No se produjeron más avances hasta el siglo XIV, cuando Madhava de Sangamagrama desarrolló aproximaciones correctas hasta once y luego trece dígitos. Jamshīd al-Kāshī logró los dieciséis dígitos a continuación. Los primeros matemáticos modernos alcanzaron una precisión de 35 dígitos a principios del siglo XVII ( Ludolph van Ceulen ), y 126 dígitos a principios del siglo XIX ( Juri Vega ), superando la precisión requerida para cualquier aplicación concebible fuera de las matemáticas puras.
Las aproximaciones más conocidas a π, que datan de antes de la era común , tenían una precisión de dos decimales; esto se mejoró en las matemáticas chinas , en particular a mediados del primer milenio, hasta una precisión de siete decimales. Después de esto, no se hicieron más avances hasta finales del período medieval.
Algunos egiptólogos [3]
han afirmado que los antiguos egipcios utilizaban una aproximación de π como 22 ⁄ 7 = 3,142857 (aproximadamente un 0,04 % demasiado alta) desde tiempos tan tempranos como el Imperio Antiguo . [4]
Esta afirmación ha sido recibida con escepticismo. [5] [6]
Las matemáticas babilónicas solían aproximar π a 3, suficiente para los proyectos arquitectónicos de la época (notablemente también reflejado en la descripción del Templo de Salomón en la Biblia hebrea ). [7] Los babilonios eran conscientes de que esto era una aproximación, y una tablilla matemática babilónica antigua excavada cerca de Susa en 1936 (datada entre los siglos XIX y XVII a.C.) da una mejor aproximación de π como 25 ⁄ 8 = 3,125, aproximadamente un 0,528% por debajo del valor exacto. [8] [9] [10] [11]
Los cálculos astronómicos del Shatapatha Brahmana (c. siglo VI a. C.) utilizan una aproximación fraccionaria de 339 ⁄ 108 ≈ 3,139 . [13]
El Mahabharata (500 a. C. – 300 d. C.) ofrece una aproximación de 3, en las proporciones ofrecidas en los versos del Bhishma Parva : 6.12.40–45. [14]
...
La Luna, según se ha transmitido de memoria, tiene once mil yojanas de diámetro. Su círculo periférico resulta ser de treinta y tres mil yojanas cuando se calcula. ... El Sol tiene ocho mil yojanas y otras dos mil yojanas de diámetro. De ahí que su círculo periférico sea igual a treinta mil yojanas.
En el siglo III a. C., Arquímedes demostró las desigualdades agudas 223 ⁄ 71 < π < 22 ⁄ 7 , mediante 96-gonos regulares (precisiones de 2·10 −4 y 4·10 −4 , respectivamente). [15]
En el siglo II d. C., Ptolomeo utilizó el valor 377 ⁄ 120 , la primera aproximación conocida con una precisión de tres decimales (precisión 2·10 −5 ). [16] Es igual a que tiene una precisión de dos dígitos sexagesimales .
El matemático chino Liu Hui en el año 263 d. C. calculó que π estaba entre3.141 024 y3.142 708 inscribiendo un 96-gono y un 192-gono; el promedio de estos dos valores es3,141 866 (precisión 9·10 −5 ). También sugirió que 3,14 era una aproximación suficientemente buena para fines prácticos. También se le ha atribuido con frecuencia un resultado posterior y más preciso, π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (precisión 2·10 −6 ), aunque algunos académicos creen en cambio que esto se debe al matemático chino posterior (siglo V) Zu Chongzhi . [17]
Se sabe que Zu Chongzhi calculó que π estaba entre 3,1415926 y 3,1415927, lo que era correcto hasta siete decimales. También dio otras dos aproximaciones de π : π ≈ 22 ⁄ 7 y π ≈ 355 ⁄ 113 , que no son tan precisas como su resultado decimal. La última fracción es la mejor aproximación racional posible de π utilizando menos de cinco dígitos decimales en el numerador y el denominador. Los resultados de Zu Chongzhi superan la precisión alcanzada en las matemáticas helenísticas y permanecerían sin mejoras durante casi un milenio.
Aproximando π a cuatro decimales: π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, [18] [19] [20] Aryabhata afirmó que su resultado "aproximadamente" ( āsanna "aproximarse") dio la circunferencia de un círculo. Su comentarista del siglo XV Nilakantha Somayaji ( escuela de astronomía y matemáticas de Kerala ) ha argumentado que la palabra significa no solo que se trata de una aproximación, sino que el valor es inconmensurable (irracional) . [21]
Utilizó los primeros 21 términos para calcular una aproximación de π correcta hasta 11 decimales como3.141 592 653 59 .
También mejoró la fórmula basada en arctan(1) incluyendo una corrección:
No se sabe cómo llegó a esta corrección. [23] Con esto encontró una aproximación de π con 13 decimales de precisión cuando n = 75.
Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), un astrónomo y matemático persa , calculó correctamente la parte fraccionaria de 2 π con 9 dígitos sexagesimales en 1424, [25] y la tradujo a 16 dígitos decimales [26] después del punto decimal:
que da 16 dígitos correctos para π después del punto decimal:
Logró este nivel de precisión calculando el perímetro de un polígono regular con 3 × 2 28 lados. [27]
Siglos XVI al XIX
En la segunda mitad del siglo XVI, el matemático francés François Viète descubrió un producto infinito que convergía en π conocido como fórmula de Viète .
