Proceso de Wiener

Proceso estocástico que generaliza el movimiento browniano

Una única realización de un proceso de Wiener unidimensional

Una única realización de un proceso de Wiener tridimensional

En matemáticas , el proceso de Wiener es un proceso estocástico de tiempo continuo de valor real llamado así en honor al matemático estadounidense Norbert Wiener por sus investigaciones sobre las propiedades matemáticas del movimiento browniano unidimensional. ^[1] A menudo también se le llama movimiento browniano debido a su conexión histórica con el proceso físico del mismo nombre observado originalmente por el botánico escocés Robert Brown . Es uno de los procesos de Lévy ( procesos estocásticos de càdlàg con incrementos independientes estacionarios ) más conocidos y ocurre con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas , economía , finanzas cuantitativas , biología evolutiva y física .

El proceso de Wiener desempeña un papel importante tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. En matemáticas puras, el proceso de Wiener dio lugar al estudio de las martingalas de tiempo continuo . Es un proceso clave en términos del cual se pueden describir procesos estocásticos más complicados. Como tal, desempeña un papel vital en el cálculo estocástico , los procesos de difusión e incluso la teoría del potencial . Es el proceso impulsor de la evolución de Schramm-Loewner . En matemáticas aplicadas , el proceso de Wiener se utiliza para representar la integral de un proceso gaussiano de ruido blanco y, por lo tanto, es útil como modelo de ruido en ingeniería electrónica (ver ruido browniano ), errores de instrumentos en la teoría del filtrado y perturbaciones en la teoría del control .

El proceso de Wiener tiene aplicaciones en todas las ciencias matemáticas. En física se utiliza para estudiar el movimiento browniano , la difusión de partículas diminutas suspendidas en un fluido y otros tipos de difusión a través de las ecuaciones de Fokker-Planck y Langevin . También constituye la base de la formulación rigurosa de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica (mediante la fórmula de Feynman-Kac , una solución a la ecuación de Schrödinger puede representarse en términos del proceso de Wiener) y el estudio de la inflación eterna en la cosmología física . También es importante en la teoría matemática de las finanzas , en particular en el modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes .

Caracterización del proceso de Wiener

El proceso de Wiener se caracteriza por las siguientes propiedades: ^[2] ${\displaystyle W_{t}}$

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$ casi seguro
2. ${\displaystyle W}$tiene incrementos independientes : para cada uno los incrementos futuros son independientes de los valores pasados , ${\displaystyle t>0,}$ ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t},}$ ${\displaystyle u\geq 0,}$ ${\displaystyle W_{s}}$ ${\displaystyle s<t.}$
3. ${\displaystyle W}$tiene incrementos gaussianos: se distribuye normalmente con media y varianza , ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u).}$
4. ${\displaystyle W}$tiene caminos casi seguramente continuos: es casi seguramente continuo en . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Que el proceso tenga incrementos independientes significa que si 0 ≤ s ₁ < t ₁ ≤ s ₂ < t ₂ entonces W _{t 1} − W _{s 1} y W _{t 2} − W _{s 2} son variables aleatorias independientes, y la condición similar se cumple para n incrementos.

Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la llamada caracterización de Lévy , que dice que el proceso de Wiener es una martingala casi seguramente continua con W ₀ = 0 y variación cuadrática [ W _t , W _t ] = t (lo que significa que W _t ² − t también es una martingala).

Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie de senos cuyos coeficientes son variables aleatorias independientes N (0, 1). Esta representación se puede obtener utilizando el teorema de Karhunen–Loève .

Otra caracterización de un proceso de Wiener es la integral definida (desde el tiempo cero hasta el tiempo t ) de un proceso gaussiano con media cero, varianza unitaria y correlación delta ("blanco") . ^[3]

El proceso de Wiener puede construirse como el límite de escala de un paseo aleatorio u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos independientes estacionarios. Esto se conoce como el teorema de Donsker . Al igual que el paseo aleatorio, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que regresa casi con seguridad a cualquier entorno fijo del origen infinitamente a menudo) mientras que no es recurrente en dimensiones tres y superiores (donde un proceso de Wiener multidimensional es un proceso tal que sus coordenadas son procesos de Wiener independientes). ^[4] A diferencia del paseo aleatorio, es invariante de escala , lo que significa que es un proceso de Wiener para cualquier constante distinta de cero α . La medida de Wiener es la ley de probabilidad en el espacio de funciones continuas g , con g (0) = 0 , inducida por el proceso de Wiener. Una integral basada en la medida de Wiener puede llamarse integral de Wiener . $${\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}}$$

