Fórmula de medio ángulo tangente

Relaciona la tangente de la mitad de un ángulo con funciones trigonométricas del ángulo completo.

En trigonometría , las fórmulas de medio ángulo tangente relacionan la tangente de la mitad de un ángulo con funciones trigonométricas del ángulo completo. ^[1]

Fórmulas

La tangente de medio ángulo es la proyección estereográfica del círculo que pasa por el punto formando un ángulo en radianes sobre la recta que pasa por los ángulos . Entre estas fórmulas se encuentran las siguientes: ${\textstyle \pi }$ ${\textstyle \pm {\frac {\pi }{2}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta \pm \theta )&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\eta \pm \tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1\mp \tan {\tfrac {1}{2}}\eta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {1}{\csc \theta +\cot \theta }},&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\tan \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ,&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]{\frac {1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[10pt]\end{aligned}}}$$

Identidades

De estos se pueden derivar identidades que expresan el seno, el coseno y la tangente como funciones de tangentes de semiángulos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}}$$

Pruebas

Pruebas algebraicas

Usando fórmulas de doble ángulo y la identidad pitagórica se obtiene ${\textstyle 1+\tan ^{2}\alpha =1{\big /}\cos ^{2}\alpha }$

$${\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \cos {\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha {\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}}$$

$${\displaystyle \cos \alpha =\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {\left(\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \right){\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}.}$$

Tomando el cociente de las fórmulas para seno y coseno se obtiene

$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}.}$$

Combinando la identidad pitagórica con la fórmula del doble ángulo para el coseno, ${\textstyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1,}$

reorganizando y tomando las raíces cuadradas se obtiene

$${\displaystyle \left|\sin \alpha \right|={\sqrt {\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}}$$

$${\displaystyle \left|\cos \alpha \right|={\sqrt {\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}}$$

que al dividirse da

$${\displaystyle \left|\tan \alpha \right|={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\left|\sin 2\alpha \right|}{1+\cos 2\alpha }}.}$$

Alternativamente,

$${\displaystyle \left|\tan \alpha \right|={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\left|\sin 2\alpha \right|}}.}$$

Resulta que los signos de valor absoluto en estas dos últimas fórmulas se pueden eliminar, independientemente del cuadrante en el que se encuentre α . Con o sin las barras de valor absoluto, estas fórmulas no se aplican cuando tanto el numerador como el denominador del lado derecho están cero.

Además, utilizando las fórmulas de suma y resta de ángulos tanto para el seno como para el coseno se obtiene:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\\sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b\end{aligned}}}$$

La suma por pares de las cuatro fórmulas anteriores produce:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(a+b)+\sin(a-b)\\[5mu]&\quad =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\[5mu]&\quad =2\sin a\cos b\\[15mu]&\cos(a+b)+\cos(a-b)\\[5mu]&\quad =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[5mu]&\quad =2\cos a\cos b\end{aligned}}}$$

Fijación y sustitución de rendimientos: ${\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(p+q)}$ ${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}(p-q)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin p+\sin q\\[5mu]&\quad =\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\\[15mu]&\cos p+\cos q\\[5mu]&\quad =\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\end{aligned}}}$$

Dividiendo la suma de los senos por la suma de los cosenos se llega a:

$${\displaystyle {\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}{2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}}=\tan {\tfrac {1}{2}}(p+q)}$$

Pruebas geométricas

Los lados de este rombo tienen longitud 1. El ángulo entre la línea horizontal y la diagonal mostrada es 1/2( a + b ) . Esta es una forma geométrica de probar la fórmula particular del medio ángulo tangente que dice tan1/2( a + b ) = (sen a + sin b ) / (cos a + cos b ) . Las fórmulas pecan1/2( a + b ) y cos1/2( a + b ) son las relaciones entre las distancias reales y la longitud de la diagonal.

Aplicando las fórmulas derivadas anteriormente a la figura del rombo de la derecha, se demuestra fácilmente que

$${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}.}$$

En el círculo unitario, la aplicación de lo anterior muestra que . Por semejanza de triángulos , ${\textstyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }$

$${\displaystyle {\frac {t}{\sin \varphi }}={\frac {1}{1+\cos \varphi }}.}$$

Resulta que

$${\displaystyle t={\frac {\sin \varphi }{1+\cos \varphi }}={\frac {\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{(1+\cos \varphi )(1-\cos \varphi )}}={\frac {1-\cos \varphi }{\sin \varphi }}.}$$

La sustitución de medio ángulo tangente en cálculo integral

Una prueba geométrica de la sustitución de medio ángulo tangente

En diversas aplicaciones de la trigonometría , resulta útil reescribir las funciones trigonométricas (como el seno y el coseno ) en términos de funciones racionales de una nueva variable . Estas identidades se conocen colectivamente como fórmulas de medio ángulo tangente debido a la definición de . Estas identidades pueden ser útiles en cálculo para convertir funciones racionales en seno y coseno en funciones de t para encontrar sus antiderivadas . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

Geométricamente, la construcción es la siguiente: para cualquier punto (cos φ , sen φ ) en el círculo unitario , dibuja la línea que pasa por él y el punto (−1, 0) . Este punto cruza el eje y en algún punto y = t . Se puede demostrar usando geometría simple que t = tan(φ/2) . La ecuación de la línea dibujada es y = (1 + x ) t . La ecuación para la intersección de la línea y el círculo es entonces una ecuación cuadrática que involucra t . Las dos soluciones a esta ecuación son (−1, 0) y (cos φ , sin φ ) . Esto nos permite escribir estas últimas como funciones racionales de t (las soluciones se dan a continuación).

