Funciones trigonométricas inversas

Funciones inversas de sin, cos, tan, etc.

En matemáticas , las funciones trigonométricas inversas (ocasionalmente también llamadas funciones arcus , ^{[1] [2] [3] [4] [5]} funciones antitrigonométricas ^[6] o funciones ciclométricas ^{[7] [8] [9]} ) son las inversas funciones de las funciones trigonométricas (con dominios adecuadamente restringidos ). Específicamente, son las inversas de las funciones seno , coseno , tangente , cotangente , secante y cosecante , ^[10] y se utilizan para obtener un ángulo a partir de cualquiera de las razones trigonométricas del ángulo. Las funciones trigonométricas inversas se utilizan ampliamente en ingeniería , navegación , física y geometría .

Notación

Para un círculo de radio 1, arcosen y arccos son las longitudes de los arcos reales determinadas por las cantidades en cuestión.

Existen varias notaciones para las funciones trigonométricas inversas. La convención más común es nombrar funciones trigonométricas inversas usando un prefijo de arco: arcsin( x ) , arccos( x ) , arctan( x ) , etc. ^[6] (Esta convención se utiliza a lo largo de este artículo). Esta notación surge de las siguientes relaciones geométricas: ^{[ cita necesaria ]} al medir en radianes, un ángulo de θ radianes corresponderá a un arco cuya longitud es rθ , donde r es el radio del círculo. Así, en el círculo unitario , el coseno de la función x es tanto el arco como el ángulo, porque el arco de un círculo de radio 1 es el mismo que el ángulo. O bien, "el arco cuyo coseno es x " es lo mismo que "el ángulo cuyo coseno es x ", porque la longitud del arco del círculo en radios es la misma que la medida del ángulo en radianes. ^[11] En los lenguajes de programación de computadoras, las funciones trigonométricas inversas a menudo se denominan con las formas abreviadas asin , acos , atan . ^[12]

Las notaciones sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) , tan ⁻¹ ( x ) , etc., introducidas por John Herschel en 1813, ^{[13] [14]} también se utilizan a menudo en fuentes en inglés. , ^[6] mucho más que el también establecido sin ^[−1] ( x ) , cos ^[−1] ( x ) , tan ^[−1] ( x ) – convenciones consistentes con la notación de una función inversa , eso es útil (por ejemplo) para definir la versión multivalor de cada función trigonométrica inversa: Sin embargo, esto podría parecer entrar en conflicto lógicamente con la semántica común para expresiones como sin ² ( x ) (aunque sólo sin ² x , sin paréntesis, es la forma realmente común uso), que se refieren a la potencia numérica en lugar de la composición de funciones y, por lo tanto, pueden generar confusión entre la notación de la función recíproca ( inversa multiplicativa ) y la inversa . ^[15] ${\displaystyle \tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}~.}$

La confusión se ve mitigada en cierta medida por el hecho de que cada una de las funciones trigonométricas recíprocas tiene su propio nombre, por ejemplo, (cos( ​​x )) ⁻¹ = sec( x ) . Sin embargo, algunos autores desaconsejan su uso por ser ambiguo. ^{[6] [16]} Otra convención precaria utilizada por un pequeño número de autores es utilizar una primera letra mayúscula , junto con un superíndice " −1 ": Sin ⁻¹ ( x ) , Cos ⁻¹ ( x ) , Tan ⁻¹ ( x ) , etc. ^[17] Aunque se pretende evitar confusiones con el recíproco , que debería representarse por sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) , etc., o, mejor, por sin ⁻¹ x , cos ⁻¹ x , etc., esto a su vez crea otra fuente importante de ambigüedad, especialmente porque muchos lenguajes de programación populares de alto nivel (por ejemplo, Mathematica y MAGMA ) usan esas mismas representaciones en mayúscula para las funciones trigonométricas estándar, mientras que otros ( Python , SymPy , NumPy , Matlab , MAPLE , etc.) utilizan minúsculas.

Por lo tanto, desde 2009, la norma ISO 80000-2 especifica únicamente el prefijo "arco" para las funciones inversas.