El matemático germano-holandés Ludolph van Ceulen ( circa 1600) calculó los primeros 35 decimales de π con un 2,62 -gono. Estaba tan orgulloso de este logro que los hizo inscribir en su lápida . [28]
En Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius demostró que el perímetro del polígono inscrito converge a la circunferencia dos veces más rápido que el perímetro del polígono circunscrito correspondiente. Esto fue demostrado por Christiaan Huygens en 1654. Snellius fue capaz de obtener siete dígitos de π a partir de un polígono de 96 lados . [29]
La magnitud de tal precisión (152 decimales) se puede poner en contexto por el hecho de que la circunferencia del objeto más grande conocido, el universo observable, se puede calcular a partir de su diámetro (93 mil millones de años luz ) con una precisión de menos de una longitud de Planck (en1,6162 × 10 −35 metros , la unidad de longitud más corta que se espera que sea directamente medible) utilizando π expresado con solo 62 decimales. [33]
El matemático aficionado inglés William Shanks calculó π con 530 decimales en enero de 1853, de las cuales las primeras 527 eran correctas (las últimas probablemente eran incorrectas debido a errores de redondeo). [1] [34] Posteriormente amplió su cálculo a 607 decimales en abril de 1853, [35] pero un error introducido justo en el decimal 530 hizo que el resto de su cálculo fuera erróneo; debido a la naturaleza de la fórmula de Machin, el error se propagó de nuevo al decimal 528, dejando solo los primeros 527 dígitos correctos una vez más. [1] Veinte años después, Shanks amplió su cálculo a 707 decimales en abril de 1873. [36] Debido a que se trataba de una expansión de su cálculo anterior, la mayoría de los nuevos dígitos también eran incorrectos. [1] Se decía que Shanks calculaba nuevos dígitos toda la mañana y luego pasaba toda la tarde revisando su trabajo de la mañana. Esta fue la expansión más larga de π hasta la llegada de la computadora digital electrónica tres cuartos de siglo después. [37]
Siglos XX y XXI
En 1910, el matemático indio Srinivasa Ramanujan encontró varias series infinitas de π que convergen rápidamente , entre ellas
que calcula ocho decimales más de π con cada término de la serie. Sus series son ahora la base de los algoritmos más rápidos que se utilizan actualmente para calcular π . Evaluar solo el primer término arroja un valor correcto hasta siete decimales:
Desde mediados del siglo XX, todas las mejoras en el cálculo de π se han realizado con la ayuda de calculadoras o computadoras .
En 1944-45, DF Ferguson, con la ayuda de una calculadora mecánica de escritorio , descubrió que William Shanks había cometido un error en el decimal 528 y que todos los dígitos siguientes eran incorrectos. [34] [38]
En los primeros años de la computadora, una expansión de π a100 000 decimales [39] : 78 fue calculado por el matemático de Maryland Daniel Shanks (sin relación con el mencionado William Shanks) y su equipo en el Laboratorio de Investigación Naval de los Estados Unidos en Washington, DC En 1961, Shanks y su equipo utilizaron dos series de potencias diferentes para calcular los dígitos de π . Para uno, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente alto, y para el otro, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente bajo. Y por lo tanto, siempre que las dos series produjeran los mismos dígitos, había una confianza muy alta en que eran correctos. Los primeros 100,265 dígitos de π se publicaron en 1962. [39] : 80–99 Los autores describieron lo que se necesitaría para calcular π a 1 millón de decimales y concluyeron que la tarea estaba más allá de la tecnología de ese día, pero sería posible en cinco a siete años. [39] : 78
En 1989, los hermanos Chudnovsky calcularon π hasta más de mil millones de decimales en la supercomputadora IBM 3090 utilizando la siguiente variación de la serie infinita de π de Ramanujan :
Desde entonces, todos los récords se han logrado utilizando el algoritmo Chudnovsky . En 1999, Yasumasa Kanada y su equipo de la Universidad de Tokio calcularon π con más de 200 mil millones de decimales en la supercomputadora HITACHI SR8000/MPP (128 nodos) utilizando otra variación de la serie infinita de π de Ramanujan . En noviembre de 2002, Yasumasa Kanada y un equipo de otras 9 personas utilizaron la Hitachi SR8000 , una supercomputadora de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, para calcular π con aproximadamente 1,24 billones de dígitos en alrededor de 600 horas (25 días). [40]
Registros recientes
En agosto de 2009, una supercomputadora japonesa llamada T2K Open Supercomputer más que duplicó el récord anterior al calcular π en aproximadamente 2,6 billones de dígitos en aproximadamente 73 horas y 36 minutos.