Proceso de Wiener como límite de un paseo aleatorio

Sean variables aleatorias iid con media 0 y varianza 1. Para cada n , defina un proceso estocástico de tiempo continuo . Esta es una función escalonada aleatoria. Los incrementos de son independientes porque son independientes. Para n grandes , está cerca de por el teorema del límite central. El teorema de Donsker afirma que a medida que , se acerca a un proceso de Wiener, lo que explica la ubicuidad del movimiento browniano. ^[5] ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots }$ $${\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].}$$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)}$ ${\displaystyle N(0,t-s)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle W_{n}}$

Propiedades de un proceso de Wiener unidimensional

Cinco procesos muestreados, con desviación estándar esperada en gris.

Propiedades básicas

La función de densidad de probabilidad incondicional sigue una distribución normal con media = 0 y varianza = t , en un tiempo fijo t : $${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$$

La expectativa es cero: $${\displaystyle \operatorname {E} [W_{t}]=0.}$$

La varianza , utilizando la fórmula computacional, es t : $${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}$$

Estos resultados se desprenden inmediatamente de la definición de que los incrementos tienen una distribución normal , centrada en cero. Por lo tanto $${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$$

Covarianza y correlación

La covarianza y correlación (donde ): ${\displaystyle s\leq t}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})&=s,\\\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})&={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.\end{aligned}}}$$

Estos resultados se desprenden de la definición de que los incrementos no superpuestos son independientes, de la cual solo se utiliza la propiedad de que no están correlacionados. Supongamos que . ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$$

Sustituyendo llegamos a: $${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

Dado que y son independientes, ${\displaystyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}$ ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}$ $${\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$$

De este modo $${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$$

Un corolario útil para la simulación es que podemos escribir, para t ₁ < t ₂ : donde Z es una variable normal estándar independiente. $${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}$$

Representación de Wiener

Wiener (1923) también dio una representación de una trayectoria browniana en términos de una serie aleatoria de Fourier . Si son variables gaussianas independientes con media cero y varianza uno, entonces y representan un movimiento browniano en . El proceso escalado es un movimiento browniano en (cf. teorema de Karhunen–Loève ). ${\displaystyle \xi _{n}}$ $${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}}$$ $${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$$ ${\displaystyle [0,1]}$ $${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$$ ${\displaystyle [0,c]}$

Corriendo al máximo

La distribución conjunta del máximo en funcionamiento y W _t es $${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$$ $${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$$

Para obtener la distribución incondicional de , integre sobre −∞ < w ≤ m : ${\displaystyle f_{M_{t}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$$

La función de densidad de probabilidad de una distribución seminormal . La expectativa ^[6] es $${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$$

Si en un momento dado el proceso de Wiener tiene un valor conocido , es posible calcular la distribución de probabilidad condicional del máximo en el intervalo (cf. Distribución de probabilidad de puntos extremos de un proceso estocástico de Wiener ). La función de distribución de probabilidad acumulada del valor máximo, condicionada por el valor conocido , es: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle W_{t}}$ $${\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}$$

Autosimilitud

Una demostración de escalamiento browniano, que muestra c decreciente . Nótese que las características promedio de la función no cambian mientras se amplía, y observe que amplía cuadráticamente más rápido horizontalmente que verticalmente. ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Escala browniana

Para cada c > 0 el proceso es otro proceso de Wiener. ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Inversión del tiempo

El proceso para 0 ≤ t ≤ 1 se distribuye como W _t para 0 ≤ t ≤ 1 . ${\displaystyle V_{t}=W_{1-t}-W_{1}}$

Inversión del tiempo

El proceso es otro proceso de Wiener. ${\displaystyle V_{t}=tW_{1/t}}$

Invariancia proyectiva

Considérese un proceso de Wiener , , condicionado de modo que (lo que se cumple casi con seguridad) y como es habitual . Entonces los siguientes son todos procesos de Wiener (Takenaka 1988): Por lo tanto, el proceso de Wiener es invariante bajo el grupo proyectivo PSL(2,R) , siendo invariante bajo los generadores del grupo. La acción de un elemento es que define una acción de grupo , en el sentido de que ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }tW(t)=0}$ ${\displaystyle W(0)=0}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{1,s}(t)&=&W(t+s)-W(s),\quad s\in \mathbb {R} \\W_{2,\sigma }(t)&=&\sigma ^{-1/2}W(\sigma t),\quad \sigma >0\\W_{3}(t)&=&tW(-1/t).\end{array}}}$$ ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle W_{g}(t)=(ct+d)W\left({\frac {at+b}{ct+d}}\right)-ctW\left({\frac {a}{c}}\right)-dW\left({\frac {b}{d}}\right),}$ ${\displaystyle (W_{g})_{h}=W_{gh}.}$