Conceptos básicos

Los puntos etiquetados 1 , Sec( θ ) , Csc( θ ) representan la longitud del segmento de línea desde el origen hasta ese punto. Sin( θ ) , Tan( θ ) y 1 son las alturas de la línea que comienza desde el eje x , mientras que Cos( θ ) , 1 y Cot( θ ) son longitudes a lo largo del eje x comenzando desde el origen.

Valores principales

Dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas es uno a uno , deben restringirse para tener funciones inversas. Por lo tanto, los rangos de resultados de las funciones inversas son subconjuntos propios (es decir, estrictos) de los dominios de las funciones originales.

Por ejemplo, usando función en el sentido de funciones multivaluadas , así como la función de raíz cuadrada podría definirse a partir de la función se define de manera que Para un número real dado con hay múltiples (de hecho, infinitamente contables) números tales que ; por ejemplo, pero también, etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal . Con esta restricción, para cada uno en el dominio, la expresión se evaluará solo como un valor único, llamado valor principal . Estas propiedades se aplican a todas las funciones trigonométricas inversas. ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle y^{2}=x,}$ ${\displaystyle y=\arcsin(x)}$ ${\displaystyle \sin(y)=x.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \sin(y)=x}$ ${\displaystyle \sin(0)=0,}$ ${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \arcsin(x)}$

Los principales inversos se enumeran en la siguiente tabla.

Nota: Algunos autores ^{[ cita necesaria ]} definen el rango de arcosecante como , porque la función tangente no es negativa en este dominio. Esto hace que algunos cálculos sean más consistentes. Por ejemplo, usando este rango, mientras que con el rango , tendríamos que escribir ya que la tangente no es negativa pero no positiva. Por una razón similar, los mismos autores definen el rango de arcocosecante como o ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}})}$ ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},}$ ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi )}$ ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},}$ ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$ ${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

Dominios

Si se permite que sea un número complejo , entonces el rango de se aplica sólo a su parte real. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

La siguiente tabla muestra los nombres y dominios de las funciones trigonométricas inversas junto con el rango de sus valores principales habituales en radianes .

El símbolo denota el conjunto de todos los números reales y denota el conjunto de todos los números enteros . El conjunto de todos los múltiplos enteros de se denota por ${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.}$$

El símbolo denota resta de conjuntos de modo que, por ejemplo, es el conjunto de puntos (es decir, números reales) que no están en el intervalo. ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-1,1).}$

Ahora se explica la notación de suma de Minkowski que se usa anteriormente para escribir de manera concisa los dominios de . ${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$ ${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle \cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec }$

Dominio de cotangente y cosecante ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle \csc }$ : Los dominios de y son iguales. Son el conjunto de todos los ángulos en los que, es decir, todos los números reales que no tienen la forma de algún número entero. ${\displaystyle \,\cot \,}$ ${\displaystyle \,\csc \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta \neq 0,}$ ${\displaystyle \pi n}$ ${\displaystyle n,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

Dominio de tangente y secante ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \sec }$ : Los dominios de y son iguales. Son el conjunto de todos los ángulos en los que ${\displaystyle \,\tan \,}$ ${\displaystyle \,\sec \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta \neq 0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}}$$

Soluciones a ecuaciones trigonométricas elementales.

Cada una de las funciones trigonométricas es periódica en la parte real de su argumento, recorriendo todos sus valores dos veces en cada intervalo de ${\displaystyle 2\pi :}$

• El seno y la cosecante comienzan su período en (donde es un número entero), lo terminan en y luego se invierten hasta ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• El coseno y la secante comienzan su período en lo terminan en y luego se invierten hasta ${\displaystyle 2\pi k,}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi .}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi }$ ${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$
• La tangente comienza su período en, lo termina en y luego lo repite (hacia adelante) hasta ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Cotangente comienza su periodo en termina en y luego lo repite (hacia adelante) hasta ${\displaystyle 2\pi k,}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi ,}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi }$ ${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$

Esta periodicidad se refleja en las inversas generales, donde es algún número entero. ${\displaystyle k}$

La siguiente tabla muestra cómo se pueden usar funciones trigonométricas inversas para resolver igualdades que involucran las seis funciones trigonométricas estándar. Se supone que los valores dados y todos se encuentran dentro de rangos apropiados para que las expresiones relevantes a continuación estén bien definidas . Tenga en cuenta que "para algunos " es solo otra forma de decir "para algún número entero " ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k.}$