En diciembre de 2009, Fabrice Bellard utilizó una computadora personal para calcular 2,7 billones de dígitos decimales de π . Los cálculos se realizaron en base 2 (binario) y luego el resultado se convirtió a base 10 (decimal). Los pasos de cálculo, conversión y verificación tomaron un total de 131 días. [41]
En agosto de 2010, Shigeru Kondo utilizó el y-cruncher de Alexander Yee para calcular 5 billones de dígitos de π . Este fue el récord mundial para cualquier tipo de cálculo, pero lo más significativo es que se realizó en una computadora hogareña construida por Kondo. [42] El cálculo se realizó entre el 4 de mayo y el 3 de agosto, y las verificaciones primaria y secundaria tardaron 64 y 66 horas respectivamente. [43]
En octubre de 2011, Shigeru Kondo rompió su propio récord al calcular diez billones (10 13 ) y cincuenta dígitos utilizando el mismo método pero con mejor hardware. [44] [45]
En diciembre de 2013, Kondo rompió su propio récord por segunda vez cuando calculó 12,1 billones de dígitos de π . [46]
En octubre de 2014, Sandon Van Ness, con el seudónimo "houkouonchi", utilizó y-cruncher para calcular 13,3 billones de dígitos de π . [47]
En noviembre de 2016, Peter Trueb y sus patrocinadores calcularon en y-cruncher y verificaron completamente 22,4 billones de dígitos de π (22 459 157 718 361 ( π e × 10 12 )). [48] El cálculo tardó (con tres interrupciones) 105 días en completarse, [47] la limitación para una mayor expansión fue principalmente el espacio de almacenamiento. [46]
En enero de 2020, Timothy Mullican anunció el cálculo de 50 billones de dígitos a lo largo de 303 días. [50] [51]
El 14 de agosto de 2021, un equipo (DAViS) de la Universidad de Ciencias Aplicadas de los Grisones anunció la finalización del cálculo de π a 62,8 (aproximadamente 20 π ) billones de dígitos. [52] [53]
El 8 de junio de 2022, Emma Haruka Iwao anunció en el blog de Google Cloud el cálculo de 100 billones (10 14 ) de dígitos de π durante 158 días utilizando el y-cruncher de Alexander Yee . [54]
El 14 de marzo de 2024, Jordan Ranous, Kevin O'Brien y Brian Beeler calcularon π hasta 105 billones de dígitos, también utilizando y-cruncher. [55]
El 28 de junio de 2024, el equipo de StorageReview calculó π hasta 202 billones de dígitos, también utilizando y-cruncher. [56]
Aproximaciones prácticas
Dependiendo del propósito de un cálculo, π se puede aproximar usando fracciones para facilitar el cálculo. Las aproximaciones más notables son 22 ⁄ 7 ( error relativo de aproximadamente 4·10 −4 ) y 355 ⁄ 113 (error relativo de aproximadamente 8·10 −8 ). [57] [58] [59]
En matemáticas chinas, las fracciones 22/7 y 355/113 se conocen como Yuelü (约率; yuēlǜ ; 'razón aproximada') y Milü (密率; mìlǜ ; 'razón cercana').
"Definiciones" no matemáticas deπ
De cierta importancia son los textos legales o históricos que supuestamente "definen π " como si tuviera algún valor racional, como el " Proyecto de ley Pi de Indiana " de 1897, que establecía que "la relación entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro" (lo que implicaría " π = 3,2 ") y un pasaje de la Biblia hebrea que implica que π = 3 .
Proyecto de ley de Indiana
El llamado "proyecto de ley Indiana Pi" de 1897 se ha caracterizado a menudo como un intento de "legislar el valor de Pi". En realidad, el proyecto de ley trataba de una supuesta solución al problema de la " cuadratura geométrica del círculo ". [60]
El proyecto de ley casi fue aprobado por la Asamblea General de Indiana en los EE. UU., y se ha afirmado que implica varios valores diferentes para π , aunque lo más cercano a afirmar explícitamente uno es la redacción "la relación entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro", lo que haría que π = 16 ⁄ 5 = 3,2 , una discrepancia de casi el 2 por ciento. Un profesor de matemáticas que estaba presente el día en que el proyecto de ley se presentó para su consideración en el Senado, después de que hubiera sido aprobado en la Cámara, ayudó a detener la aprobación del proyecto de ley en su segunda lectura, después de lo cual la asamblea lo ridiculizó por completo antes de posponerlo indefinidamente .
Valor bíblico imputado
A veces se afirma [ ¿quién? ] que la Biblia hebrea implica que " π es igual a tres", basándose en un pasaje en 1 Reyes 7:23 y 2 Crónicas 4:2 que da medidas para la palangana redonda ubicada frente al Templo en Jerusalén con un diámetro de 10 codos y una circunferencia de 30 codos.
La cuestión se discute en el Talmud y en la literatura rabínica . [61] Entre las muchas explicaciones y comentarios están los siguientes:
El rabino Nehemías explicó esto en su Mishnat ha-Middot (el texto hebreo más antiguo conocido sobre geometría , ca. 150 d.C.) diciendo que el diámetro se medía desde el borde exterior mientras que la circunferencia se medía a lo largo del borde interior . Esta interpretación implica un borde de aproximadamente 0,225 codos (o, suponiendo un "codo" de 18 pulgadas, unas 4 pulgadas), o un y un tercio de " palmos " de espesor (cf. NRSV y NRSV).
Maimónides afirma (hacia el año 1168 d. C.) que π solo se puede conocer de forma aproximada, por lo que el valor 3 se consideró suficientemente preciso para fines religiosos. Algunos consideran que esta es la primera afirmación de que π es irracional [62] .
Todavía hay cierto debate sobre este pasaje en la erudición bíblica. [ verificación fallida ] [63] [64] Muchas reconstrucciones de la palangana muestran un borde más ancho (o labio ensanchado) que se extiende hacia afuera desde el cuenco mismo por varias pulgadas para que coincida con la descripción dada en NRSV [65] En los versículos siguientes, el borde se describe como "de un palmo menor de espesor; y su borde estaba labrado como el borde de una copa, como la flor de un lirio: recibía y contenía tres mil batos" NRSV, lo que sugiere una forma que se puede abarcar con una cuerda más corta que la longitud total del borde, por ejemplo, una flor de Lilium o una taza de té .
