Continuante (matemáticas)

En álgebra , el continuo es un polinomio multivariado que representa el determinante de una matriz tridiagonal y tiene aplicaciones en fracciones continuas generalizadas .

Definición

El n - ésimo continuo se define recursivamente por ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$

${\displaystyle K_{0}=1;\,}$

${\displaystyle K_{1}(x_{1})=x_{1};\,}$

${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-2}).\,}$

Propiedades

• El continuo se puede calcular tomando la suma de todos los productos posibles de x ₁ ,..., x _n , en los que se elimina cualquier número de pares disjuntos de términos consecutivos ( regla de Euler ). Por ejemplo, ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$

  ${\displaystyle K_{5}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}\;+\;x_{3}\;+\;x_{5}.}$

De ello se deduce que los continuos son invariantes con respecto a la inversión del orden de los indeterminados: ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=K_{n}(x_{n},\;\ldots ,\;x_{1}).}$

• El continuo se puede calcular como el determinante de una matriz tridiagonal :

  ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.}$

• ${\displaystyle K_{n}(1,\;\ldots ,\;1)=F_{n+1}}$, el ( n + 1)-ésimo número de Fibonacci .
• ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}.}$
• Las razones de continuas representan (convergentes a) fracciones continuas de la siguiente manera:

  ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}.}$

• Se cumple la siguiente identidad matricial:

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

  • Para los determinantes, implica que

    ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=(-1)^{n}.}$

  • y también

    ${\displaystyle K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.}$

Generalizaciones

Una definición generalizada toma el continuo con respecto a tres secuencias a , b y c , de modo que K ( n ) es un polinomio de a ₁ ,..., a _n , b ₁ ,..., b _{n −1} y c ₁ ,..., c _{n −1} . En este caso la relación de recurrencia se convierte en

${\displaystyle K_{0}=1;\,}$

${\displaystyle K_{1}=a_{1};\,}$

${\displaystyle K_{n}=a_{n}K_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}K_{n-2}.\,}$

Dado que b _r y c _r entran en K sólo como un producto b _r c _r no hay pérdida de generalidad al suponer que los b _r son todos iguales a 1.

El continuo generalizado es precisamente el determinante de la matriz tridiagonal

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&0&\ldots &0&0\\c_{1}&a_{2}&b_{2}&\ldots &0&0\\0&c_{2}&a_{3}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &a_{n-1}&b_{n-1}\\0&0&0&\ldots &c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

En el libro de Muir, el continuo generalizado se denomina simplemente continuo.

Referencias

• Thomas Muir (1960). Tratado sobre la teoría de los determinantes . Dover Publications . Págs. 516–525.
• Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E. (1989). Los espectros de Markoff y Lagrange . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 30. Providence, RI: American Mathematical Society . pág. 89. ISBN. 0-8218-1531-8.Zbl 0685.10023  .
• George Chrystal (1999). Álgebra, un libro de texto elemental para las clases superiores de escuelas secundarias y universidades: Parte 1. Sociedad Matemática Estadounidense. pág. 500. ISBN 0-8218-1649-7.