El símbolo es igualdad lógica e indica que si el lado izquierdo es verdadero, entonces también lo es el lado derecho y, a la inversa, si el lado derecho es verdadero, entonces también lo es el lado izquierdo (consulte esta nota al pie [nota ^1] para obtener más información). detalles y un ejemplo que ilustra este concepto). ${\displaystyle \,\iff \,}$

donde las primeras cuatro soluciones se pueden escribir en forma desarrollada como:

Por ejemplo, si entonces para algunos Mientras que si entonces para algunos donde será par si y será impar si Las ecuaciones y tienen las mismas soluciones que y respectivamente. En todas las ecuaciones anteriores, excepto las que se acaban de resolver (es decir, excepto / y / ), el número entero en la fórmula de la solución está determinado únicamente por (para fijo y ). ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ ${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sin \theta =1}$ ${\displaystyle \sin \theta =-1.}$ ${\displaystyle \sec \theta =-1}$ ${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sec \theta =-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r,s,x,}$ ${\displaystyle y}$

Con la ayuda de la paridad de enteros

$${\displaystyle \operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}}$$

${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\displaystyle \,\pm \,}$

${\displaystyle cos\;\theta =x\quad }$si y solo si para algunos ${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} .}$

Y de manera similar para la función secante,

${\displaystyle sec\;\theta =r\quad }$si y solo si para algunos ${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,}$

donde es igual cuando el número entero es par y es igual cuando es impar. ${\displaystyle \pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)}$ ${\displaystyle \pi h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi h+\pi }$

Ejemplo detallado y explicación del símbolo "más o menos" ±

Las soluciones involucran el símbolo "más o menos", cuyo significado ahora se aclara. Solo se discutirá la solución ya que la discusión es la misma. Estamos dados entre y sabemos que hay un ángulo en algún intervalo que satisface Queremos encontrar esto La tabla anterior indica que la solución es ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\displaystyle \sec \theta =x}$ ${\displaystyle \,\pm ,\,}$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\displaystyle \sec \theta =x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta =x.}$ ${\displaystyle \theta .}$

$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

1. ${\displaystyle \,\theta =\arccos x+2\pi k\,}$para algún número entero o ${\displaystyle k,}$
   
2. ${\displaystyle \,\theta =-\arccos x+2\pi k\,}$para algún número entero ${\displaystyle k.}$

Como se mencionó anteriormente, si (lo que por definición solo ocurre cuando ) entonces ambas declaraciones (1) y (2) se cumplen, aunque con diferentes valores para el número entero : si es el número entero de la declaración (1), lo que significa que se cumple, entonces el número entero porque el enunciado (2) es (porque ). Sin embargo, si entonces el número entero es único y está completamente determinado por If (lo que por definición sólo ocurre cuando ) entonces (porque y así en ambos casos es igual a ) y entonces las declaraciones (1) y (2) resultan ser idénticas en este caso particular (y por eso ambos son válidos). Habiendo considerado los casos , ahora nos centraremos en el caso en el que asumimos esto de ahora en adelante. La solución sigue siendo ${\displaystyle \,\arccos x=\pi \,}$ ${\displaystyle x=\cos \pi =-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta =\pi +2\pi K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K+1}$ ${\displaystyle \theta =-\pi +2\pi (1+K)}$ ${\displaystyle x\neq -1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta .}$ ${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$ ${\displaystyle x=\cos 0=1}$ ${\displaystyle \,\pm \arccos x=0\,}$ ${\displaystyle \,+\arccos x=+0=0\,}$ ${\displaystyle \,-\arccos x=-0=0\,}$ ${\displaystyle \,\pm \arccos x\,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$ ${\displaystyle \,\arccos x=\pi ,\,}$ ${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$ ${\displaystyle \,\arccos x\neq \pi ,\,}$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$

$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

exactamente unatodo ${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$ ${\displaystyle \,0<\arccos x<\pi ,\,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \,-\pi \leq \theta \leq \pi \,}$

$${\displaystyle \arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}}$$

${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,-\,}$

$${\displaystyle \theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.}$$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \,\pi /2\,}$ ${\displaystyle \,-\pi /2.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta =-\pi /2}$

Funciones trigonométricas iguales e idénticas

La siguiente tabla muestra cómo dos ángulos y deben estar relacionados si sus valores bajo una función trigonométrica dada son iguales o negativos entre sí. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

La doble flecha vertical en la última fila indica que y satisfacen si y sólo si satisfacen ${\displaystyle \Updownarrow }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|}$ ${\displaystyle \left|\cos \theta \right|=\left|\cos \varphi \right|.}$

Conjunto de todas las soluciones de ecuaciones trigonométricas elementales.