Desarrollo de fórmulas eficientes
Aproximación de un polígono a un círculo
Arquímedes, en su Medición de un círculo , creó el primer algoritmo para el cálculo de π basado en la idea de que el perímetro de cualquier polígono (convexo) inscrito en un círculo es menor que la circunferencia del círculo, que, a su vez, es menor que el perímetro de cualquier polígono circunscrito. Comenzó con hexágonos regulares inscritos y circunscritos, cuyos perímetros se determinan fácilmente. Luego muestra cómo calcular los perímetros de polígonos regulares de dos veces más lados que están inscritos y circunscritos en el mismo círculo. Este es un procedimiento recursivo que hoy se describiría de la siguiente manera: Sean p k y P k los perímetros de polígonos regulares de k lados que están inscritos y circunscritos en el mismo círculo, respectivamente. Entonces,
Arquímedes utiliza esto para calcular sucesivamente P 12 , p 12 , P 24 , p 24 , P 48 , p 48 , P 96 y p 96 . [66] Utilizando estos últimos valores obtiene
No se sabe por qué Arquímedes se detuvo en un polígono de 96 lados; sólo hace falta paciencia para ampliar los cálculos. Heron informa en su Métrica (alrededor del año 60 d. C.) que Arquímedes continuó el cálculo en un libro ahora perdido, pero luego le atribuye un valor incorrecto. [67]
Arquímedes no utiliza trigonometría en este cálculo y la dificultad de aplicar el método reside en obtener buenas aproximaciones para las raíces cuadradas involucradas. La trigonometría, en forma de tabla de longitudes de cuerdas en un círculo, probablemente fue utilizada por Claudio Ptolomeo de Alejandría para obtener el valor de π dado en el Almagesto (circa 150 d.C.). [68]
Los avances en la aproximación de π (cuando se conocen los métodos) se lograron aumentando el número de lados de los polígonos utilizados en el cálculo. Una mejora trigonométrica de Willebrord Snell (1621) obtiene mejores límites a partir de un par de límites obtenidos a partir del método de polígonos. Por lo tanto, se obtuvieron resultados más precisos a partir de polígonos con menos lados. [69] La fórmula de Viète , publicada por François Viète en 1593, fue derivada por Viète utilizando un método poligonal estrechamente relacionado, pero con áreas en lugar de perímetros de polígonos cuyo número de lados son potencias de dos. [70]
El último gran intento de calcular π con este método lo llevó a cabo Grienberger en 1630, quien calculó 39 decimales de π utilizando el refinamiento de Snell. [69]
Fórmula similar a la de Machin
Para cálculos rápidos, se pueden utilizar fórmulas como la de Machin :
(( x ),( y ) = {239, 13 2 } es una solución de la ecuación de Pell x 2 − 2 y 2 = −1.)
Las fórmulas de este tipo se conocen como fórmulas de tipo Machin . La fórmula particular de Machin se utilizó hasta bien entrada la era informática para calcular números récord de dígitos de π , [39] pero más recientemente también se han utilizado otras fórmulas similares.
Por ejemplo, Shanks y su equipo utilizaron la siguiente fórmula similar a la de Machin en 1961 para calcular los primeros 100.000 dígitos de π : [39]
y utilizaron otra fórmula parecida a la de Machin,
como un cheque.
El récord de diciembre de 2002 de Yasumasa Kanada, de la Universidad de Tokio, se situaba en 1.241.100.000.000 de dígitos. Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas similares a las de Machin:
donde , la secuencia converge cuárticamente a π , dando alrededor de 100 dígitos en tres pasos y más de un billón de dígitos después de 20 pasos. Aunque la serie de Chudnovsky es solo convergente lineal, el algoritmo de Chudnovsky podría ser más rápido que los algoritmos iterativos en la práctica; eso depende de factores tecnológicos como los tamaños de memoria y los tiempos de acceso . [72] Para romper récords mundiales, los algoritmos iterativos se usan con menos frecuencia que el algoritmo de Chudnovsky ya que consumen mucha memoria.
El primer millón de dígitos de π y 1 ⁄ π están disponibles en el Proyecto Gutenberg . [73] [74] Un récord de cálculo anterior (diciembre de 2002) realizado por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio se situó en 1,24 billones de dígitos, que se calcularon en septiembre de 2002 en una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que realiza 2 billones de operaciones por segundo, casi el doble de las que realizaba la computadora utilizada para el récord anterior (206 mil millones de dígitos). Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas similares a las de Machin:
Estas aproximaciones tienen tantos dígitos que ya no tienen ninguna utilidad práctica, excepto para probar nuevas supercomputadoras. [75] Propiedades como la normalidad potencial de π siempre dependerán de la cadena infinita de dígitos al final, no de ningún cálculo finito.
Esta aproximación nos muestra la exactitud de los primeros 18 dígitos de Pi.
Además, se pueden utilizar las siguientes expresiones para estimar π :
Preciso hasta tres dígitos:
Preciso hasta tres dígitos:
Karl Popper conjeturó que Platón conocía esta expresión, que creía que era exactamente π y que esto es responsable de parte de la confianza de Platón en la omnicompetencia de la geometría matemática, y de la repetida discusión de Platón sobre triángulos rectángulos especiales que son isósceles o mitades de triángulos equiláteros .
- inversa del primer término de la serie de Ramanujan.
[81]
Preciso hasta ocho dígitos:
[82]
Este es el caso que no se puede obtener a partir de la aproximación de Ramanujan (22). [83]
Preciso hasta nueve dígitos:
This is from Ramanujan, who claimed the Goddess of Namagiri appeared to him in a dream and told him the true value of π.[83]
accurate to ten digits:
accurate to ten digits:
accurate to ten digits (or eleven significant figures):
This curious approximation follows the observation that the 193rd power of 1/π yields the sequence 1122211125... Replacing 5 by 2 completes the symmetry without reducing the correct digits of π, while inserting a central decimal point remarkably fixes the accompanying magnitude at 10100.[84]
accurate to eleven digits:
accurate to twelve digits:
accurate to 12 decimal places:
This is obtained from the Chudnovsky series (truncate the series (1.4)[85] at the first term and let E6(τ163)2/E4(τ163)3 = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1).
accurate to 16 digits:
- inverse of sum of first two terms of Ramanujan series.
accurate to 18 digits:
This is the approximation (22) in Ramanujan's paper[83] with n = 253.
accurate to 19 digits:
- improved inverse of sum of first two terms of Ramanujan series.
accurate to 24 digits:
- inverse of sum of first three terms of Ramanujan series.
accurate to 25 decimal places:
This is derived from Ramanujan's class invariant g100 = 25/8/(51/4 − 1).[83]
Like the one above, a consequence of the j-invariant. Among negative discriminants with class number 2, this d the largest in absolute value.
accurate to 52 decimal places:
This is derived from Ramanujan's class invariant G385.[83]
accurate to 161 decimal places:
where u is a product of four simple quartic units,
and,
Based on one found by Daniel Shanks. Similar to the previous two, but this time is a quotient of a modular form, namely the Dedekind eta function, and where the argument involves . The discriminant d = 3502 has h(−d) = 16.
accurate to 256 digits:
- improved inverse of sum of the first nineteen terms of Chudnovsky series.
