Las funciones racionales de j son modulares y, de hecho, dan todas las funciones modulares. Clásicamente, la invariante j se estudió como una parametrización de curvas elípticas sobre , pero también tiene conexiones sorprendentes con las simetrías del grupo Monster (esta conexión se conoce como luz de luna monstruosa ).
Definición
La j -invariante se puede definir como una función en el semiplano superior H = { τ ∈ C , Im ( τ ) > 0},
La tercera definición implica que se puede expresar como un cubo , también desde 1728 .
En general, esto puede motivarse considerando que cada τ representa una clase de isomorfismo de curvas elípticas. Cada curva elíptica E sobre C es un toro complejo y, por tanto, puede identificarse con una red de rango 2; es decir, una red bidimensional de C . Esta red se puede rotar y escalar (operaciones que preservan la clase de isomorfismo), de modo que sea generada por 1 y τ ∈ H . Esta red corresponde a la curva elíptica (ver Funciones elípticas de Weierstrass ).
Tenga en cuenta que j se define en todas partes de H ya que el discriminante modular es distinto de cero. Esto se debe a que el polinomio cúbico correspondiente tiene raíces distintas.
La región fundamental
Se puede demostrar que Δ es una forma modular de peso doce, y g 2 una de peso cuatro, de modo que su tercera potencia también es de peso doce. Así, su cociente, y por tanto j , es una función modular de peso cero, en particular una función holomorfa H → C invariante bajo la acción de SL(2, Z ) . Cociente por su centro {±I} produce el grupo modular , que podemos identificar con el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z ) .
Mediante una elección adecuada de transformación perteneciente a este grupo,
podemos reducir τ a un valor que dé el mismo valor para j y que se encuentre en la región fundamental de j , que consta de valores para τ que satisfacen las condiciones
La función j ( τ ) cuando se restringe a esta región todavía toma cada valor en los números complejos C exactamente una vez. En otras palabras, para cada c en C , hay un único τ en la región fundamental tal que c = j ( τ ) . Por tanto, j tiene la propiedad de mapear la región fundamental en todo el plano complejo.
Además, dos valores τ,τ' ∈ H producen la misma curva elíptica si y solo τ = T(τ') para algunos T ∈ PSL(2, Z ) . Esto significa que j proporciona una biyección del conjunto de curvas elípticas sobre C al plano complejo. [2]
Como superficie de Riemann , la región fundamental tiene género 0 , y cada función modular ( nivel uno ) es una función racional en j ; y, a la inversa, toda función racional en j es una función modular. En otras palabras, el campo de funciones modulares es C ( j ) .
Teoría de campos de clases y j.
El j -invariante tiene muchas propiedades notables:
Si τ es cualquier punto del semiplano superior cuya curva elíptica correspondiente tiene multiplicación compleja (es decir, si τ es cualquier elemento de un campo cuadrático imaginario con parte imaginaria positiva, de modo que j esté definido), entonces j ( τ ) es un entero algebraico . [3] Estos valores especiales se denominan módulos singulares .
La extensión de campo Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) es abeliana, es decir, tiene un grupo abeliano de Galois .
Sea Λ la red en C generada por {1, τ }. Es fácil ver que todos los elementos de Q ( τ ) que fijan Λ bajo la multiplicación forman un anillo con unidades, llamado orden . Las otras redes con generadores {1, τ ′ }, asociadas de igual manera al mismo orden definen los conjugados algebraicos j ( τ ′ ) de j ( τ ) sobre Q ( τ ) . Ordenado por inclusión, el orden máximo único en Q ( τ ) es el anillo de números enteros algebraicos de Q ( τ ) , y los valores de τ que lo tienen como orden asociado conducen a extensiones no ramificadas de Q ( τ ) .
En 1937, Theodor Schneider demostró el resultado antes mencionado de que si τ es un número irracional cuadrático en el semiplano superior, entonces j ( τ ) es un número entero algebraico. Además, demostró que si τ es un número algebraico pero no un cuadrático imaginario, entonces j ( τ ) es trascendental.