El parámetro t representa la proyección estereográfica del punto (cos φ , sen φ ) sobre el eje y con el centro de proyección en (−1, 0) . Por lo tanto, las fórmulas de semiángulo tangente dan conversiones entre la coordenada estereográfica t en el círculo unitario y la coordenada angular estándar φ .

Entonces nosotros tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}$$

y

$${\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.}$$

Tanto esta expresión como la expresión se pueden resolver para . Al equipararlos se obtiene el arcotangente en términos del logaritmo natural. ${\displaystyle e^{i\varphi }}$ ${\displaystyle t=\tan(\varphi /2)}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \arctan t={\frac {-i}{2}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.}$$

En cálculo , la sustitución de medio ángulo tangente se utiliza para encontrar antiderivadas de funciones racionales de sen φ y  cos φ . Diferenciar da ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }$

$${\displaystyle {\frac {dt}{d\varphi }}={\tfrac {1}{2}}\sec ^{2}{\tfrac {1}{2}}\varphi ={\tfrac {1}{2}}(1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\varphi )={\tfrac {1}{2}}(1+t^{2})}$$

$${\displaystyle d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.}$$

Identidades hiperbólicas

Se puede jugar un juego totalmente análogo con las funciones hiperbólicas . Un punto en (la rama derecha de) una hipérbola está dado por  (cosh ψ , sinh ψ ) . Proyectar esto sobre el eje y desde el centro (−1, 0) da lo siguiente:

$${\displaystyle t=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ={\frac {\sinh \psi }{\cosh \psi +1}}={\frac {\cosh \psi -1}{\sinh \psi }}}$$

con las identidades

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh \psi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},&&\cosh \psi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \psi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth \psi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}$$

y

$${\displaystyle e^{\psi }={\frac {1+t}{1-t}},\qquad e^{-\psi }={\frac {1-t}{1+t}}.}$$

Encontrar ψ en términos de t conduce a la siguiente relación entre la tangente hiperbólica inversa y el logaritmo natural: ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$

$${\displaystyle 2\operatorname {artanh} t=\ln {\frac {1+t}{1-t}}.}$$

La sustitución de medio ángulo tangente hiperbólica en usos de cálculo

$${\displaystyle d\psi ={{2\,dt} \over {1-t^{2}}}\,.}$$

La función gudermanniana

Comparando las identidades hiperbólicas con las circulares, se observa que involucran las mismas funciones de t , simplemente permutadas. Si identificamos el parámetro t en ambos casos llegamos a una relación entre las funciones circulares y las hiperbólicas. Es decir, si

$${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }$$

entonces

$${\displaystyle \varphi =2\arctan {\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )}\equiv \operatorname {gd} \psi .}$$

donde gd( ψ ) es la función gudermanniana . La función Gudermanniana da una relación directa entre las funciones circulares y las hiperbólicas que no involucra números complejos. Las descripciones anteriores de las fórmulas del semiángulo tangente (proyección del círculo unitario y la hipérbola estándar sobre el eje y ) dan una interpretación geométrica de esta función.

Valores racionales y ternas pitagóricas

Comenzando con un triángulo pitagórico con longitudes de lados a , b y c que son enteros positivos y satisfacen a ² + b ² = c ² , se deduce inmediatamente que cada ángulo interior del triángulo tiene valores racionales para el seno y el coseno, porque estos son solo razones de longitudes de lados. Así, cada uno de estos ángulos tiene un valor racional para su semiángulo tangente, usando tan φ /2 = sin φ / (1 + cos φ ) .

Lo contrario también es cierto. Si hay dos ángulos positivos que suman 90°, cada uno con un medio ángulo tangente racional, y el tercer ángulo es un ángulo recto, entonces un triángulo con estos ángulos interiores se puede escalar a un triángulo pitagórico. Si no se requiere que el tercer ángulo sea un ángulo recto, pero es el ángulo que hace que los tres ángulos positivos sumen 180°, entonces el tercer ángulo necesariamente tendrá un número racional para su medio ángulo tangente cuando los dos primeros lo sean (usando fórmulas de suma y resta de ángulos para tangentes) y el triángulo se puede escalar a un triángulo heroniano .

Generalmente, si K es un subcampo de los números complejos, entonces tan φ /2 ∈ K ∪ {∞} implica que {sin φ , cos φ , tan φ , sec φ , csc φ , cot φ } ⊆ K ∪ {∞} .

Ver también

• Portal de matemáticas

• Lista de identidades trigonométricas
• Fórmula de medio lado

enlaces externos

• Tangente de ángulo reducido a la mitad en Planetmath

Referencias

1. Matemáticas . Estados Unidos, Actividad de apoyo a la gestión del programa de educación y capacitación NAVEDTRA [es decir, naval], 1989. 6-19.