The continued fraction representation of π can be used to generate successive best rational approximations. These approximations are the best possible rational approximations of π relative to the size of their denominators. Here is a list of the first thirteen of these:[86][87]
Of these, is the only fraction in this sequence that gives more exact digits of π (i.e. 7) than the number of digits needed to approximate it (i.e. 6). The accuracy can be improved by using other fractions with larger numerators and denominators, but, for most such fractions, more digits are required in the approximation than correct significant figures achieved in the result.[88]
Summing a circle's area
Pi can be obtained from a circle if its radius and area are known using the relationship:
If a circle with radius r is drawn with its center at the point (0, 0), any point whose distance from the origin is less than r will fall inside the circle. The Pythagorean theorem gives the distance from any point (x, y) to the center:
Mathematical "graph paper" is formed by imagining a 1×1 square centered around each cell (x, y), where x and y are integers between −r and r. Squares whose center resides inside or exactly on the border of the circle can then be counted by testing whether, for each cell (x, y),
The total number of cells satisfying that condition thus approximates the area of the circle, which then can be used to calculate an approximation of π. Closer approximations can be produced by using larger values of r.
Mathematically, this formula can be written:
In other words, begin by choosing a value for r. Consider all cells (x, y) in which both x and y are integers between −r and r. Starting at 0, add 1 for each cell whose distance to the origin (0,0) is less than or equal to r. When finished, divide the sum, representing the area of a circle of radius r, by r2 to find the approximation of π.
For example, if r is 5, then the cells considered are:
The 12 cells (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) are exactly on the circle, and 69 cells are completely inside, so the approximate area is 81, and π is calculated to be approximately 3.24 because 81⁄52 = 3.24. Results for some values of r are shown in the table below:
For related results see The circle problem: number of points (x,y) in square lattice with x^2 + y^2 <= n.
Similarly, the more complex approximations of π given below involve repeated calculations of some sort, yielding closer and closer approximations with increasing numbers of calculations.
Continued fractions
Besides its simple continued fraction representation [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,...], which displays no discernible pattern, π has many generalized continued fraction representations generated by a simple rule, including these two.
The remainder of the Madhava–Leibniz series can be expressed as generalized continued fraction as follows.[79]
Note that Madhava's correction term is
.
The well-known values 22⁄7 and 355⁄113 are respectively the second and fourth continued fraction approximations to π. (Other representations are available at The Wolfram Functions Site.)
is the power series for arctan(x) specialized to x = 1. It converges too slowly to be of practical interest. However, the power series converges much faster for smaller values of , which leads to formulae where arises as the sum of small angles with rational tangents, known as Machin-like formulae.
Arctangent
Knowing that 4 arctan 1 = π, the formula can be simplified to get:
with a convergence such that each additional 10 terms yields at least three more digits.
This series is the basis for a decimal spigot algorithm by Rabinowitz and Wagon.[89]
Another formula for involving arctangent function is given by
where such that . Approximations can be made by using, for example, the rapidly convergent Euler formula[90]
Alternatively, the following simple expansion series of the arctangent function can be used
where
to approximate with even more rapid convergence. Convergence in this arctangent formula for improves as integer increases.
The constant can also be expressed by infinite sum of arctangent functions as
and
where is the n-th Fibonacci number. However, these two formulae for are much slower in convergence because of set of arctangent functions that are involved in computation.
Arcsine
Observing an equilateral triangle and noting that
yields
with a convergence such that each additional five terms yields at least three more digits.
Digit extraction methods
The Bailey–Borwein–Plouffe formula (BBP) for calculating π was discovered in 1995 by Simon Plouffe. Using base 16 math, the formula can compute any particular digit of π—returning the hexadecimal value of the digit—without having to compute the intervening digits (digit extraction).[91]
In 1996, Simon Plouffe derived an algorithm to extract the nth decimal digit of π (using base10 math to extract a base10 digit), and which can do so with an improved speed of O(n3(log n)3) time. The algorithm requires virtually no memory for the storage of an array or matrix so the one-millionth digit of π can be computed using a pocket calculator.[92] However, it would be quite tedious and impractical to do so.
The calculation speed of Plouffe's formula was improved to O(n2) by Fabrice Bellard, who derived an alternative formula (albeit only in base2 math) for computing π.[93]
Efficient methods
Many other expressions for π were developed and published by Indian mathematician Srinivasa Ramanujan. He worked with mathematician Godfrey Harold Hardy in England for a number of years.
This formula permits one to fairly readily compute the kth binary or hexadecimal digit of π, without having to compute the preceding k − 1 digits. Bailey's website[94] contains the derivation as well as implementations in various programming languages. The PiHex project computed 64 bits around the quadrillionth bit of π (which turns out to be 0).
This converges extraordinarily rapidly. Ramanujan's work is the basis for the fastest algorithms used, as of the turn of the millennium, to calculate π.
The speed of various algorithms for computing pi to n correct digits is shown below in descending order of asymptotic complexity. M(n) is the complexity of the multiplication algorithm employed.
Projects
Pi Hex
Pi Hex was a project to compute three specific binary digits of π using a distributed network of several hundred computers. In 2000, after two years, the project finished computing the five trillionth (5*1012), the forty trillionth, and the quadrillionth (1015) bits. All three of them turned out to be 0.