La función j tiene muchas otras propiedades trascendentales. Kurt Mahler conjeturó un resultado de trascendencia particular que a menudo se denomina conjetura de Mahler, aunque Yu lo demostró como corolario de los resultados. V. Nesterenko y Patrice Phillipon en los años 1990. La conjetura de Mahler era que si τ estaba en el semiplano superior, entonces e 2π iτ y j ( τ ) nunca fueron simultáneamente algebraicos. Ahora se conocen resultados más sólidos, por ejemplo, si e 2π iτ es algebraico, entonces los siguientes tres números son algebraicamente independientes y, por lo tanto, al menos dos de ellos son trascendentales:
Más notablemente, los coeficientes de Fourier para los exponentes positivos de q son las dimensiones de la parte graduada de una representación de álgebra graduada de dimensión infinita del grupo de monstruos llamado módulo de luz de luna ; específicamente, el coeficiente de q n es la dimensión del grado- n. parte del módulo moonshine, siendo el primer ejemplo el álgebra de Griess , que tiene dimensión 196,884, correspondiente al término 196884 q . Esta sorprendente observación, realizada por primera vez por John McKay , fue el punto de partida de la teoría del alcohol ilegal .
El estudio de la conjetura de Moonshine llevó a John Horton Conway y Simon P. Norton a observar las funciones modulares de género cero. Si están normalizados para tener la forma
luego John G. Thompson demostró que sólo hay un número finito de tales funciones (de algún nivel finito), y Chris J. Cummins demostró más tarde que hay exactamente 6486 de ellas, 616 de las cuales tienen coeficientes integrales. [6]
una relación de funciones theta de Jacobi θ m , y es el cuadrado del módulo elíptico k ( τ ) . [7] El valor de j no cambia cuando λ se reemplaza por cualquiera de los seis valores de la relación cruzada : [8]
Los puntos de ramificación de j están en {0, 1, ∞} , por lo que j es una función de Belyi . [9]
Hasta ahora hemos considerado j como función de una variable compleja. Sin embargo, como invariante para clases de isomorfismo de curvas elípticas, se puede definir de forma puramente algebraica. [10] Deja que
Ser una curva elíptica plana sobre cualquier campo . Luego podemos realizar transformaciones sucesivas para llevar la ecuación anterior a la forma estándar y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 (tenga en cuenta que esta transformación solo se puede realizar cuando la característica del campo no es igual a 2 o 3 ). Los coeficientes resultantes son:
donde gramo 2 = c 4 y gramo 3 = c 6 . También tenemos el discriminante.
La j -invariante para la curva elíptica ahora se puede definir como
En el caso de que el campo sobre el cual se define la curva tenga característica diferente a 2 o 3, esta es igual a
Función inversa
La función inversa de la j -invariante se puede expresar en términos de la función hipergeométrica 2 F 1 (ver también el artículo Ecuación de Picard-Fuchs ). Explícitamente, dado un número N , resolver la ecuación j ( τ ) = N para τ se puede hacer al menos de cuatro maneras.
Una raíz da τ y la otra da -1/τ, pero dado que j ( τ ) = j (−1/τ) , no importa qué α se elija. Los últimos tres métodos se pueden encontrar en la teoría de funciones elípticas de bases alternativas de Ramanujan .
La inversión se aplica en cálculos de alta precisión de períodos de funciones elípticas incluso cuando sus proporciones se vuelven ilimitadas. [ cita necesaria ] Un resultado relacionado es la expresabilidad mediante radicales cuadráticos de los valores de j en los puntos del eje imaginario cuyas magnitudes son potencias de 2 (permitiendo así construcciones con compás y regla ). Este último resultado es apenas evidente ya que la ecuación modular para j de orden 2 es cúbica. [11]
Aquí hay algunos valores especiales más [ cita necesaria ] dados en términos de la notación alternativa J ( τ ) ≡1/1728j ( τ ) , los primeros cinco bien conocidos:
No clasificar las curvas elípticas sobre otros campos
El invariante sólo es sensible a clases de isomorfismo de curvas elípticas sobre números complejos o, más generalmente, un campo algebraicamente cerrado . En otros campos existen ejemplos de curvas elípticas cuyo invariante es el mismo, pero no isomórfico. Por ejemplo, sean las curvas elípticas asociadas a los polinomios.
ambos tienen -invariante . Entonces, los puntos racionales de se pueden calcular como:
ya que no hay soluciones racionales con . Esto se puede demostrar utilizando la fórmula de Cardano para demostrar que en ese caso todas las soluciones son irracionales. Por otro lado, sobre el conjunto de puntos
la ecuación para se convierte en . Dividiendo por para eliminar la solución, la fórmula cuadrática da las soluciones racionales:
Si se consideran estas curvas , hay un isomorfismo que envía
Referencias
Notas
^ La igualdad se cumple si la media aritmético-geométrica de números complejos (tal que ) se define de la siguiente manera: Sea ,,, donde los signos se eligen de manera que para todos . Si , el signo se elige tal que . Entonces . Cuando son reales positivos (con ), esta definición coincide con la definición habitual de la media aritmético-geométrica para números reales positivos. Véase La media aritmético-geométrica de Gauss de David A. Cox .
Otro
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