Invariancia conforme en dos dimensiones

Sea un proceso de Wiener bidimensional, considerado como un proceso de valor complejo con . Sea un conjunto abierto que contiene 0, y sea un tiempo de Markov asociado: Si es una función holomorfa que no es constante, tal que , entonces es un proceso de Wiener modificado en el tiempo en (Lawler 2005). Más precisamente, el proceso es Wiener en con el tiempo de Markov donde ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle W(0)=0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ $${\displaystyle \tau _{D}=\inf\{t\geq 0|W(t)\not \in D\}.}$$ ${\displaystyle f:D\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(W_{t})}$ ${\displaystyle f(D)}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S(t)}$ $${\displaystyle Y(t)=f(W(\sigma (t)))}$$ $${\displaystyle S(t)=\int _{0}^{t}|f'(W(s))|^{2}\,ds}$$ $${\displaystyle \sigma (t)=S^{-1}(t):\quad t=\int _{0}^{\sigma (t)}|f'(W(s))|^{2}\,ds.}$$

Una clase de martingalas brownianas

Si un polinomio p ( x , t ) satisface la ecuación diferencial parcial , entonces el proceso estocástico es una martingala . $${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$$ $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$$

Ejemplo: es una martingala, que muestra que la variación cuadrática de W en [0, t ] es igual a t . De ello se deduce que el tiempo esperado de la primera salida de W desde (− c , c ) es igual a c ² . ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

De manera más general, para cada polinomio p ( x , t ) el siguiente proceso estocástico es una martingala: donde a es el polinomio $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$$ $${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$$

Ejemplo: el proceso es una martingala, lo que demuestra que la variación cuadrática de la martingala en [0, t ] es igual a ${\displaystyle p(x,t)=\left(x^{2}-t\right)^{2},}$ ${\displaystyle a(x,t)=4x^{2};}$ $${\displaystyle \left(W_{t}^{2}-t\right)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$$ ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$ $${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$$

Sobre funciones p ( xa , t ) más generales que los polinomios, véase martingalas locales .

Algunas propiedades de las rutas de muestra

El conjunto de todas las funciones w con estas propiedades es de medida de Wiener completa, es decir, una trayectoria (función de muestra) del proceso de Wiener tiene todas estas propiedades casi con seguridad.

Propiedades cualitativas

• Para cada ε > 0, la función w toma valores (estrictamente) positivos y (estrictamente) negativos en (0, ε).
• La función w es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna (como la función de Weierstrass ).
• Para cualquier , es casi seguro que no es - Hölder continua , y es casi seguro que es -Hölder continua. ^[7] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}+\epsilon )}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}-\epsilon )}$
• Los puntos de máximo local de la función w son un conjunto contable denso; los valores máximos son diferentes por pares; cada máximo local es agudo en el siguiente sentido: si w tiene un máximo local en t entonces Lo mismo se aplica a los mínimos locales. $${\displaystyle \lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .}$$
• La función w no tiene puntos de aumento local, es decir, no t > 0 satisface lo siguiente para algún ε en (0, t ): primero, w ( s ) ≤ w ( t ) para todo s en ( t − ε , t ), y segundo, w ( s ) ≥ w ( t ) para todo s en ( t , t + ε ). (El aumento local es una condición más débil que que w sea creciente en ( t − ε , t + ε ).) Lo mismo se aplica a la disminución local.
• La función w tiene una variación ilimitada en cada intervalo.
• La variación cuadrática de w sobre [0, t ] es t .
• Los ceros de la función w son un conjunto perfecto, denso en ninguna parte, de medida de Lebesgue 0 y dimensión de Hausdorff 1/2 (por lo tanto, incontable).