Programs designed for calculating π may have better performance than general-purpose mathematical software. They typically implement checkpointing and efficient disk swapping to facilitate extremely long-running and memory-expensive computations.
TachusPi by Fabrice Bellard[96] is the program used by himself to compute world record number of digits of pi in 2009.
y-cruncher by Alexander Yee[47] is the program which every world record holder since Shigeru Kondo in 2010 has used to compute world record numbers of digits. y-cruncher can also be used to calculate other constants and holds world records for several of them.
PiFast by Xavier Gourdon was the fastest program for Microsoft Windows in 2003. According to its author, it can compute one million digits in 3.5 seconds on a 2.4 GHz Pentium 4.[97] PiFast can also compute other irrational numbers like e and √2. It can also work at lesser efficiency with very little memory (down to a few tens of megabytes to compute well over a billion (109) digits). This tool is a popular benchmark in the overclocking community. PiFast 4.4 is available from Stu's Pi page. PiFast 4.3 is available from Gourdon's page.
QuickPi by Steve Pagliarulo for Windows is faster than PiFast for runs of under 400 million digits. Version 4.5 is available on Stu's Pi Page below. Like PiFast, QuickPi can also compute other irrational numbers like e, √2, and √3. The software may be obtained from the Pi-Hacks Yahoo! forum, or from Stu's Pi page.
Super PI by Kanada Laboratory[98] in the University of Tokyo is the program for Microsoft Windows for runs from 16,000 to 33,550,000 digits. It can compute one million digits in 40 minutes, two million digits in 90 minutes and four million digits in 220 minutes on a Pentium 90 MHz. Super PI version 1.9 is available from Super PI 1.9 page.
^ a b c dHayes, Brian (September 2014). "Pencil, Paper, and Pi". American Scientist. Vol. 102, no. 5. p. 342. doi:10.1511/2014.110.342.
^Ranous, Jordan (28 June 2024). "StorageReview Lab Breaks Pi Calculation World Record with Over 202 Trillion Digits". www.storagereview.com. Retrieved 2 July 2024.
^Petrie, W.M.F. (1940). Wisdom of the Egyptians.
^Verner, Miroslav (2001) [1997]. The Pyramids: The Mystery, Culture, and Science of Egypt's Great Monuments. Grove Press. ISBN 978-0-8021-3935-1. Based on the Great Pyramid of Giza, supposedly built so that the circle whose radius is equal to the height of the pyramid has a circumference equal to the perimeter of the base (it is 1760 cubits around and 280 cubits in height).
^Legon, J. A. R. (1991). On Pyramid Dimensions and Proportions. Discussions in Egyptology. Vol. 20. pp. 25–34. Archived from the original on 18 July 2011. Retrieved 7 June 2011.
^See #Imputed biblical value. Beckmann 1971 "There has been concern over the apparent biblical statement of π ≈ 3 from the early times of rabbinical Judaism, addressed by Rabbi Nehemiah in the 2nd century."[page needed]
^Romano, David Gilman (1993). Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion. American Philosophical Society. p. 78. ISBN 978-0871692061. A group of mathematical clay tablets from the Old Babylonian Period, excavated at Susa in 1936, and published by E.M. Bruins in 1950, provide the information that the Babylonian approximation of π was 3 1/8 or 3.125.
^Bruins, E. M. (1950). "Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse" (PDF).
^Bruins, E. M.; Rutten, M. (1961). Textes mathématiques de Suse. Mémoires de la Mission archéologique en Iran. Vol. XXXIV.
^See also Beckmann 1971, pp. 12, 21–22 "in 1936, a tablet was excavated some 200 miles from Babylon. ... The mentioned tablet, whose translation was partially published only in 1950, ... states that the ratio of the perimeter of a regular hexagon to the circumference of the circumscribed circle equals a number which in modern notation is given by 57/60+36/(60)2 [i.e. π = 3/0.96 = 25/8]".
^Chaitanya, Krishna. A profile of Indian culture. Indian Book Company (1975). p. 133.
^Jadhav, Dipak (1 January 2018). "On The Value Implied in the Data Referred To in the Mahābhārata for π". Vidyottama Sanatana: International Journal of Hindu Science and Religious Studies. 2 (1): 18. doi:10.25078/ijhsrs.v2i1.511. ISSN 2550-0651. S2CID 146074061.
^Damini, D.B.; Abhishek, Dhar (2020). "How Archimedes showed that π is approximately equal to 22/7". p. 8. arXiv:2008.07995 [math.HO].
^Lazarus Mudehwe (February 1997). "The story of pi". Zimaths. Archived from the original on 8 January 2013.
^Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (1986), "Circle measurements in ancient China", Historia Mathematica, 13 (4): 325–340, doi:10.1016/0315-0860(86)90055-8, MR 0875525. Reprinted in Berggren, J. L.; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter, eds. (2004). Pi: A Source Book. Springer. pp. 20–35. ISBN 978-0387205717.. See in particular pp. 333–334 (pp. 28–29 of the reprint).
^How Aryabhata got the earth's circumference right Archived 15 January 2017 at the Wayback Machine
"Add four to one hundred, multiply by eight and then add sixty-two thousand. The result is approximately the circumference of a circle of diameter twenty thousand. By this rule the relation of the circumference to diameter is given."
In other words, (4 + 100) × 8 + 62000 is the circumference of a circle with diameter 20000. This provides a value of π ≈ 62832⁄20000 = 3.1416,Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Third ed.). New York: W.H. Freeman and Company. p. 70.
^"Aryabhata the Elder". University of St Andrews, School of Mathematics and Statistics. Retrieved 20 July 2011.
