Poliedro de Klein

Concepto en la geometría de los números

En la geometría de los números , el poliedro de Klein , llamado así en honor a Felix Klein , se utiliza para generalizar el concepto de fracciones continuas a dimensiones superiores.

Definición

Sea un cono simple cerrado en el espacio euclidiano . El poliedro de Klein de es la envoltura convexa de los puntos no nulos de . ${\displaystyle \textstyle C}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle C}$ ${\displaystyle \textstyle C\cap \mathbb {Z} ^{n}}$

Relación con fracciones continuas

La fracción continua de Klein para ( proporción áurea ) con los poliedros de Klein codificando los términos impares en azul y los poliedros de Klein codificando los términos pares en rojo. ${\displaystyle \textstyle \alpha =\varphi }$

Supongamos que es un número irracional. En , los conos generados por y por dan lugar a dos poliedros de Klein, cada uno de los cuales está limitado por una secuencia de segmentos de línea adyacentes. Defina la longitud entera de un segmento de línea como uno menos que el tamaño de su intersección con Entonces, las longitudes enteras de las aristas de estos dos poliedros de Klein codifican la expansión de fracción continua de , una que coincide con los términos pares y la otra que coincide con los términos impares. ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}}$ ${\displaystyle \textstyle \{(1,\alpha ),(0,1)\}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$

Gráficas asociadas al poliedro de Klein

Supóngase que es generada por una base de (de modo que ), y sea la base dual (de modo que ). Escribe para la recta generada por el vector , y para el hiperplano ortogonal a . ${\displaystyle \textstyle C}$ ${\displaystyle \textstyle (a_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle C=\{\sum _{i}\lambda _{i}a_{i}:(\forall i)\;\lambda _{i}\geq 0\}}$ ${\displaystyle \textstyle (w_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}}$ ${\displaystyle \textstyle D(x)}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle H(x)}$ ${\displaystyle \textstyle x}$

Llame al vector irracional si ; y llame al cono irracional si todos los vectores y son irracionales. ${\displaystyle \textstyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle H(x)\cap \mathbb {Q} ^{n}=\{0\}}$ ${\displaystyle \textstyle C}$ ${\displaystyle \textstyle a_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle w_{i}}$

El borde de un poliedro de Klein se llama vela . Asociados a la vela de un cono irracional hay dos grafos : ${\displaystyle \textstyle V}$ ${\displaystyle \textstyle V}$

• el grafo cuyos vértices son vértices de , uniéndose dos vértices si son puntos finales de una arista (unidimensional) de ; ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle V}$ ${\displaystyle \textstyle V}$
• el gráfico cuyos vértices son caras -dimensionales ( cámaras ) de , estando unidas dos cámaras si comparten una cara -dimensional. ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle (n-1)}$ ${\displaystyle \textstyle V}$ ${\displaystyle \textstyle (n-2)}$

Ambos gráficos están relacionados estructuralmente con el gráfico dirigido cuyo conjunto de vértices es , donde vértice se une a vértice si y solo si tiene la forma donde ${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle A^{-1}B}$ ${\displaystyle \textstyle UW}$

${\displaystyle U=\left({\begin{array}{cccc}1&\cdots &0&c_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &1&c_{n-1}\\0&\cdots &0&c_{n}\end{array}}\right)}$

(con , ) y es una matriz de permutación. Suponiendo que se ha triangulado , los vértices de cada uno de los grafos y se pueden describir en términos del grafo : ${\displaystyle \textstyle c_{i}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \textstyle c_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle \textstyle W}$ ${\displaystyle \textstyle V}$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$

• Dado cualquier camino en , se puede encontrar un camino en tal que , donde es el vector . ${\displaystyle \textstyle (x_{0},x_{1},\ldots )}$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )}$ ${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{k}=A_{k}(e)}$ ${\displaystyle \textstyle e}$ ${\displaystyle \textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}}$
• Dado cualquier camino en , se puede encontrar un camino en tal que , donde es el símplex estándar -dimensional en . ${\displaystyle \textstyle (\sigma _{0},\sigma _{1},\ldots )}$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )}$ ${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}=A_{k}(\Delta )}$ ${\displaystyle \textstyle \Delta }$ ${\displaystyle \textstyle (n-1)}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

