En matemáticas , la geometría proyectiva es el estudio de las propiedades geométricas que son invariantes con respecto a las transformaciones proyectivas . Esto significa que, en comparación con la geometría euclidiana elemental , la geometría proyectiva tiene un escenario diferente, un espacio proyectivo y un conjunto selectivo de conceptos geométricos básicos. Las intuiciones básicas son que el espacio proyectivo tiene más puntos que el espacio euclidiano , para una dimensión dada, y que se permiten transformaciones geométricas que transformen los puntos extra (llamados " puntos en el infinito ") en puntos euclidianos, y viceversa.
Las propiedades significativas para la geometría proyectiva son respetadas por esta nueva idea de transformación, que es más radical en sus efectos de lo que puede expresarse mediante una matriz de transformación y traslaciones (las transformaciones afines ). La primera cuestión para los geómetras es qué tipo de geometría es adecuada para una situación nueva. A diferencia de la geometría euclidiana , el concepto de ángulo no se aplica en la geometría proyectiva, porque ninguna medida de ángulo es invariante con respecto a las transformaciones proyectivas, como se ve en el dibujo en perspectiva desde una perspectiva cambiante. De hecho, una fuente de geometría proyectiva fue la teoría de la perspectiva. Otra diferencia con la geometría elemental es la forma en que se puede decir que las líneas paralelas se encuentran en un punto en el infinito , una vez que el concepto se traduce a los términos de la geometría proyectiva. Una vez más, esta noción tiene una base intuitiva, como las vías del tren que se encuentran en el horizonte en un dibujo en perspectiva. Consulte Plano proyectivo para conocer los conceptos básicos de la geometría proyectiva en dos dimensiones.
Si bien las ideas estaban disponibles antes, la geometría proyectiva fue principalmente un desarrollo del siglo XIX. Esto incluía la teoría del espacio proyectivo complejo , siendo las coordenadas utilizadas ( coordenadas homogéneas ) números complejos. Varios tipos importantes de matemáticas más abstractas (incluida la teoría invariante , la escuela italiana de geometría algebraica y el programa Erlangen de Felix Klein que dio como resultado el estudio de los grupos clásicos ) fueron motivados por la geometría proyectiva. También fue un tema con muchos practicantes por sí mismo, como la geometría sintética . Otro tema que se desarrolló a partir de estudios axiomáticos de geometría proyectiva es la geometría finita .
El tema de la geometría proyectiva ahora se divide en muchos subtemas de investigación, dos ejemplos de los cuales son la geometría algebraica proyectiva (el estudio de variedades proyectivas ) y la geometría diferencial proyectiva (el estudio de invariantes diferenciales de las transformaciones proyectivas).
La geometría proyectiva es una forma elemental de geometría no métrica , lo que significa que no admite ningún concepto de distancia. En dos dimensiones se inicia con el estudio de configuraciones de puntos y rectas . Desargues y otros establecieron por primera vez que existe cierto interés geométrico en este entorno disperso en su exploración de los principios del arte en perspectiva . [1] En espacios de dimensiones superiores se consideran hiperplanos (que siempre se encuentran) y otros subespacios lineales, que exhiben el principio de dualidad. La ilustración más simple de la dualidad se encuentra en el plano proyectivo, donde las afirmaciones "dos puntos distintos determinan una línea única" (es decir, la línea que los atraviesa) y "dos líneas distintas determinan un punto único" (es decir, su punto de intersección) muestran lo mismo. estructura como proposiciones. La geometría proyectiva también puede verse como una geometría de construcciones con una sola regla . [2] Dado que la geometría proyectiva excluye las construcciones de compás , no hay círculos, ángulos, medidas, paralelos ni concepto de intermediación (o "intermediación"). [3] Se comprendió que los teoremas que sí se aplican a la geometría proyectiva son enunciados más simples. Por ejemplo, las diferentes secciones cónicas son todas equivalentes en geometría proyectiva (compleja), y algunos teoremas sobre círculos pueden considerarse casos especiales de estos teoremas generales.
A principios del siglo XIX, el trabajo de Jean-Victor Poncelet , Lazare Carnot y otros establecieron la geometría proyectiva como un campo independiente de las matemáticas . [3] Sus rigurosos fundamentos fueron abordados por Karl von Staudt y perfeccionados por los italianos Giuseppe Peano , Mario Pieri , Alessandro Padoa y Gino Fano durante finales del siglo XIX. [4] La geometría proyectiva, al igual que la geometría afín y euclidiana , también puede desarrollarse a partir del programa Erlangen de Felix Klein; La geometría proyectiva se caracteriza por invariantes bajo transformaciones del grupo proyectivo .
