En matemáticas , la isometría de Itô , llamada así en honor a Kiyoshi Itô , es un hecho crucial sobre las integrales estocásticas de Itô . Una de sus principales aplicaciones es permitir el cálculo de varianzas de variables aleatorias dadas como integrales de Itô.
Denotemos el proceso Wiener canónico de valor real definido hasta el momento , y sea un proceso estocástico que se adapta a la filtración natural del proceso Wiener. [ se necesita aclaración ] Entonces![{\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde denota expectativa con respecto a la medida clásica de Wiener .
En otras palabras, la integral de Itô, como función del espacio de procesos adaptados integrables al cuadrado al espacio de variables aleatorias integrables al cuadrado, es una isometría de espacios vectoriales normados con respecto a las normas inducidas por los productos internos.
y
Como consecuencia, la integral de Itô también respeta estos productos internos, es decir, podemos escribir
para .
Referencias
![{\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2227fe6d949bb5ffca7a97320cfa6ba143b763e)
![{\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b00de44703312aa78ba1b270e89fc4a4481520b)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]= \operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}^{2}\,\mathrm {d} t\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815c8681fac3ee5f8629da2c34e7bdaf0658ee33)
![{\displaystyle L_{\mathrm {anuncio} }^{2}([0,T]\times \Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a59d5fd5a88280ebaa97d609251839a594e009e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)_{L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )}&:=\operatorname {E} \left (\int _{0}^{T}X_{t}\,Y_{t}\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a239b9e0e5c4334a7c84776c984cdcd5823b14cd)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\left(\int _{0 }^{T}Y_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}Y_ {t}\,\mathrm {d} t\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee457ac2ad838b79ac3e4d2a4b2accf0bd27428)
![{\displaystyle X,Y\in L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048aded9590cd42ded3599a3e577c6fb33adb90b)