Generalización del teorema de Lagrange

Lagrange demostró que para un número real irracional , la expansión en fracción continua de es periódica si y solo si es un irracional cuadrático . Los poliedros de Klein nos permiten generalizar este resultado. ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$

Sea un cuerpo de números algebraicos totalmente real de grado , y sean las incrustaciones reales de . Se dice que el cono simplicial está dividido si donde es una base para sobre . ${\displaystyle \textstyle K\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}:K\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle K}$ ${\displaystyle \textstyle C}$ ${\displaystyle \textstyle K}$ ${\displaystyle \textstyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(\forall i)\;\alpha _{i}(\omega _{1})x_{1}+\ldots +\alpha _{i}(\omega _{n})x_{n}\geq 0\}}$ ${\displaystyle \textstyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle \textstyle K}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$

Dado un camino en , sea . El camino se llama periódico , con período , si para todo . La matriz de períodos de dicho camino se define como . Un camino en o asociado con dicho camino también se dice que es periódico, con la misma matriz de períodos. ${\displaystyle \textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )}$ ${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{n}}$ ${\displaystyle \textstyle R_{k}=A_{k+1}A_{k}^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle m}$ ${\displaystyle \textstyle R_{k+qm}=R_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle k,q\geq 0}$ ${\displaystyle \textstyle A_{m}A_{0}^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$

El teorema de Lagrange generalizado establece que para un cono simplicial irracional , con generadores y como los anteriores y con vela , las tres condiciones siguientes son equivalentes: ${\displaystyle \textstyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle (a_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle (w_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle V}$

• ${\displaystyle \textstyle C}$se divide en algún campo de números algebraicos totalmente real de grado . ${\displaystyle \textstyle n}$
• Para cada uno de los hay un camino periódico de vértices en tal que los se aproximan asintóticamente a la línea ; y las matrices de períodos de estos caminos conmutan todas. ${\displaystyle \textstyle a_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{0},x_{1},\ldots }$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle x_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle D(a_{i})}$
• Para cada uno de los hay un camino periódico de cámaras en tal que se aproximan asintóticamente al hiperplano ; y las matrices de períodos de estos caminos conmutan todas. ${\displaystyle \textstyle w_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{0},\sigma _{1},\ldots }$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \textstyle H(w_{i})}$

Ejemplo

Tome y . Luego, el cono simple se divide en . Los vértices de la vela son los puntos correspondientes a los convergentes pares de la fracción continua para . El camino de los vértices en el cuadrante positivo que comienza en y continúa en una dirección positiva es . Sea el segmento de línea que une a . Escriba y para las reflexiones de y en el eje y . Sea , de modo que , y sea . ${\displaystyle \textstyle n=2}$ ${\displaystyle \textstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \textstyle \{(x,y):x\geq 0,\vert y\vert \leq x/{\sqrt {2}}\}}$ ${\displaystyle \textstyle K}$ ${\displaystyle \textstyle (p_{k},\pm q_{k})}$ ${\displaystyle \textstyle p_{k}/q_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \textstyle (x_{k})}$ ${\displaystyle \textstyle (1,0)}$ ${\displaystyle \textstyle ((1,0),(3,2),(17,12),(99,70),\ldots )}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{k+1}}$ ${\displaystyle \textstyle {\bar {x}}_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle {\bar {\sigma }}_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle x_{k+1}=Tx_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle R=\left({\begin{array}{cc}6&1\\-1&0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&6\\0&-1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$

Sean , , , y . ${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {e} }=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{4}}\end{array}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {e} }=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{array}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {f} }=\left({\begin{array}{cc}3&1\\2&0\end{array}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {f} }=\left({\begin{array}{cc}3&1\\-2&0\end{array}}\right)}$