Después de mucho trabajo sobre la gran cantidad de teoremas en el tema, se entendieron los conceptos básicos de la geometría proyectiva. La estructura de incidencia y la relación cruzada son invariantes fundamentales bajo transformaciones proyectivas. La geometría proyectiva se puede modelar mediante el plano afín (o espacio afín) más una línea (hiperplano) "en el infinito" y luego tratar esa línea (o hiperplano) como "ordinaria". [5] Un modelo algebraico para hacer geometría proyectiva al estilo de la geometría analítica está dado por coordenadas homogéneas. [6] [7] Por otro lado, los estudios axiomáticos revelaron la existencia de planos no desarguesianos , ejemplos para mostrar que los axiomas de incidencia pueden ser modelados (sólo en dos dimensiones) mediante estructuras no accesibles al razonamiento a través de sistemas de coordenadas homogéneos.
En un sentido fundamental, la geometría proyectiva y la geometría ordenada son elementales, ya que cada una implica un conjunto mínimo de axiomas y cualquiera de ellas puede usarse como base para la geometría afín y euclidiana . [8] [9] La geometría proyectiva no está "ordenada" [3] y, por lo tanto, es una base distinta para la geometría.
Las primeras propiedades geométricas de carácter proyectivo fueron descubiertas durante el siglo III por Pappus de Alejandría . [3] Filippo Brunelleschi (1404-1472) comenzó a investigar la geometría de la perspectiva durante 1425 [10] (ver Perspectiva (gráfica) § Historia para una discusión más detallada del trabajo en bellas artes que motivó gran parte del desarrollo de la geometría proyectiva. ). Johannes Kepler (1571-1630) y Girard Desargues (1591-1661) desarrollaron de forma independiente el concepto de "punto en el infinito". [11] Desargues desarrolló una forma alternativa de construir dibujos en perspectiva generalizando el uso de puntos de fuga para incluir el caso en que estos están infinitamente lejos. Hizo de la geometría euclidiana , donde las líneas paralelas son verdaderamente paralelas, un caso especial de sistema geométrico que lo abarca todo. El estudio de Desargues sobre las secciones cónicas llamó la atención de Blaise Pascal, de 16 años, y le ayudó a formular el teorema de Pascal . Los trabajos de Gaspard Monge de finales del siglo XVIII y principios del XIX fueron importantes para el desarrollo posterior de la geometría proyectiva. El trabajo de Desargues fue ignorado hasta que Michel Chasles encontró una copia manuscrita en 1845. Mientras tanto, Jean-Victor Poncelet había publicado el tratado fundacional sobre geometría proyectiva en 1822. Poncelet examinó las propiedades proyectivas de los objetos (aquellos invariantes bajo proyección central) y, al basar su teoría en el polo concreto y la relación polar con respecto a un círculo, estableció una relación entre propiedades métricas y proyectivas. Finalmente se demostró que las geometrías no euclidianas descubiertas poco después tenían modelos, como el modelo de Klein del espacio hiperbólico , relacionados con la geometría proyectiva.
En 1855 AF Möbius escribió un artículo sobre permutaciones, ahora llamadas transformaciones de Möbius , de círculos generalizados en el plano complejo . Estas transformaciones representan proyectividades de la línea proyectiva compleja . En el estudio de las líneas en el espacio, Julius Plücker utilizó coordenadas homogéneas en su descripción, y el conjunto de líneas fue visto en la cuádrica de Klein , una de las primeras contribuciones de la geometría proyectiva a un nuevo campo llamado geometría algebraica , una rama de la geometría analítica . con ideas proyectivas.
La geometría proyectiva fue fundamental en la validación de las especulaciones de Lobachevski y Bolyai sobre la geometría hiperbólica al proporcionar modelos para el plano hiperbólico : [12] por ejemplo, el modelo del disco de Poincaré donde los círculos generalizados perpendiculares al círculo unitario corresponden a "líneas hiperbólicas" ( geodésicas) . ), y las "traducciones" de este modelo se describen mediante transformaciones de Möbius que asignan el disco unitario a sí mismo. La distancia entre puntos viene dada por una métrica de Cayley-Klein , que se sabe que es invariante según las traslaciones, ya que depende de la relación cruzada , una invariante proyectiva clave. Las traducciones se describen de diversas formas como isometrías en la teoría del espacio métrico , formalmente como transformaciones fraccionarias lineales y como transformaciones lineales proyectivas del grupo lineal proyectivo , en este caso SU(1, 1) .