Propiedades cuantitativas

Ley del logaritmo iterado

$${\displaystyle \limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{almost surely}}.}$$

Módulo de continuidad

Módulo local de continuidad: $${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$$

Módulo global de continuidad (Lévy): $${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$$

Teorema de duplicación de dimensión

Los teoremas de duplicación de la dimensión dicen que la dimensión de Hausdorff de un conjunto bajo un movimiento browniano se duplica casi con seguridad.

Hora local

La imagen de la medida de Lebesgue en [0, t ] bajo la función w (la medida de empuje hacia adelante ) tiene una densidad L _t . Por lo tanto, para una amplia clase de funciones f (a saber: todas las funciones continuas; todas las funciones localmente integrables; todas las funciones medibles no negativas). La densidad L _t es (más exactamente, puede y será elegida para ser) continua. El número L _t ( x ) se llama tiempo local en x de w en [0, t ]. Es estrictamente positivo para todo x del intervalo ( a , b ) donde a y b son el menor y el mayor valor de w en [0, t ], respectivamente. (Para x fuera de este intervalo el tiempo local evidentemente se desvanece.) Tratada como una función de dos variables x y t , el tiempo local sigue siendo continuo. Tratada como una función de t (mientras x es fijo), el tiempo local es una función singular correspondiente a una medida no atómica en el conjunto de ceros de w . $${\displaystyle \int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x}$$

Estas propiedades de continuidad no son triviales. Consideremos que el tiempo local también puede definirse (como la densidad de la medida de empuje hacia adelante) para una función suave. Sin embargo, en ese caso la densidad es discontinua, a menos que la función dada sea monótona. En otras palabras, existe un conflicto entre el buen comportamiento de una función y el buen comportamiento de su tiempo local. En este sentido, la continuidad del tiempo local del proceso de Wiener es otra manifestación de la falta de suavidad de la trayectoria.

Tasa de información

La tasa de información del proceso de Wiener con respecto a la distancia de error al cuadrado, es decir, su función de tasa-distorsión cuadrática , está dada por ^[8] Por lo tanto, es imposible codificar utilizando un código binario de menos de bits y recuperarlo con un error cuadrático medio esperado menor que . Por otro lado, para cualquier , existe un código binario suficientemente grande y de no más de elementos distintos tal que el error cuadrático medio esperado en la recuperación de este código es como máximo . $${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}\ln 2D}}\approx 0.29D^{-1}.}$$ ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle TR(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2^{TR(D)}}$ ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle D-\varepsilon }$

En muchos casos, es imposible codificar el proceso de Wiener sin muestrearlo primero. Cuando se muestrea el proceso de Wiener a intervalos antes de aplicar un código binario para representar estas muestras, el equilibrio óptimo entre la tasa de código y el error cuadrático medio esperado (al estimar el proceso de Wiener de tiempo continuo) sigue la representación paramétrica ^[9] donde y . En particular, es el error cuadrático medio asociado solo con la operación de muestreo (sin codificación). ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle R(T_{s},D)}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$$ $${\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min \left\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \right\}d\varphi ,}$$ ${\displaystyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$ ${\displaystyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$ ${\displaystyle T_{s}/6}$

Procesos relacionados

Procesos de Wiener con deriva ( azul ) y sin deriva ( rojo ).

Procesos de Wiener 2D con deriva ( azul ) y sin deriva ( rojo ).

El generador de un movimiento browniano es 1 ⁄ 2 veces el operador de Laplace-Beltrami . La imagen de arriba es del movimiento browniano en una variedad especial: la superficie de una esfera.

El proceso estocástico definido por se denomina proceso de Wiener con deriva μ y varianza infinitesimal σ ² . Estos procesos agotan los procesos de Lévy continuos , lo que significa que son los únicos procesos de Lévy continuos, como consecuencia de la representación de Lévy-Khintchine. $${\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$$

Dos procesos aleatorios en el intervalo de tiempo [0, 1] aparecen, en términos generales, al condicionar el proceso de Wiener a desaparecer en ambos extremos de [0,1]. Sin más condicionamiento, el proceso toma valores positivos y negativos en [0, 1] y se denomina puente browniano . Condicionado también para permanecer positivo en (0, 1), el proceso se denomina excursión browniana . ^[10] En ambos casos, un tratamiento riguroso implica un procedimiento limitante, ya que la fórmula P ( A | B ) = P ( A ∩ B )/ P ( B ) no se aplica cuando P ( B ) = 0.

Un movimiento browniano geométrico se puede escribir $${\displaystyle e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.}$$

Es un proceso estocástico que se utiliza para modelar procesos que nunca pueden tomar valores negativos, como el valor de las acciones.