• Las trayectorias y son periódicas (con período uno) en , con matrices de período y . Tenemos y . ${\displaystyle \textstyle (M_{\mathrm {e} }R^{k})}$ ${\displaystyle \textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k})}$ ${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {e} }RM_{\mathrm {e} }^{-1}=T}$ ${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {e} }R{\bar {M}}_{\mathrm {e} }^{-1}=T^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{k}=M_{\mathrm {e} }R^{k}(e)}$ ${\displaystyle \textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)}$
• Las trayectorias y son periódicas (con período uno) en , con matrices de período y . Tenemos y . ${\displaystyle \textstyle (M_{\mathrm {f} }R^{k})}$ ${\displaystyle \textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k})}$ ${\displaystyle \textstyle \Upsilon _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {f} }RM_{\mathrm {f} }^{-1}=T}$ ${\displaystyle \textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {f} }R{\bar {M}}_{\mathrm {f} }^{-1}=T^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{k}=M_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )}$ ${\displaystyle \textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )}$

Generalización de la aproximabilidad

Un número real se considera poco aproximable si está acotado a partir de cero. Un número irracional es poco aproximable si y sólo si los cocientes parciales de su fracción continua están acotados. ^[1] Este hecho admite una generalización en términos de poliedros de Klein. ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}}$

Dado un cono simple en , donde , define el mínimo normativo de como . ${\displaystyle \textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \langle w_{i},w_{i}\rangle =1}$ ${\displaystyle \textstyle C}$ ${\displaystyle \textstyle N(C)=\inf\{\prod _{i}\langle w_{i},x\rangle :x\in \mathbb {Z} ^{n}\cap C\setminus \{0\}\}}$

Dados los vectores , sea . Este es el volumen euclidiano de . ${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\in \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle [\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}\vert \det(\mathbf {v} _{i_{1}}\cdots \mathbf {v} _{i_{n}})\vert }$ ${\displaystyle \textstyle \{\sum _{i}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}:(\forall i)\;0\leq \lambda _{i}\leq 1\}}$

Sea la vela de un cono simplicial irracional . ${\displaystyle \textstyle V}$ ${\displaystyle \textstyle C}$

• Para un vértice de , defina dónde están los vectores primitivos en la generación de los bordes que emanan de . ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle [x]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle x}$
• Para un vértice de , define dónde están los puntos extremos de . ${\displaystyle \textstyle \sigma }$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)}$ ${\displaystyle \textstyle [\sigma ]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma }$

Entonces, si y sólo si y ambos están acotados. ${\displaystyle \textstyle N(C)>0}$ ${\displaystyle \textstyle \{[x]:x\in \Gamma _{\mathrm {e} }(V)\}}$ ${\displaystyle \textstyle \{[\sigma ]:\sigma \in \Gamma _{\mathrm {f} }(V)\}}$

Las cantidades y se llaman determinantes . En dos dimensiones, con el cono generado por , son simplemente los cocientes parciales de la fracción continua de . ${\displaystyle \textstyle [x]}$ ${\displaystyle \textstyle [\sigma ]}$ ${\displaystyle \textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$

Véase también

• Construcción (matemáticas)

Referencias

1. Bugeaud, Yann (2012). Distribución módulo uno y aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 193. Cambridge: Cambridge University Press . pág. 245. ISBN. 978-0-521-11169-0.Zbl 1260.11001  .

• ON German, 2007, "Klein poliedros y celosías con mínimos de norma positiva". Journal de théorie des nombres de Bordeaux 19 : 175-190.
• EI Korkina, 1995, "Fracciones continuas bidimensionales. Los ejemplos más simples". Proc. Instituto Steklov de Matemáticas 209 : 124–144.
• G. Lachaud, 1998, "Velas y poliedros de Klein" en Contemporary Mathematics 210 . American Mathematical Society: 373–385.