Así, dada una única solución a una ecuación trigonométrica elemental ( es una ecuación de este tipo, por ejemplo, y como siempre se cumple, siempre es una solución), el conjunto de todas las soluciones son: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta =y}$ ${\displaystyle \sin(\arcsin y)=y}$ ${\displaystyle \theta :=\arcsin y}$

Transformar ecuaciones

Las ecuaciones anteriores se pueden transformar utilizando las identidades de reflexión y desplazamiento: ^[18]

Estas fórmulas implican, en particular, que se cumple lo siguiente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}$$

donde swapping swapping y swapping dan las ecuaciones análogas para respectivamente. ${\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}$ ${\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}$ ${\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }$ ${\displaystyle \csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,}$

Entonces, por ejemplo, al usar la igualdad se puede transformar la ecuación , lo que permite usar la solución de la ecuación (donde ); esa solución es: que se convierte en: ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$ ${\displaystyle \;\sin \varphi =x\;}$ ${\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta }$ ${\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,}$

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

${\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}$ ${\displaystyle h:=-k}$ ${\displaystyle \;\cos \theta =x\;}$

$${\displaystyle \theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .}$$

${\displaystyle \;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;}$ ${\displaystyle \;\arccos x\;}$ ${\displaystyle \;\arcsin x.\;}$

Relaciones entre funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas de funciones trigonométricas inversas se tabulan a continuación. Una forma rápida de derivarlos es considerando la geometría de un triángulo rectángulo, con un lado de longitud 1 y otro lado de longitud y luego aplicando el teorema de Pitágoras y las definiciones de las razones trigonométricas. Vale la pena señalar que para la arcosecante y la arcocosecante, el diagrama supone que es positivo y, por lo tanto, el resultado debe corregirse mediante el uso de valores absolutos y la operación signum (sgn). ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$

Relaciones entre las funciones trigonométricas inversas

Los valores principales habituales de las funciones arcsin( x ) (rojo) y arccos( x ) (azul) graficados en el plano cartesiano.

Los valores principales habituales de las funciones arctan( x ) y arccot( x ) graficados en el plano cartesiano.

Valores principales de las funciones arcsec( x ) y arccsc( x ) graficadas en el plano cartesiano.

Ángulos complementarios:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}$

Argumentos negativos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}$

Argumentos recíprocos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}}$

Las identidades anteriores se pueden usar con (y derivar de) el hecho de que y son recíprocos (es decir ), como lo son y y y ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \csc }$ ${\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{\sin }}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sec ,}$ ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \cot .}$

Identidades útiles si solo se tiene un fragmento de una tabla de senos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

Siempre que aquí se utiliza la raíz cuadrada de un número complejo, elegimos la raíz con la parte real positiva (o parte imaginaria positiva si el cuadrado fuera real negativo).

Una forma útil que se deriva directamente de la tabla anterior es

${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}$.

Se obtiene reconociendo que . ${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}$

De la fórmula del medio ángulo , obtenemos: ${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$

Fórmula de suma arcangente

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}$

Esto se deriva de la fórmula de suma tangente

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}$

Dejando

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}$

en calculo

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Las derivadas para valores complejos de z son las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}$

Sólo para valores reales de x :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}$

Estas fórmulas se pueden derivar en términos de derivadas de funciones trigonométricas. Por ejemplo, si , entonces entonces ${\displaystyle x=\sin \theta }$ ${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Expresión como integrales definidas

Integrar la derivada y fijar el valor en un punto da una expresión para la función trigonométrica inversa como una integral definida:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

Cuando x es igual a 1, las integrales con dominios limitados son integrales impropias , pero aún están bien definidas.