El proceso estocástico se distribuye como el proceso de Ornstein-Uhlenbeck con parámetros , , y . $${\displaystyle X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}}$$ ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2}$

El tiempo de impacto en un único punto x > 0 por el proceso de Wiener es una variable aleatoria con distribución de Lévy . La familia de estas variables aleatorias (indexadas por todos los números positivos x ) es una modificación continua por la izquierda de un proceso de Lévy . La modificación continua por la derecha de este proceso está dada por los tiempos de la primera salida de intervalos cerrados [0, x ].

El tiempo local L = ( L ^x _t ) _{x ∈ R , t ≥ 0} de un movimiento browniano describe el tiempo que el proceso pasa en el punto x . Formalmente , donde δ es la función delta de Dirac . El comportamiento del tiempo local se caracteriza por los teoremas de Ray-Knight . $${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds}$$

Martingalas brownianas

Sea A un evento relacionado con el proceso de Wiener (más formalmente: un conjunto, medible con respecto a la medida de Wiener, en el espacio de funciones), y X _t la probabilidad condicional de A dado el proceso de Wiener en el intervalo de tiempo [0, t ] (más formalmente: la medida de Wiener del conjunto de trayectorias cuya concatenación con la trayectoria parcial dada en [0, t ] pertenece a A ). Entonces el proceso X _t es una martingala continua. Su propiedad de martingala se desprende inmediatamente de las definiciones, pero su continuidad es un hecho muy especial – un caso especial de un teorema general que establece que todas las martingalas brownianas son continuas. Una martingala browniana es, por definición, una martingala adaptada a la filtración browniana; y la filtración browniana es, por definición, la filtración generada por el proceso de Wiener.

Movimiento browniano integrado

La integral temporal del proceso de Wiener se denomina movimiento browniano integrado o proceso de Wiener integrado . Surge en muchas aplicaciones y se puede demostrar que tiene la distribución N (0, t ³ /3), ^[11] calculada utilizando el hecho de que la covarianza del proceso de Wiener es . ^[12] $${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds}$$ ${\displaystyle t\wedge s=\min(t,s)}$

Para el caso general del proceso definido por Entonces, para , De hecho, es siempre una variable aleatoria normal de media cero. Esto permite la simulación de dado tomando donde Z es una variable normal estándar y El caso de corresponde a . Todos estos resultados pueden verse como consecuencias directas de la isometría de Itô . El proceso de Wiener integrado n veces es una variable normal de media cero con varianza . Esto viene dado por la fórmula de Cauchy para la integración repetida . $${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}}$$ ${\displaystyle a>0}$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$$ $${\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds}$$ ${\displaystyle V_{f}(t)}$ ${\displaystyle V_{f}(t+a)}$ ${\displaystyle V_{f}(t)}$ $${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$$ $${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}$$ $${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))}$$ ${\displaystyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)}$ ${\displaystyle f(t)=t}$ ${\displaystyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}$

Cambio de hora

Cada martingala continua (que comienza en el origen) es un proceso de Wiener modificado en el tiempo.

Ejemplo: 2 W _t = V (4 t ) donde V es otro proceso de Wiener (distinto de W pero distribuido como W ).

Ejemplo. donde y V es otro proceso de Wiener. ${\displaystyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$ ${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$

En general, si M es una martingala continua, entonces donde A ( t ) es la variación cuadrática de M en [0, t ], y V es un proceso de Wiener. ${\displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$

Corolario. (Véase también los teoremas de convergencia de la martingala de Doob ) Sea M _t una martingala continua, y $${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$$ $${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$$

Entonces sólo son posibles los dos casos siguientes: los demás casos (como etc.) tienen probabilidad 0. $${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$$ $${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;}$$ ${\displaystyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$   ${\displaystyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$

En particular, una martingala continua no negativa tiene un límite finito (cuando t → ∞) casi con seguridad.

Todo lo expuesto (en esta subsección) para las martingalas se aplica también a las martingalas locales .

Cambio de medida

Una amplia clase de semimartingalas continuas (especialmente, de procesos de difusión ) está relacionada con el proceso de Wiener a través de una combinación de cambio de tiempo y cambio de medida .