^S. Balachandra Rao (1998). Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore: Jnana Deep Publications. ISBN 978-81-7371-205-0.
^ a bJ J O'Connor and E F Robertson (November 2000). "Madhava of Sangamagramma". MacTutor. University of St. Andrews.
^Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
^Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch (1981). "Ghiyath al-din Jamshid Masud al-Kashi (or al-Kashani)". Dictionary of Scientific Biography. Vol. 7. p. 256.
^J J O'Connor and E F Robertson (July 1999). "Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi". MacTutor. University of St. Andrews.
^Azarian, Mohammad K. (2010). "al-Risāla al-muhītīyya: A Summary". Missouri Journal of Mathematical Sciences. 22 (2): 64–85. doi:10.35834/mjms/1312233136.
^Capra, B. "Digits of Pi" (PDF). Retrieved 13 January 2018.
^Chakrabarti, Gopal; Hudson, Richard (2003). "An Improvement of Archimedes Method of Approximating π" (PDF). International Journal of Pure and Applied Mathematics. 7 (2): 207–212.
^Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos. London: J. Wale. pp. 243, 263. There are various other ways of finding the Lengths, or Areas of particular Curve Lines or Planes, which may very much facilitate the Practice; as for instance, in the Circle, the Diameter is to Circumference as 1 to 3.14159, &c. = π. This Series (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. John Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.
Reprinted in Smith, David Eugene (1929). "William Jones: The First Use of π for the Circle Ratio". A Source Book in Mathematics. McGraw–Hill. pp. 346–347.
^Tweddle, Ian (1991). "John Machin and Robert Simson on Inverse-tangent Series for π". Archive for History of Exact Sciences. 42 (1): 1–14. doi:10.1007/BF00384331. JSTOR 41133896. S2CID 121087222.
^Vega, Géorge (1795) [1789]. "Detérmination de la demi-circonférence d'un cercle dont le diameter est = 1, exprimée en 140 figures decimals". Supplement. Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae. 11: 41–44.
Sandifer, Edward (2006). "Why 140 Digits of Pi Matter" (PDF). Jurij baron Vega in njegov čas: Zbornik ob 250-letnici rojstva [Baron Jurij Vega and His Times: Celebrating 250 Years]. Ljubljana: DMFA. ISBN 978-961-6137-98-0. LCCN 2008467244. OCLC 448882242. Archived from the original (PDF) on 28 August 2006. We should note that Vega's value contains an error in the 127th digit. Vega gives a 4 where there should be an [6], and all digits after that are incorrect.
^"What kind of accuracy could one get with Pi to 40 decimal places?". Stack Exchange. 11 May 2015.
^ a bFerguson, D. F. (16 March 1946). "Value of π". Nature. 157 (3985): 342. Bibcode:1946Natur.157..342F. doi:10.1038/157342c0. ISSN 1476-4687. S2CID 4085398.
^Shanks, William (1853). Contributions to Mathematics: Comprising Chiefly the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals. Macmillan Publishers. p. viii – via the Internet Archive.
^Shanks, William (1873). "V. On the extension of the numerical value of π". Proceedings of the Royal Society of London. 21 (139–147). Royal Society Publishing: 318–319. doi:10.1098/rspl.1872.0066. S2CID 120851313.
^"William Shanks (1812–1882) – Biography". University of St Andrews. July 2007. Retrieved 22 January 2022.
^Ferguson 1946a, doi:10.2307/3608485
^ a b c d eShanks, D.; Wrench, J. W. Jr. (1962). "Calculation of π to 100,000 decimals". Mathematics of Computation. 16 (77): 76–99. doi:10.2307/2003813. JSTOR 2003813.
^"Announcement at the Kanada lab web site". Super-computing.org. Archived from the original on 12 March 2011. Retrieved 11 December 2017.
^"Pi Computation Record".
^McCormick Grad Sets New Pi Record Archived 28 September 2011 at the Wayback Machine
^"Pi – 5 Trillion Digits".
^Glenn (19 October 2011). "Short Sharp Science: Epic pi quest sets 10 trillion digit record". New Scientist. Retrieved 18 April 2016.
^Yee, Alexander J.; Kondo, Shigeru (22 October 2011). "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi".
^ a bYee, Alexander J.; Kondo, Shigeru (28 December 2013). "12.1 Trillion Digits of Pi".
^ a b c dYee, Alexander J. (2018). "y-cruncher: A Multi-Threaded Pi Program". numberworld.org. Retrieved 14 March 2018.
^Treub, Peter (30 November 2016). "Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi". arXiv:1612.00489 [math.NT].
^"Google Cloud Topples the Pi Record". numberworld.org. Retrieved 14 March 2019.
^"The Pi Record Returns to the Personal Computer". Retrieved 30 January 2020.
^"Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record". 26 June 2019. Retrieved 30 January 2020.
^"Die FH Graubünden kennt Pi am genauesten – Weltrekord!". Retrieved 31 August 2021.
^"Swiss researchers calculate pi to new record of 62.8tn figures". The Guardian. 16 August 2021. Retrieved 31 August 2021.
^"Even more pi in the sky: Calculating 100 trillion digits of pi on Google Cloud". Google Cloud Platform. 8 June 2022. Retrieved 10 June 2022.
^Yee, Alexander J. (14 March 2024). "Limping to a new Pi Record of 105 Trillion Digits". NumberWorld.org. Retrieved 16 March 2024.
^Ranous, Jordan (28 June 2024). "StorageReview Lab Breaks Pi Calculation World Record with Over 202 Trillion Digits". www.storagereview.com. Retrieved 2 July 2024.
^Allain, Rhett (18 March 2011). "What is the Best Fractional Representation of Pi". Wired. Retrieved 16 March 2020.
^John D., Cook (22 May 2018). "Best Rational Approximations for Pi". John D. Cook Consulting. Retrieved 16 March 2020.