Series infinitas

De manera similar a las funciones seno y coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden calcular usando series de potencias , de la siguiente manera. Para el arcoseno, la serie se puede derivar expandiendo su derivada, como una serie binomial , e integrando término por término (usando la definición integral como se indicó anteriormente). La serie del arcotangente se puede derivar de manera similar expandiendo su derivada en una serie geométrica y aplicando la definición integral anterior (ver Serie de Leibniz ). ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}$

Las series de las otras funciones trigonométricas inversas se pueden dar en términos de éstas de acuerdo con las relaciones dadas anteriormente. Por ejemplo, , y así sucesivamente. Otra serie está dada por: ^[19] ${\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}$

${\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Leonhard Euler encontró una serie para el arcotangente que converge más rápidamente que su serie de Taylor :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}$^[20]

(El término en la suma para n = 0 es el producto vacío , al igual que 1.)

Alternativamente, esto se puede expresar como

${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$

Otra serie para la función arcotangente está dada por

${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}$

¿ Dónde está la unidad imaginaria ? ^[21] ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Fracciones continuas para arcotangente

Dos alternativas a la serie de potencias para arcotangente son estas fracciones continuas generalizadas :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

El segundo de ellos es válido en el plano complejo de corte. Hay dos cortes, desde −i hasta el punto del infinito, bajando por el eje imaginario, y desde i hasta el punto del infinito, subiendo por el mismo eje. Funciona mejor para números reales que van de −1 a 1. Los denominadores parciales son los números naturales impares y los numeradores parciales (después del primero) son solo ( nz ) ² , y cada cuadrado perfecto aparece una vez. El primero fue desarrollado por Leonhard Euler ; el segundo por Carl Friedrich Gauss utilizando la serie hipergeométrica gaussiana .

Integrales indefinidas de funciones trigonométricas inversas

Para valores reales y complejos de z :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}$

De verdad x ≥ 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}$

Para todos los x reales que no estén entre -1 y 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}$

El valor absoluto es necesario para compensar los valores negativos y positivos de las funciones arcosecante y arcocosecante. La función signum también es necesaria debido a los valores absolutos en las derivadas de las dos funciones, que crean dos soluciones diferentes para valores positivos y negativos de x. Estos se pueden simplificar aún más utilizando las definiciones logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}$

El valor absoluto en el argumento de la función arcosh crea una mitad negativa de su gráfica, haciéndola idéntica a la función logarítmica signum que se muestra arriba.

Todas estas antiderivadas se pueden derivar mediante integración por partes y las formas derivadas simples que se muestran arriba.

Ejemplo

Usando (es decir, integración por partes ), establezca ${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,}$

que por simple sustitución se obtiene el resultado final: ${\displaystyle w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx}$

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

Extensión al plano complejo

Una superficie de Riemann para el argumento de la relación tan z = x . La hoja naranja en el medio es la hoja principal que representa arctan x . La hoja azul de arriba y la hoja verde de abajo están desplazadas 2 π y −2 π respectivamente.

Dado que las funciones trigonométricas inversas son funciones analíticas , se pueden extender desde la recta real al plano complejo. Esto da como resultado funciones con múltiples hojas y puntos de ramificación . Una posible forma de definir la extensión es:

${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}$

donde la parte del eje imaginario que no se encuentra estrictamente entre los puntos de ramificación (-i y +i) es la rama cortada entre la hoja principal y otras hojas. El camino de la integral no debe cruzar un corte de rama. Para z que no está en una rama cortada, una ruta en línea recta de 0 a z es dicha ruta. Para z en un corte de rama, la ruta debe acercarse desde Re[x] > 0 para el corte de rama superior y desde Re[x] < 0 para el corte de rama inferior.

La función arcoseno se puede definir entonces como:

${\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}$

donde (la función de raíz cuadrada tiene su corte a lo largo del eje real negativo y) la parte del eje real que no se encuentra estrictamente entre −1 y +1 es la rama cortada entre la hoja principal de arcosen y otras hojas;

${\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}$

que tiene el mismo corte que arcsin;

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}$

que tiene el mismo corte que arctan;

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

donde la parte del eje real entre −1 y +1 inclusive es el corte entre la lámina principal de arcsec y otras láminas;

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

que tiene el mismo corte que arcsec.

