouth, 2016
20. Playfair, Q. "Arqueo cicloide curtido en instrumentos de la familia de violines cremoneses de la Edad de Oro". Revista de la Sociedad Acústica Catgut . II. 4 (7): 48–58.
21. Mottola, RM (2011). "Comparación de los perfiles arqueados de los violines cremoneses de la Edad de Oro y algunas curvas generadas matemáticamente". Savart Journal . 1 (1). Archivado desde el original el 2017-12-11 . Consultado el 2012-08-13 .

Lectura adicional

• Una aplicación de la física : Ghatak, A. y Mahadevan, L. Crack street: la estela cicloidal de un cilindro que rasga una lámina. Physical Review Letters, 91, (2003). link.aps.org
• Edward Kasner y James Newman (1940) Matemáticas e imaginación , págs. 196-200, Simon & Schuster .
• Wells D (1991). Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 445–47. ISBN 0-14-011813-6.

Enlaces externos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Cicloide", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
• Weisstein, Eric W. "Cicloide". MundoMatemático .Recuperado el 27 de abril de 2007.
• Cicloides en el momento de cortar el nudo
• Tratado sobre la cicloide y todas las formas de curvas cicloidales, monografía de Richard A. Proctor, BA publicada por la Biblioteca de la Universidad de Cornell.
• Curvas cicloides de Sean Madsen con contribuciones de David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project .
• Cicloide en PlanetPTC (Mathcad)
• Un enfoque VISUAL para los problemas de CÁLCULO por Tom Apostol