^"Continued Fraction Approximations to Pi" (PDF). Illinois Department of Mathematics. University of Illinois Board of Trustees. Archived from the original (PDF) on 23 January 2021. Retrieved 16 March 2020.
^Hallerberg, Arthur E. (1977). "Indiana's Squared Circle". Mathematics Magazine. 50 (3): 136–140. doi:10.1080/0025570X.1977.11976632.
^Tsaban, Boaz; Garber, David (February 1998). "On the rabbinical approximation of π" (PDF). Historia Mathematica. 25 (1): 75–84. doi:10.1006/hmat.1997.2185. ISSN 0315-0860. Retrieved 14 July 2009.
^Aleff, H. Peter. "Ancient Creation Stories told by the Numbers: Solomon's Pi". recoveredscience.com. Archived from the original on 14 October 2007. Retrieved 30 October 2007.
^O'Connor, J J; E F Robertson (August 2001). "A history of Pi". Archived from the original on 30 October 2007. Retrieved 30 October 2007.
^Math Forum – Ask Dr. Math
^Eves 1992, p. 131
^Beckmann 1971, p. 66
^Eves 1992, p. 118
^ a bEves 1992, p. 119
^Beckmann 1971, pp. 94–95
^Unpublished work by Newton (1684), later independently discovered by others, and popularized by Euler (1755).
Roy, Ranjan (2021) [1st ed. 2011]. Series and Products in the Development of Mathematics. Vol. 1 (2 ed.). Cambridge University Press. pp. 215–216, 219–220.
Sandifer, Ed (2009). "Estimating π" (PDF). How Euler Did It. Reprinted in How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. 2014. pp. 109–118.
Newton, Isaac (1971). Whiteside, Derek Thomas (ed.). The Mathematical Papers of Isaac Newton. Vol. 4, 1674–1684. Cambridge University Press. pp. 526–653.
Euler, Leonhard (1798) [written 1779]. "Investigatio quarundam serierum, quae ad rationem peripheriae circuli ad diametrum vero proxime definiendam maxime sunt accommodatae". Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae. 11: 133–149, 167–168. E 705.
Hwang Chien-Lih (2005), "An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function", The Mathematical Gazette, 89 (516): 469–470, doi:10.1017/S0025557200178404, S2CID 123395287
^ a b cTrueb, Peter (2020). The Borwein brothers, Pi and the AGM. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 313. arXiv:1802.07558. doi:10.1007/978-3-030-36568-4. ISBN 978-3-030-36567-7. S2CID 214742997.
^Hemphill, Scott (1993). Pi.
^Kanada, Yasumasa (1996). One Divided by Pi.
^Anthony, Sebastian (15 March 2012). "What can you do with a supercomputer? – ExtremeTech". Extremetech.
^A nested radical approximation for π Archived 6 July 2011 at the Wayback Machine
^Lenz, Friedrich (15 May 1951). "The Ratio of Proton and Electron Masses". Phys. Rev.82 (4): 554. Bibcode:1951PhRv...82..554L. doi:10.1103/PhysRev.82.554.2.
^ a bDutka, J. (1982). "Wallis's product, Brouncker's continued fraction, and Leibniz's series". Archive for History of Exact Sciences. 26 (2): 115–126. doi:10.1007/BF00348349. S2CID 121628039.
^Lange, L. (1999). "An elegant continued fraction for π". Amer. Math. Monthly. 106 (5): 456–458.
^Borwein, Jonathan; Bailey, David (2008). Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century, 2nd Edition. A.K. Peters. p. 135. ISBN 978-1-56881-442-1.
^ a b c d eBerggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (2003). Pi: A Source Book, 3rd Edition. Springer. pp. 241–257. ISBN 978-0-387-20571-7.
^Hoffman, D.W. College Mathematics Journal, 40 (2009) 399
^Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (2003). Pi: A Source Book, 3rd Edition. Springer. pp. 596–622. ISBN 978-0-387-20571-7.
^Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan (1995). "A Spigot Algorithm for the Digits of π". The American Mathematical Monthly. 102 (3): 195–203. doi:10.2307/2975006. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975006.
^Hwang Chien-Lih (2005), "An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function", The Mathematical Gazette, 89 (516): 469–470, doi:10.1017/S0025557200178404, S2CID 123395287
^Plouffe, Simon (2009). "On the computation of the n^th decimal digit of various transcendental numbers". arXiv:0912.0303v1 [math.NT].
^Bellard's Website: Bellard.org
^"David H Bailey". crd.LBL.gov. Archived from the original on 10 April 2011. Retrieved 11 December 2017.
^"The world of Pi – Bellard". Pi314.net. 13 April 2013. Retrieved 18 April 2016.
^Bellard, Fabrice. "TachusPi". Retrieved 20 March 2020.
^"PiFast timings"
^Takahashi, Daisuke; Kanada, Yasumasa (10 August 2010). "Kanada Laboratory home page". University of Tokyo. Archived from the original on 24 August 2011. Retrieved 1 May 2011.
References
Bailey, David H.; Borwein, Peter B. & Plouffe, Simon (April 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903–913. Bibcode:1997MaCom..66..903B. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
Eves, Howard (1992). Introducción a la historia de las matemáticas (6.ª ed.). Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-029558-4.
Joseph, George G. (2000). La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (Nueva edición, Londres: Penguin ed.). Londres: Penguin. ISBN 978-0-14-027778-4.
Jackson, K; Stamp, J. (2002). La pirámide: más allá de la imaginación. Dentro de la Gran Pirámide de Giza . Londres: BBC. ISBN.9780563488033.
Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004). Pi: a source book (3.ª ed.). Nueva York: Springer Science + Business Media LLC. ISBN 978-1-4757-4217-6.