Formas logarítmicas

Estas funciones también se pueden expresar utilizando logaritmos complejos . Esto extiende sus dominios al plano complejo de forma natural. Las siguientes identidades para los valores principales de las funciones se mantienen en todos los lugares donde se definen, incluso en sus cortes de rama.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$

Generalización

Debido a que todas las funciones trigonométricas inversas generan un ángulo de un triángulo rectángulo, se pueden generalizar usando la fórmula de Euler para formar un triángulo rectángulo en el plano complejo. Algebraicamente, esto nos da:

${\displaystyle ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )}$

o

${\displaystyle ce^{i\theta }=a+ib}$

donde es el lado adyacente, es el lado opuesto y es la hipotenusa. Desde aquí podemos resolver . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)}$

Simplemente tomar la parte imaginaria funciona para cualquier valor real y , pero si o tiene un valor complejo, tenemos que usar la ecuación final para que la parte real del resultado no quede excluida. Dado que la longitud de la hipotenusa no cambia el ángulo, al ignorar la parte real de también se elimina de la ecuación. En la ecuación final, vemos que el ángulo del triángulo en el plano complejo se puede encontrar ingresando las longitudes de cada lado. Al establecer uno de los tres lados igual a 1 y uno de los lados restantes igual a nuestra entrada , obtenemos una fórmula para una de las funciones trigonométricas inversas, para un total de seis ecuaciones. Debido a que las funciones trigonométricas inversas requieren solo una entrada, debemos poner el lado final del triángulo en términos de los otros dos usando la relación del teorema de Pitágoras. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ln(a+bi)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

La siguiente tabla muestra los valores de a, b y c para cada una de las funciones trigonométricas inversas y las expresiones equivalentes que resultan de sustituir los valores en las ecuaciones anteriores y simplificar. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}}$

Para hacer coincidir la rama principal de las funciones logarítmicas naturales y de raíz cuadrada con la rama principal habitual de las funciones trigonométricas inversas, es importante la forma particular de la formulación simplificada. Las formulaciones dadas en las dos columnas de la derecha suponen y . Para hacer coincidir la rama principal y la rama principal habitual de las funciones trigonométricas inversas, reste del resultado cuando . ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (\theta )>\pi }$

En este sentido, todas las funciones trigonométricas inversas pueden considerarse casos específicos de la función logarítmica de valores complejos. Dado que estas definiciones funcionan para cualquier valor complejo , las definiciones permiten ángulos hiperbólicos como salidas y se pueden usar para definir aún más las funciones hiperbólicas inversas . Las pruebas elementales de las relaciones también pueden realizarse mediante la expansión a formas exponenciales de las funciones trigonométricas. ${\displaystyle z}$

Prueba de ejemplo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}}$

Usando la definición exponencial de seno y dejando ${\displaystyle \xi =e^{i\phi },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

(se elige la rama positiva)

${\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

Aplicaciones

Encontrar el ángulo de un triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo con lados relativos a un ángulo en el punto. ${\displaystyle A}$

Las funciones trigonométricas inversas son útiles cuando se intenta determinar los dos ángulos restantes de un triángulo rectángulo cuando se conocen las longitudes de los lados del triángulo. Recordando las definiciones de seno y coseno de triángulos rectángulos, se deduce que

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).}$

A menudo, la hipotenusa se desconoce y sería necesario calcularla antes de usar el arcoseno o el arcocoseno usando el teorema de Pitágoras : ¿dónde está la longitud de la hipotenusa? La arcangente resulta útil en esta situación, ya que no se necesita la longitud de la hipotenusa. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.}$

Por ejemplo, supongamos que un techo cae 8 pies y se extiende 20 pies. El techo forma un ángulo θ con la horizontal, donde θ se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}$

En informática e ingeniería.

Variante de dos argumentos del arcotangente

La función atan2 de dos argumentos calcula la arcotangente de y / x dados y y x , pero con un rango de (− π ,  π ]. En otras palabras, atan2( y ,  x ) es el ángulo entre el eje x positivo de un plano y el punto ( x ,  y ) en él, con signo positivo para los ángulos en el sentido contrario a las agujas del reloj (medio plano superior, y  > 0) y signo negativo para los ángulos en el sentido de las agujas del reloj (medio plano inferior, y  < 0). Se introdujo por primera vez en muchos lenguajes de programación informática, pero ahora también es común en otros campos de la ciencia y la ingeniería.