Utilizando este hecho, las propiedades cualitativas enunciadas anteriormente para el proceso de Wiener se pueden generalizar a una amplia clase de semimartingalas continuas. ^{[13] [14]}

Proceso de Wiener de valor complejo

El proceso de Wiener de valor complejo puede definirse como un proceso aleatorio de valor complejo de la forma donde y son procesos de Wiener independientes (de valor real). En otras palabras, es el proceso de Wiener bidimensional, donde nos identificamos con . ^[15] ${\displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Autosimilitud

Escala browniana, inversión del tiempo, inversión del tiempo: lo mismo que en el caso de valor real.

Invariancia de rotación: para cada número complejo tal que el proceso sea otro proceso de Wiener de valor complejo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|=1}$ ${\displaystyle c\cdot Z_{t}}$

Cambio de hora

Si es una función completa , entonces el proceso es un proceso de Wiener de valor complejo modificado en el tiempo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(Z_{t})-f(0)}$

Ejemplo: donde y es otro proceso de Wiener de valor complejo. ${\displaystyle Z_{t}^{2}=\left(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2}\right)+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}}$ $${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s}$$ ${\displaystyle U}$

A diferencia del caso de valor real, una martingala de valor complejo no es, por lo general, un proceso de Wiener de valor complejo modificado en el tiempo. Por ejemplo, la martingala no lo es (aquí y son procesos de Wiener independientes, como antes). ${\displaystyle 2X_{t}+iY_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$

Lámina browniana

La hoja browniana es una generalización multiparamétrica. La definición varía según los autores: algunos definen la hoja browniana como un parámetro temporal específicamente bidimensional, mientras que otros la definen para dimensiones generales. ${\displaystyle t}$

Véase también

Notas

1. N. Wiener Obras completas vol. 1
2. Durrett, Rick (2019). "Movimiento browniano". Probabilidad: teoría y ejemplos (5.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781108591034.
3. Huang, Steel T.; Cambanis, Stamatis (1978). "Integrales estocásticas y múltiples de Wiener para procesos gaussianos". Anales de probabilidad . 6 (4): 585–614. doi : 10.1214/aop/1176995480 . ISSN  0091-1798. JSTOR  2243125.
4. "Constantes de caminata aleatoria de Pólya". Wolfram MathWorld .
5. Steven Lalley, Finanzas matemáticas 345, lección 5: Movimiento browniano (2001)
6. Shreve, Steven E (2008). Cálculo estocástico para finanzas II: modelos de tiempo continuo . Springer. pág. 114. ISBN. 978-0-387-40101-0.
7. Mörters, Peter; Peres, Yuval; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2010). Movimiento browniano . Serie de Cambridge en matemáticas estadísticas y probabilísticas. Cambridge: Cambridge University Press. pág. 18. ISBN 978-0-521-76018-8.
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10. Vervaat, W. (1979). "Una relación entre el puente browniano y la excursión browniana". Anales de probabilidad . 7 (1): 143–149. doi : 10.1214/aop/1176995155 . JSTOR  2242845.
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13. Revuz, D., y Yor, M. (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano (Vol. 293). Springer.
14. Doob, JL (1953). Procesos estocásticos (Vol. 101). Wiley: Nueva York.
15. Navarro-moreno, J.; Estudillo-martinez, MD; Fernandez-alcala, RM; Ruiz-molina, JC (2009), "Estimación de señales aleatorias impropias de valor complejo en ruido coloreado mediante el uso de la teoría del espacio de Hilbert", IEEE Transactions on Information Theory , 55 (6): 2859–2867, doi :10.1109/TIT.2009.2018329, S2CID  5911584

Referencias

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• Lawler, Greg (2005), Procesos invariantes conformes en el plano , AMS.
• Stark, Henry; Woods, John (2002). Probabilidad y procesos aleatorios con aplicaciones al procesamiento de señales (3.ª ed.). Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Martingalas continuas y movimiento browniano (Segunda edición). Springer-Verlag.
• Takenaka, Shigeo (1988), "Sobre la invariancia proyectiva de trayectorias del movimiento browniano", Proc Japan Acad , 64 : 41–44.

Enlaces externos

• Movimiento Browniano para el Niño en Edad Escolar
• Movimiento browniano, “diverso y ondulante”
• Analiza la historia, la botánica y la física de las observaciones originales de Brown, con videos.
• "La predicción de Einstein se cumple finalmente un siglo después": una prueba para observar la velocidad del movimiento browniano
• "Aplicación web interactiva: Procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas".