Fracción continua generalizada

En análisis complejo , una rama de las matemáticas , una fracción continua generalizada es una generalización de fracciones continuas regulares en forma canónica, en la que los numeradores parciales y los denominadores parciales pueden asumir valores complejos arbitrarios .

Una fracción continua generalizada es una expresión de la forma

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

donde a _n ( n > 0 ) son los numeradores parciales, b _n son los denominadores parciales y el término principal b ₀ se llama parte entera de la fracción continua.

Los sucesivos convergentes de la fracción continua se forman aplicando las fórmulas de recurrencia fundamental :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {A_{0}}{B_{0}}}=b_{0},\\[4px]x_{1}&={\frac {A_{1}}{B_{1}}}={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}}{b_{1}}},\\[4px]x_{2}&={\frac {A_{2}}{B_{2}}}={\frac {b_{2}(b_{1}b_{0}+a_{1})+a_{2}b_{0}}{b_{2}b_{1}+a_{2}}},\ \dots \end{aligned}}}$

donde An _es el numerador y B _n es el denominador , llamados continuantes , ^{[1] [2]} del n -ésimo convergente. Están dados por la recursividad ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2},\\B_{n}&=b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$

con valores iniciales

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1,&A_{0}&=b_{0},\\B_{-1}&=0,&B_{0}&=1.\end{aligned}}}$

Si la secuencia de convergentes { x _n } se acerca a un límite , la fracción continua es convergente y tiene un valor definido. Si la secuencia de convergentes nunca se acerca a un límite, la fracción continua es divergente. Puede divergir por oscilación (por ejemplo, los convergentes pares e impares pueden acercarse a dos límites diferentes), o puede producir un número infinito de denominadores cero B _n .

Historia

La historia de las fracciones continuas comienza con el algoritmo euclidiano , ^[4] un procedimiento para encontrar el máximo común divisor de dos números naturales m y n . Ese algoritmo introdujo la idea de dividir para extraer un nuevo resto y luego dividir por el nuevo resto repetidamente.

Pasaron casi dos mil años antes de que Bombelli (1579) ideara una técnica para aproximar las raíces de ecuaciones cuadráticas con fracciones continuas a mediados del siglo XVI. Ahora el ritmo de desarrollo se aceleró. Sólo 24 años después, en 1613, Pietro Cataldi introdujo la primera notación formal para la fracción continua generalizada. ^[5] Cataldi representó una fracción continua como

${\displaystyle {a_{0}\cdot }\,\&\,{\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{3}}{d_{3}}}}$

con los puntos indicando dónde va la siguiente fracción, y cada & representa un signo más moderno.

A finales del siglo XVII, John Wallis introdujo el término "fracción continua" en la literatura matemática. ^[6] Nuevas técnicas para el análisis matemático ( el cálculo de Newton y Leibniz ) habían aparecido recientemente en escena, y una generación de contemporáneos de Wallis puso en uso la nueva frase.

En 1748, Euler publicó un teorema que mostraba que un tipo particular de fracción continua es equivalente a cierta serie infinita muy general . ^[7] La ​​fórmula de fracción continua de Euler sigue siendo la base de muchas pruebas modernas de convergencia de fracciones continuas .

En 1761, Johann Heinrich Lambert dio la primera prueba de que π es irracional , utilizando la siguiente fracción continua para tan x : ^[8]

${\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {-x^{2}}{3+{\cfrac {-x^{2}}{5+{\cfrac {-x^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}}$

Las fracciones continuas también se pueden aplicar a problemas de teoría de números y son especialmente útiles en el estudio de ecuaciones diofánticas . A finales del siglo XVIII, Lagrange utilizó fracciones continuas para construir la solución general de la ecuación de Pell , respondiendo así a una pregunta que había fascinado a los matemáticos durante más de mil años. ^[9] El descubrimiento de Lagrange implica que la expansión canónica de fracción continua de la raíz cuadrada de cada entero no cuadrado es periódica y que, si el período es de longitud p > 1 , contiene una cadena palindrómica de longitud p − 1 .

En 1813, Gauss derivó a partir de funciones hipergeométricas de valores complejos lo que ahora se llama fracciones continuas de Gauss . ^[10] Se pueden utilizar para expresar muchas funciones elementales y algunas funciones más avanzadas (como las funciones de Bessel ), como fracciones continuas que convergen rápidamente en casi todas partes del plano complejo.

Notación

La expresión de fracción continua larga que se muestra en la introducción es fácil de interpretar para un lector desconocido. Sin embargo, ocupa mucho espacio y puede resultar difícil de componer. Por eso los matemáticos han ideado varias notaciones alternativas. Una forma conveniente de expresar una fracción continua generalizada establece cada fracción anidada en la misma línea, indicando el anidamiento colgando signos más en los denominadores:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}+}}\,{\frac {a_{2}}{b_{2}+}}\,{\frac {a_{3}}{b_{3}+}}\cdots }$

A veces, los signos más se componen para alinearse verticalmente con los denominadores, pero no debajo de las barras de fracción:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}{{} \atop +}{\frac {a_{2}}{b_{2}}}{{} \atop +}{\frac {a_{3}}{b_{3}}}{{} \atop +\cdots }}$

Pringsheim escribió una fracción continua generalizada de esta manera:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots .\,}$

Carl Friedrich Gauss evocó el producto infinito más familiar Π cuando ideó esta notación:

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

Aquí la " K " significa Kettenbruch , la palabra alemana que significa "fracción continua". Ésta es probablemente la forma más compacta y cómoda de expresar fracciones continuas; sin embargo, no es muy utilizado por los tipógrafos ingleses.

Algunas consideraciones elementales

A continuación se muestran algunos resultados elementales que son de fundamental importancia en el desarrollo posterior de la teoría analítica de fracciones continuas.

Numeradores y denominadores parciales

Si uno de los numeradores parciales _an + ₁ es cero, la fracción continua infinita

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

es en realidad solo una fracción continua finita con n términos fraccionarios y, por lo tanto, una _función racional de a ₁ a an y b ₀ a b _{n + 1} . Un objeto así tiene poco interés desde el punto de vista adoptado en el análisis matemático, por lo que normalmente se supone que todo a _i ≠ 0 . No es necesario imponer esta restricción a los denominadores parciales b _i .

La fórmula determinante

Cuando el n ésimo convergente de una fracción continua

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

se expresa como una fracción simple x _n =Un _{_}/B _n.podemos usar la formula determinante

Relacionar los numeradores y denominadores de convergentes sucesivos x _n y x _{n − 1} entre sí. La prueba de esto puede verse fácilmente por inducción.

Caso base

El caso n = 1 resulta de un cálculo muy simple.

paso inductivo

Supongamos que ( 1 ) es válido para n − 1 . Entonces necesitamos ver que la misma relación se cumple para n . Sustituyendo el valor de A _n y B _n en ( 1 ) obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}&=b_{n}A_{n-1}B_{n-1}+a_{n}A_{n-1}B_{n-2}-b_{n}A_{n-1}B_{n-1}-a_{n}A_{n-2}B_{n-1}\\&=a_{n}(A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1})\end{aligned}}}$

lo cual es cierto debido a nuestra hipótesis de inducción.

${\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})\,}$

Específicamente, si ni B _n ni B _{n − 1} son cero ( n > 0 ), podemos expresar la diferencia entre los convergentes ( n − 1 ) ésimo y n ésimo de esta manera:

${\displaystyle x_{n-1}-x_{n}={\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}-{\frac {A_{n}}{B_{n}}}=\left(-1\right)^{n}{\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{B_{n}B_{n-1}}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})}{B_{n}B_{n-1}}}.\,}$

La transformación de equivalencia

Si { c _i } = { c ₁ , c ₂ , c ₃ , ...} es cualquier secuencia infinita de números complejos distintos de cero podemos demostrar, por inducción , que

${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

donde la igualdad se entiende como equivalencia, es decir, que los convergentes sucesivos de la fracción continua de la izquierda son exactamente iguales que los convergentes de la fracción de la derecha.

La transformación de equivalencia es perfectamente general, pero dos casos particulares merecen especial mención. Primero, si ninguno de los a _i es cero, se puede elegir una secuencia { c _i } para hacer que cada numerador parcial sea 1:

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\,}$

donde c ₁ =1/un ₁, c ₂ =un ₁/un ₂, c ₃ =un ₂/un ₁ un ₃, y en general c _{n + 1} =1/un _{norte + 1} c _norte.

En segundo lugar, si ninguno de los denominadores parciales b _i es cero, podemos usar un procedimiento similar para elegir otra secuencia { d _i } para hacer que cada denominador parcial sea 1:

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\,}$

donde d ₁ =1/segundo ₁y en caso contrario d _{n + 1} =1/segundo _norte segundo norte _{+ 1}.

Estos dos casos especiales de la transformación de equivalencia son enormemente útiles cuando se analiza el problema de convergencia general .

Nociones de convergencia

Como se mencionó en la introducción, la fracción continua

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

converge si la secuencia de convergentes { x _n } tiende a un límite finito. Esta noción de convergencia es muy natural, pero a veces demasiado restrictiva. Por tanto, resulta útil introducir la noción de convergencia general de una fracción continua. A grandes rasgos, esto consiste en sustituir la parte de la fracción por w _n , en lugar de por 0, para calcular los convergentes. Los convergentes así obtenidos se denominan convergentes modificados . Decimos que la fracción continua converge generalmente si existe una secuencia tal que la secuencia de convergentes modificados converja para todos suficientemente distintos de . La secuencia se denomina entonces secuencia excepcional para la fracción continua. Véase el Capítulo 2 de Lorentzen y Waadeland (1992) para una definición rigurosa. ${\displaystyle \operatorname {K} _{i=n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$ ${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$ ${\displaystyle \{w_{n}\}}$ ${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$ ${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$

También existe una noción de convergencia absoluta para fracciones continuas, que se basa en la noción de convergencia absoluta de una serie: se dice que una fracción continua es absolutamente convergente cuando la serie

${\displaystyle f=\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right),}$

donde están los convergentes de la fracción continua, converge absolutamente . ^[11] El teorema de Śleszyński-Pringsheim proporciona una condición suficiente para la convergencia absoluta. ${\displaystyle f_{n}=\operatorname {K} _{i=1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$

Finalmente, una fracción continua de una o más variables complejas es uniformemente convergente en una vecindad abierta Ω cuando sus convergentes convergen uniformemente en Ω ; es decir, cuando para todo ε > 0 existe M tal que para todo n > M , para todo , ${\displaystyle z\in \Omega }$

${\displaystyle |f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon .}$

Convergentes pares e impares

A veces es necesario separar una fracción continua en sus partes pares e impares. Por ejemplo, si la fracción continua diverge por oscilación entre dos puntos límite distintos p y q , entonces la secuencia { x ₀ , x ₂ , x ₄ , ...} debe converger a uno de estos, y { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} debe converger al otro. En tal situación, puede ser conveniente expresar la fracción continua original como dos fracciones continuas diferentes, una de ellas convergente en p y la otra en q .

Las fórmulas para las partes pares e impares de una fracción continua se pueden escribir de manera más compacta si la fracción ya se ha transformado de modo que todos sus denominadores parciales sean la unidad. Específicamente, si

${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}\,}$

es una fracción continua, entonces la parte par x _par y la parte impar x _impar están dadas por

${\displaystyle x_{\text{even}}={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}\,}$

y

${\displaystyle x_{\text{odd}}=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}\,}$

respectivamente. Más precisamente, si los convergentes sucesivos de la fracción continua x son { x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...} , entonces los convergentes sucesivos de x _incluso como se escribió anteriormente son { x ₂ , x ₄ , x ₆ , . ..} , y los convergentes sucesivos de x _impar son { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} . ^[12]

Condiciones para la irracionalidad

Si a ₁ , a ₂ ,... y b ₁ , b ₂ ,... son números enteros positivos con a _k ≤ b _k para todos los k suficientemente grandes , entonces

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

converge a un límite irracional. ^[13]

Fórmulas de recurrencia fundamentales

Los numeradores y denominadores parciales de los sucesivos convergentes de la fracción están relacionados mediante las fórmulas de recurrencia fundamental :

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\,\end{aligned}}}$

Los convergentes sucesivos de la fracción continua vienen dados por

${\displaystyle x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.\,}$

Estas relaciones de recurrencia se deben a John Wallis (1616-1703) y Leonhard Euler (1707-1783). ^[14] Estas relaciones de recurrencia son simplemente una notación diferente de las relaciones obtenidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).

Como ejemplo, considere la fracción continua regular en forma canónica que representa la proporción áurea φ :

${\displaystyle x=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots \,}}}}}}}}}$

Aplicando las fórmulas de recurrencia fundamental encontramos que los sucesivos numeradores A _n son {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...} y los sucesivos denominadores B _n son {1, 1, 2, 3, 5, 8 , ...} , los números de Fibonacci . Como todos los numeradores parciales de este ejemplo son iguales a uno, la fórmula determinante nos asegura que el valor absoluto de la diferencia entre convergentes sucesivos se aproxima a cero con bastante rapidez.

Transformaciones fraccionarias lineales

Una transformación fraccionaria lineal (LFT) es una función compleja de la forma

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a+bz}{c+dz}},\,}$

donde z es una variable compleja y a , b , c , d son constantes complejas arbitrarias tales que c + dz ≠ 0 . Habitualmente se impone una restricción adicional de que ad ≠ bc , para descartar los casos en los que w = f ( z ) es una constante. La transformación fraccionaria lineal, también conocida como transformación de Möbius , tiene muchas propiedades fascinantes. Cuatro de ellos son de primordial importancia en el desarrollo de la teoría analítica de fracciones continuas.

• Si d ≠ 0 la LFT tiene uno o dos puntos fijos . Esto se puede ver considerando la ecuación

${\displaystyle f(z)=z\Rightarrow dz^{2}+cz=a+bz\,}$

que es claramente una ecuación cuadrática en z . Las raíces de esta ecuación son los puntos fijos de f ( z ) . Si el discriminante ( c − b ) ² + 4 ad es cero, la LFT fija un solo punto; en caso contrario tiene dos puntos fijos.

• Si ad ≠ bc , la LFT es una aplicación conforme invertible del plano complejo extendido sobre sí mismo. En otras palabras, esta LFT tiene una función inversa.

${\displaystyle z=g(w)={\frac {-a+cw}{b-dw}}\,}$

tal que f ( g ( z )) = g ( f ( z )) = z para cada punto z en el plano complejo extendido, y tanto f como g conservan ángulos y formas a escalas cada vez más pequeñas. De la forma de z = g ( w ) vemos que g también es una LFT.

• La composición de dos LFT diferentes para las cuales ad ≠ bc es en sí misma una LFT para las cuales ad ≠ bc . En otras palabras, el conjunto de todas las LFT para las cuales ad ≠ bc está cerrado bajo composición de funciones. La colección de todos estos LFT, junto con la composición de funciones de "operación grupal", se conoce como grupo de automorfismos del plano complejo extendido.
• Si b = 0 la LFT se reduce a

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a}{c+dz}},\,}$

que es una función meromórfica muy simple de z con un polo simple (en -C/d) y un residuo igual aa/d. (Ver también serie de Laurent ).

La fracción continua como composición de LFT

Considere una secuencia de transformaciones fraccionarias lineales simples.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{0}(z)&=b_{0}+z,\\[4px]\tau _{1}(z)&={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\\[4px]\tau _{2}(z)&={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\\[4px]\tau _{3}(z)&={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}}$

Aquí usamos τ para representar cada LFT simple y adoptamos la notación circular convencional para la composición de funciones. También introducimos un nuevo símbolo Τ _n para representar la composición de n + 1 transformaciones τ _i ; eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}{\big (}\tau _{1}(z){\big )},\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}{\Big (}\tau _{1}{\big (}\tau _{2}(z){\big )}{\Big )},\,\end{aligned}}}$

Etcétera. Por sustitución directa del primer conjunto de expresiones al segundo vemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\,\end{aligned}}}$

y en general,

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

donde se entiende que el último denominador parcial en la fracción continua finita K es b _n + z . Y, dado que b _n + 0 = b _n , la imagen del punto z = 0 bajo la LFT iterada Τ _n es de hecho el valor de la fracción continua finita con n numeradores parciales:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

Una interpretación geométrica

Definir una fracción continua finita como la imagen de un punto bajo la transformación funcional lineal iterada Τ _n ( z ) conduce a una interpretación geométrica intuitivamente atractiva de fracciones continuas infinitas.

La relación

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )\,}$

puede entenderse reescribiendo Τ _n ( z ) y Τ _{n + 1} ( z ) en términos de las fórmulas de recurrencia fundamental:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\,\end{aligned}}}$

En la primera de estas ecuaciones la relación tiende haciaUn _{_}/B _n.cuando z tiende a cero. En el segundo, la relación tiende haciaUn _{_}/B _n.cuando z tiende al infinito. Esto nos lleva a nuestra primera interpretación geométrica. Si la fracción continua converge, los sucesivos convergentesUn _{_}/B _n.eventualmente están arbitrariamente juntos . Dado que la transformación fraccionaria lineal Τ _n ( z ) es un mapeo continuo , debe haber una vecindad de z = 0 que se mapee en una vecindad arbitrariamente pequeña de Τ _n (0) =Un _{_}/B _n.. De manera similar, debe haber una vecindad del punto en el infinito que se mapee en una vecindad arbitrariamente pequeña de Τ _n (∞) =Un _{norte − 1}/segundo _{norte - 1}. Entonces, si la fracción continua converge, la transformación Τ _n ( z ) asigna tanto z muy pequeña como z muy grande a una vecindad arbitrariamente pequeña de x , el valor de la fracción continua, a medida que n se hace cada vez más grande.

Para valores intermedios de z , dado que los sucesivos convergentes se están acercando, debemos tener

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k\,}$

donde k es una constante, introducida por conveniencia. Pero entonces, sustituyendo en la expresión Τ _n ( z ) obtenemos

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\,}$

de modo que incluso los valores intermedios de z (excepto cuando z ≈ − k ⁻¹ ) se asignan a una vecindad arbitrariamente pequeña de x , el valor de la fracción continua, a medida que n se hace cada vez más grande. Intuitivamente, es casi como si la fracción continua convergente mapeara todo el plano complejo extendido en un solo punto. ^[15]

Observe que la secuencia { Τ _​​n } se encuentra dentro del grupo de automorfismos del plano complejo extendido, ya que cada Τ _n es una transformación fraccionaria lineal para la cual ab ≠ cd . Y cada miembro de ese grupo de automorfismos mapea el plano complejo extendido dentro de sí mismo: ninguno de los Τ _n puede mapear el plano en un solo punto. Sin embargo, en el límite la secuencia { Τ _​​n } define una fracción continua infinita que (si converge) representa un solo punto en el plano complejo.

Cuando una fracción continua infinita converge, la secuencia correspondiente { Τ _n } de LFT "enfoca" el plano en la dirección de x , el valor de la fracción continua. En cada etapa del proceso, una región cada vez mayor del plano se asigna a una vecindad de x , y la región cada vez más pequeña del plano que queda se estira cada vez más para cubrir todo lo que está fuera de esa vecindad. ^[dieciséis]

Para fracciones continuas divergentes podemos distinguir tres casos:

1. Las dos secuencias { Τ _{2 n − 1} } y { Τ _{2 n} } podrían definir dos fracciones continuas convergentes que tienen dos valores diferentes, x _impar y x _par . En este caso la fracción continua definida por la secuencia { Τ _​​n } diverge por oscilación entre dos puntos límite distintos. Y, de hecho, esta idea se puede generalizar: se pueden construir secuencias { Τ _n } que oscilen entre tres, cuatro o incluso cualquier número de puntos límite. Surgen casos interesantes de este caso cuando la secuencia { Τ _​​n } constituye un subgrupo de orden finito dentro del grupo de automorfismos sobre el plano complejo extendido.
2. La secuencia { Τ _​​n } puede producir un número infinito de denominadores cero B _i y al mismo tiempo producir una subsecuencia de convergentes finitos. Es posible que estos convergentes finitos no se repitan ni caigan en un patrón oscilante reconocible. O pueden converger hacia un límite finito, o incluso oscilar entre múltiples límites finitos. No importa cómo se comporten los convergentes finitos, la fracción continua definida por la secuencia { Τ _​​n } diverge por oscilación con el punto en el infinito en este caso. ^[17]
3. La secuencia { Τ _​​n } no puede producir más que un número finito de denominadores cero B _i . mientras que la subsecuencia de convergentes finitos baila salvajemente alrededor del plano en un patrón que nunca se repite y tampoco se aproxima a ningún límite finito.

Se pueden construir ejemplos interesantes de los casos 1 y 3 estudiando la fracción continua simple

${\displaystyle x=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

donde z es cualquier número real tal que z < −1/4. ^[18]

Fórmula de fracción continua de Euler

Euler demostró la siguiente identidad: ^[7]

${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1-}}{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-}}{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-}}\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}.\,}$

De esto se pueden derivar muchos otros resultados, como por ejemplo

${\displaystyle {\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}={\frac {1}{u_{1}-}}{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-}}{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-}}\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}},\,}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-}}{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-}}{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-}}\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}.\,}$

La fórmula de Euler que conecta fracciones continuas y series es la motivación de las desigualdades fundamentales ^{[ se necesita enlace o aclaración ]} , y también la base de los enfoques elementales del problema de la convergencia .

Ejemplos

Funciones y números trascendentales.

Aquí hay dos fracciones continuas que se pueden construir mediante la identidad de Euler .

${\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$

Aquí hay fracciones continuas generalizadas adicionales:

${\displaystyle \arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}$

Este último se basa en un algoritmo desarrollado por Aleksei Nikolaevich Khovansky en los años 1970. ^[19]

Ejemplo: el logaritmo natural de 2 (= [0; 1, 2, 3, 1, 5,2/3, 7,1/2, 9,2/5,..., 2 k - 1,2/k,...] ≈ 0.693147...): ^[20]

${\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

π

Aquí están tres de las fracciones continuas generalizadas más conocidas de π , la primera y la tercera se derivan de sus respectivas fórmulas arcotangentes anteriores estableciendo x = y = 1 y multiplicando por 4. La fórmula de Leibniz para π :

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots }$

converge demasiado lentamente, lo que requiere aproximadamente 3 × 10 ⁿ términos para lograr n decimales correctos. La serie derivada de Nilakantha Somayaji :

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots }$

es una expresión mucho más obvia pero aún converge bastante lentamente, requiriendo casi 50 términos para cinco decimales y casi 120 para seis. Ambos convergen sublinealmente a π . Por otro lado:

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots }$

converge linealmente a π , agregando al menos tres dígitos de precisión por cada cuatro términos, un ritmo ligeramente más rápido que la fórmula arcoseno para π :

${\displaystyle \pi =6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!}$

que suma al menos tres dígitos decimales por cada cinco términos. ^[21]

• Nota: la tasa de convergencia μ de esta fracción continua tiende a 3 − √ 8 ≈ 0,1715729 , por lo tanto1/µtiende a 3 + √ 8 ≈ 5,828427 , cuyo logaritmo común es 0,7655... ≈13/17>3/4. Lo mismo1/µ= 3 + √ 8 (la proporción de plata al cuadrado) también se observa en las fracciones continuas generales desplegadas tanto del logaritmo natural de 2 como de la n -ésima raíz de 2 (que funciona para cualquier número entero n > 1 ) si se calcula usando 2 = 1 + 1 . Para las fracciones continuas generales plegadas de ambas expresiones, la tasa de convergencia μ = (3 − √ 8 ) ² = 17 − √ 288 ≈ 0.02943725 , por lo tanto1/µ= (3 + √ 8 ) ² = 17 + √ 288 ≈ 33.97056 , cuyo logaritmo común es 1.531... ≈26/17>3/2, sumando así al menos tres dígitos por dos términos. Esto se debe a que el MCD plegado integra cada par de fracciones del MCD desplegado en una fracción, duplicando así el ritmo de convergencia. La referencia de Manny Sardina explica con más detalle las fracciones continuas "dobladas".
• Nota: Usando la fracción continua para arctan X/ycitado anteriormente con la fórmula más conocida tipo Machin proporciona una expresión convergente aún más rápida, aunque todavía lineal:

${\displaystyle \pi =16\tan ^{-1}{\cfrac {1}{5}}\,-\,4\tan ^{-1}{\cfrac {1}{239}}={\cfrac {16}{u+{\cfrac {1^{2}}{3u+{\cfrac {2^{2}}{5u+{\cfrac {3^{2}}{7u+\ddots }}}}}}}}\,-\,{\cfrac {4}{v+{\cfrac {1^{2}}{3v+{\cfrac {2^{2}}{5v+{\cfrac {3^{2}}{7v+\ddots }}}}}}}}.}$

con u = 5 y v = 239 .

Raíces de números positivos

La n- ésima raíz de cualquier número positivo z ^m se puede expresar reexpresando z = x ⁿ + y , lo que da como resultado

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

que se puede simplificar, doblando cada par de fracciones en una fracción, para

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.}$

La raíz cuadrada de z es un caso especial con m = 1 y n = 2 :

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}}$

lo cual se puede simplificar observando que5/10=3/6=1/2:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}.}$

La raíz cuadrada también se puede expresar mediante una fracción continua periódica , pero la forma anterior converge más rápidamente con las x e y adecuadas .

Ejemplo 1

La raíz cúbica de dos (2 ^1/3 o ³ √ 2 ≈ 1,259921...) se puede calcular de dos formas:

En primer lugar, la "notación estándar" de x = 1 , y = 1 y 2 z − y = 3 :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.}$

En segundo lugar, una convergencia rápida con x = 5 , y = 3 y 2 z − y = 253 :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.}$

Ejemplo 2

Razón de Pogson (100 ^1/5 o ⁵ √ 100 ≈ 2,511886...), con x = 5 , y = 75 y 2 z − y = 6325 :

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {3}{250+{\cfrac {12}{5+{\cfrac {18}{750+{\cfrac {27}{5+{\cfrac {33}{1250+{\cfrac {42}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {5\cdot 3}{1265-3-{\cfrac {12\cdot 18}{3795-{\cfrac {27\cdot 33}{6325-{\cfrac {42\cdot 48}{8855-\ddots }}}}}}}}.}$

Ejemplo 3

La duodécima raíz de dos (2 ^1/12 o ¹² √ 2 ≈ 1.059463...), usando "notación estándar":

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=1+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {11}{2+{\cfrac {13}{36+{\cfrac {23}{2+{\cfrac {25}{60+{\cfrac {35}{2+{\cfrac {37}{84+{\cfrac {47}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{36-1-{\cfrac {11\cdot 13}{108-{\cfrac {23\cdot 25}{180-{\cfrac {35\cdot 37}{252-{\cfrac {47\cdot 49}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Ejemplo 4

Quinta justa de temperamento igual (2 ^7/12 o ¹² √ 2 ⁷ ≈ 1,498307...), con m = 7 :

Con "notación estándar":

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}=1+{\cfrac {7}{12+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {19}{36+{\cfrac {17}{2+{\cfrac {31}{60+{\cfrac {29}{2+{\cfrac {43}{84+{\cfrac {41}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 7}{36-7-{\cfrac {5\cdot 19}{108-{\cfrac {17\cdot 31}{180-{\cfrac {29\cdot 43}{252-{\cfrac {41\cdot 55}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Una convergencia rápida con x = 3 , y = −7153 y 2 z − y = 2 ¹⁹ + 3 ¹² :

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {1}{2}}{\sqrt[{12}]{3^{12}-7153}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {0.5\cdot 7153}{4\cdot 3^{12}-{\cfrac {11\cdot 7153}{6-{\cfrac {13\cdot 7153}{12\cdot 3^{12}-{\cfrac {23\cdot 7153}{6-{\cfrac {25\cdot 7153}{20\cdot 3^{12}-{\cfrac {35\cdot 7153}{6-{\cfrac {37\cdot 7153}{28\cdot 3^{12}-{\cfrac {47\cdot 7153}{6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {3\cdot 7153}{12(2^{19}+3^{12})+7153-{\cfrac {11\cdot 13\cdot 7153^{2}}{36(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {23\cdot 25\cdot 7153^{2}}{60(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {35\cdot 37\cdot 7153^{2}}{84(2^{19}+3^{12})-\ddots }}}}}}}}.}$

Se pueden encontrar más detalles sobre esta técnica en Método general para extraer raíces usando fracciones continuas (plegadas) .

Dimensiones superiores

Otro significado de fracción continua generalizada es una generalización a dimensiones superiores. Por ejemplo, existe una estrecha relación entre la fracción continua simple en forma canónica para el número real irracional α y la forma en que los puntos de la red en dos dimensiones se encuentran a cada lado de la línea y = αx . Generalizando esta idea, uno podría preguntarse sobre algo relacionado con los puntos de la red en tres o más dimensiones. Una razón para estudiar esta área es cuantificar la idea de coincidencia matemática ; por ejemplo, para monomios en varios números reales, tome la forma logarítmica y considere cuán pequeña puede ser. Otro motivo es encontrar una posible solución al problema de Hermite .

Ha habido numerosos intentos de construir una teoría generalizada. Felix Klein (el poliedro de Klein ), Georges Poitou y George Szekeres realizaron esfuerzos notables en esta dirección .

Ver también

• Fracción continua de Gauss
• mesa de padé
• Resolver ecuaciones cuadráticas con fracciones continuas
• Problema de convergencia
• Composiciones infinitas de funciones analíticas.
• algoritmo de lentz

Notas

1. Cusick y Flahive 1989.
2. Cristal 1999.
3. Jones y Trono 1980, pag. 20.
4. Euclid (2008): el algoritmo euclidiano genera una fracción continua como subproducto.
5. Cataldi 1613.
6. Wallis 1699.
7. Euler 1748, Capítulo 18.
8. Havil 2012, págs. 104-105.
9. Brahmagupta (598–670) fue el primer matemático en realizar un estudio sistemático de la ecuación de Pell.
10. Gauss 1813.
11. Lorentzen y Waadeland 1992.
12. Oskar Perron deriva fórmulas de extensión y contracción aún más generales para fracciones continuas. Véase Perron (1977a), Perron (1977b).
13. Ángel 2021.
14. Porubský 2008.
15. Esta interpretación intuitiva no es rigurosa porque una fracción continua infinita no es una aplicación: es el límite de una secuencia de asignaciones. Esta construcción de una fracción continua infinita es aproximadamente análoga a la construcción de un número irracional como límite de una secuencia de Cauchy de números racionales.
16. Debido a analogías como ésta, la teoría del mapeo conforme a veces se describe como "geometría de lámina de caucho".
17. Una solución al problema de la convergencia es construir fracciones continuas definidas positivas , para las cuales los denominadores B _i nunca son cero.
18. Esta fracción periódica del período uno se analiza con más detalle en el artículo Problema de convergencia .
19. Una forma alternativa de calcular log(x)
20. Borwein, Crandall y Fee 2004, pág. 278, 280.
21. Beckmann 1971.

Referencias

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• Angell, David (2021). Irracionalidad y trascendencia en la teoría de números . Chapman y Hall/CRC. ISBN 9780367628376.

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• Borwein, Jonathan Michael ; Crandall, Richard E .; Tarifa, Greg (2004). "Sobre la fracción Ramanujan AGM, I: el caso del parámetro real". Matemáticas Experimentales . 13 (3): 275–285. doi :10.1080/10586458.2004.10504540. S2CID  17758274.

• Cataldi, Pietro Antonio (1613). Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri [ Un tratado sobre una forma rápida de encontrar raíces cuadradas de números ].

• Chrystal, George (1999). Álgebra, un libro de texto elemental para las clases superiores de las escuelas secundarias y las universidades: pt. 1 . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 500.ISBN _ 0-8218-1649-7.

• Cusick, Thomas W.; Flahive, María E. (1989). Los espectros de Markoff y Lagrange . Sociedad Matemática Estadounidense. págs.89. ISBN 0-8218-1531-8.

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• Havil, Julián (2012). Los irracionales: una historia de los números con los que no se puede contar . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 280.ISBN _ 978-0691143422. JSTOR  j.ctt7smdw.

• Jones, William B.; Trono, WJ (1980). Fracciones continuas. Teoría analítica y aplicaciones . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 11. Lectura, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13510-8. Zbl  0445.30003.(Abarca tanto la teoría analítica como la historia).

• Lorentzen, Lisa ; Waadeland, Haakon (1992). Fracciones continuas con aplicaciones . Reading, MA: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-89265-2.(Abarca principalmente teoría analítica y algo de teoría aritmética).

• Perron, Oskar (1977a) [1954]. Die Lehre von den Kettenbrüchen . vol. Banda I: Elementare Kettenbrüche (3 ed.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 9783519020219.

• Perron, Oskar (1977b) [1954]. Die Lehre von den Kettenbrüchen . vol. Banda II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche (3 ed.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 9783519020226.

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• Von Koch, Helge (1895). "Continúa Sur un théorème de Stieltjes et sur les fonctions définies par des fracciones". Boletín de la Société Mathématique de France . 23 : 33–40. doi : 10.24033/bsmf.508 . JFM  26.0233.01.

• Muro, Hubert Stanley (1967). Teoría analítica de fracciones continuas (Reimpresión ed.). Chelsea Pub Co. ISBN 0-8284-0207-8.(Esta reimpresión de la edición de D. Van Nostrand de 1948 cubre tanto la historia como la teoría analítica).

• Wallis, Juan (1699). Opera mathematica [ Obras Matemáticas ].

enlaces externos

• Las primeras veinte páginas de Steven R. Finch, Mathematical Constants , Cambridge University Press , 2003, ISBN 0-521-81805-2 , contienen fracciones continuas generalizadas para √ 2 y la media áurea. 
• Secuencia OEIS A133593 (fracción continua "exacta" para Pi)