En términos de la función arctan estándar , es decir, con un rango de (-π/2,π/2), se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}}$

También es igual al valor principal del argumento del número complejo x  +  i y .

Esta versión limitada de la función anterior también se puede definir usando las fórmulas de medio ángulo tangente de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)}$

siempre que x  > 0 o y  ≠ 0. Sin embargo, esto falla si se dan x ≤ 0 e y = 0, por lo que la expresión no es adecuada para uso computacional.

El orden de los argumentos anterior ( y , x ) parece ser el más común y, en particular, se usa en estándares ISO como el lenguaje de programación C , pero algunos autores pueden usar la convención opuesta ( x , y ), por lo que se justifica cierta precaución. . Estas variaciones se detallan en atan2 .

Función arcangente con parámetro de ubicación

En muchas aplicaciones ^[22] la solución de la ecuación es acercarse lo más posible a un valor dado . La solución adecuada es producida por la función arcotangente modificada con el parámetro ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=\tan(y)}$ ${\displaystyle -\infty <\eta <\infty }$

${\displaystyle y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.}$

La función redondea al número entero más cercano. ${\displaystyle \operatorname {rni} }$

Precisión numérica

Para ángulos cercanos a 0 y π , el arcocoseno está mal condicionado , y lo mismo ocurre con el arcoseno para ángulos cercanos a − π /2 y π /2. Por lo tanto, las aplicaciones informáticas deben considerar la estabilidad de las entradas de estas funciones y la sensibilidad de sus cálculos, o utilizar métodos alternativos. ^[23]

Ver también

• Distribución arcoseno
• exsecante inversa
• versino inverso
• Funciones hiperbólicas inversas
• Lista de integrales de funciones trigonométricas inversas.
• Lista de identidades trigonométricas
• Funcion trigonometrica
• Funciones trigonométricas de matrices.

Notas

1. La expresión "LHS RHS" indica que ( a) el lado izquierdo (es decir, LHS) y el lado derecho (es decir, RHS) son ambos verdaderos, o (b) el lado izquierdo y el lado derecho son ambos falsos; no existe la opción (c) (por ejemplo, no es posible que la declaración LHS sea verdadera y simultáneamente que la declaración RHS sea falsa), porque de lo contrario no se habría escrito "LHS RHS". Para aclarar, supongamos que está escrito "LHS RHS", donde LHS (que abrevia lado izquierdo ) y RHS son afirmaciones que individualmente pueden ser verdaderas o falsas. Por ejemplo, si y son unos números dados y fijos y si se escribe lo siguiente: entonces LHS es el enunciado " ". Dependiendo de los valores específicos que tenga, esta declaración LHS puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, LHS es verdadero si y (porque en este caso ) pero LHS es falso si y (porque en este caso no es igual a ); De manera más general, LHS es falso si y De manera similar, RHS es la afirmación " para algunos ". La declaración RHS también puede ser verdadera o falsa (como antes, si la declaración RHS es verdadera o falsa depende de los valores específicos que tenga). El símbolo de igualdad lógica significa que (a) si la afirmación LHS es verdadera, entonces la afirmación RHS también es necesariamente verdadera y, además, (b) si la afirmación LHS es falsa, entonces la afirmación RHS también es necesariamente falsa. De manera similar, también significa que (c) si la declaración RHS es verdadera, entonces la declaración LHS también es necesariamente verdadera y, además, (d) si la declaración RHS es falsa, entonces la declaración LHS también es necesariamente falsa. ${\displaystyle \,\iff \,}$ ${\displaystyle \,\iff \,}$
   ${\displaystyle \,\iff \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \tan \theta =s\,\iff \,\theta =\arctan(s)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tan \theta =s}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \tan \theta =\tan 0=s}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle s=2}$ ${\displaystyle \tan \theta =\tan 0=s}$ ${\displaystyle s=2}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle s\neq 0.}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(s)+\pi k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \,\iff \,}$ ${\displaystyle \,\iff \,}$

Referencias

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Tangente inversa". MundoMatemático .