El trabajo de Poncelet , Jakob Steiner y otros no pretendía ampliar la geometría analítica. Se suponía que las técnicas eran sintéticas : de hecho, el espacio proyectivo tal como se entiende ahora debía introducirse axiomáticamente. Como resultado, reformular los primeros trabajos en geometría proyectiva para que satisfagan los estándares de rigor actuales puede resultar algo difícil. Incluso en el caso del plano proyectivo únicamente, el enfoque axiomático puede dar como resultado modelos que no se pueden describir mediante álgebra lineal .
Este período de la geometría fue superado por la investigación sobre la curva algebraica general realizada por Clebsch , Riemann , Max Noether y otros, que ampliaron las técnicas existentes, y luego por la teoría invariante . Hacia finales de siglo, la escuela italiana de geometría algebraica ( Enriques , Segre , Severi ) rompió con la materia tradicional hacia un área que exigía técnicas más profundas.
Durante la última parte del siglo XIX, el estudio detallado de la geometría proyectiva se puso menos de moda, aunque la literatura es voluminosa. Schubert realizó algunos trabajos importantes en geometría enumerativa en particular, que ahora se considera que anticipa la teoría de las clases de Chern , considerada como representante de la topología algebraica de los Grassmannianos .
Posteriormente, la geometría proyectiva resultó clave para la invención de la mecánica cuántica por parte de Paul Dirac . A un nivel fundamental, el descubrimiento de que las mediciones cuánticas podían no conmutar había perturbado y disuadido a Heisenberg , pero estudios anteriores de planos proyectivos sobre anillos no conmutativos probablemente habían insensibilizado a Dirac. En trabajos más avanzados, Dirac utilizó extensos dibujos en geometría proyectiva para comprender el significado intuitivo de sus ecuaciones, antes de redactar su trabajo en un formalismo exclusivamente algebraico. [13]
La geometría proyectiva es menos restrictiva que la geometría euclidiana o la geometría afín . Es una geometría intrínsecamente no métrica , lo que significa que los hechos son independientes de cualquier estructura métrica. Bajo las transformaciones proyectivas, se conservan la estructura de incidencia y la relación de conjugados armónicos proyectivos . Un rango proyectivo es la base unidimensional. La geometría proyectiva formaliza uno de los principios centrales del arte de la perspectiva: que las líneas paralelas se encuentran en el infinito y, por lo tanto, se dibujan de esa manera. En esencia, se puede pensar en una geometría proyectiva como una extensión de la geometría euclidiana en la que la "dirección" de cada línea se incluye dentro de la línea como un "punto" adicional, y en la que se crea un "horizonte" de direcciones correspondientes a líneas coplanares. se considera una "línea". Así, dos líneas paralelas se encuentran en una línea del horizonte en virtud de que incorporan la misma dirección.
Las direcciones idealizadas se denominan puntos en el infinito, mientras que los horizontes idealizados se denominan líneas en el infinito. A su vez, todas estas líneas se encuentran en el plano del infinito. Sin embargo, el infinito es un concepto métrico, por lo que una geometría puramente proyectiva no selecciona ningún punto, línea o plano en este sentido; los que están en el infinito se tratan como cualquier otro.
Debido a que una geometría euclidiana está contenida dentro de una geometría proyectiva (y la geometría proyectiva tiene una base más simple), los resultados generales de la geometría euclidiana pueden derivarse de una manera más transparente, donde teoremas separados pero similares de la geometría euclidiana pueden manejarse colectivamente dentro del marco de la geometría proyectiva. geometría. Por ejemplo, no es necesario tratar las líneas paralelas y no paralelas como casos separados; más bien, se selecciona un plano proyectivo arbitrario como plano ideal y se ubica "en el infinito" utilizando coordenadas homogéneas .
Propiedades adicionales de fundamental importancia incluyen el teorema de Desargues y el teorema de Pappus . En espacios proyectivos de dimensión 3 o mayor existe una construcción que permite demostrar el Teorema de Desargues . Pero para la dimensión 2, debe postularse por separado.
Utilizando el teorema de Desargues , combinado con los demás axiomas, es posible definir las operaciones básicas de la aritmética, geométricamente. Las operaciones resultantes satisfacen los axiomas de un campo, excepto que la conmutatividad de la multiplicación requiere el teorema del hexágono de Pappus . Como resultado, los puntos de cada línea están en correspondencia uno a uno con un campo dado, F , complementado por un elemento adicional, ∞, tal que r ⋅ ∞ = ∞ , −∞ = ∞ , r + ∞ = ∞ , r / 0 = ∞ , r / ∞ = 0 , ∞ − r = r − ∞ = ∞ , excepto que 0 / 0 , ∞ / ∞ , ∞ + ∞ , ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ y ∞ ⋅ 0 permanecen sin definir .
La geometría proyectiva también incluye una teoría completa de las secciones cónicas , tema también ampliamente desarrollado en la geometría euclidiana. Hay ventajas en poder pensar en una hipérbola y una elipse distinguiéndolas sólo por la forma en que la hipérbola cruza la línea en el infinito ; y que una parábola se distingue sólo por ser tangente a la misma recta. Toda la familia de círculos puede considerarse como cónicas que pasan por dos puntos dados de la recta en el infinito , a costa de requerir coordenadas complejas . Dado que las coordenadas no son "sintéticas", se reemplazan fijando una línea y dos puntos en ella, y considerando el sistema lineal de todas las cónicas que pasan por esos puntos como el objeto básico de estudio. Este método resultó muy atractivo para los geómetras talentosos y el tema se estudió a fondo. Un ejemplo de este método es el tratado en varios volúmenes de HF Baker .
Hay muchas geometrías proyectivas, que pueden dividirse en discretas y continuas: una geometría discreta comprende un conjunto de puntos, que pueden ser finitos o no , mientras que una geometría continua tiene infinitos puntos sin espacios intermedios.
La única geometría proyectiva de dimensión 0 es un punto único. Una geometría proyectiva de dimensión 1 consta de una sola línea que contiene al menos 3 puntos. La construcción geométrica de operaciones aritméticas no se puede realizar en ninguno de estos casos. Para la dimensión 2, existe una estructura rica en virtud de la ausencia del teorema de Desargues .
La geometría proyectiva bidimensional más pequeña (la que tiene menos puntos) es el plano de Fano , que tiene 3 puntos en cada línea, con 7 puntos y 7 líneas en total, teniendo las siguientes colinealidades:
con coordenadas homogéneas A = (0,0,1) , B = (0,1,1) , C = (0,1,0) , D = (1,0,1) , E = (1,0, 0) , F = (1,1,1) , G = (1,1,0) , o, en coordenadas afines, A = (0,0) , B = (0,1) , C = (∞) , D = (1,0) , E = (0) , F = (1,1) y G = (1) . Las coordenadas afines en un plano desarguesiano para los puntos designados como puntos en el infinito (en este ejemplo: C, E y G) se pueden definir de varias otras maneras.
En notación estándar, una geometría proyectiva finita se escribe PG( a , b ) donde:
Por lo tanto, el ejemplo que tiene solo 7 puntos se escribe PG(2, 2) .
El término "geometría proyectiva" se utiliza a veces para indicar la geometría abstracta subyacente generalizada y, a veces, para indicar una geometría particular de amplio interés, como la geometría métrica del espacio plano que analizamos mediante el uso de coordenadas homogéneas , y en la que las euclidianas La geometría puede estar incrustada (de ahí su nombre, plano euclidiano extendido ).
La propiedad fundamental que distingue a todas las geometrías proyectivas es la propiedad de incidencia elíptica de que dos líneas distintas L y M en el plano proyectivo se cruzan exactamente en un punto P. El caso especial en geometría analítica de líneas paralelas se incluye en la forma más suave de una línea en el infinito en la que se encuentra P. La línea en el infinito es, pues, una línea como cualquier otra en la teoría: no es en modo alguno especial ni distinguida. (En el espíritu posterior del programa de Erlangen se podría señalar la forma en que el grupo de transformaciones puede mover cualquier línea hasta la línea del infinito ).
Las propiedades paralelas de las geometrías elíptica, euclidiana e hiperbólica contrastan de la siguiente manera:
La propiedad paralela de la geometría elíptica es la idea clave que conduce al principio de dualidad proyectiva, posiblemente la propiedad más importante que todas las geometrías proyectivas tienen en común.
En 1825, Joseph Gergonne observó el principio de dualidad que caracteriza la geometría plana proyectiva: dado cualquier teorema o definición de esa geometría, sustituir punto por línea , mentira por paso , colineal por concurrente , intersección por unión , o viceversa, da como resultado otra Teorema o definición válida, la "dual" de la primera. De manera similar, en 3 dimensiones, la relación de dualidad se mantiene entre puntos y planos, lo que permite transformar cualquier teorema intercambiando punto y plano , está contenido por y contiene . De manera más general, para espacios proyectivos de dimensión N, existe una dualidad entre los subespacios de dimensión R y la dimensión N − R − 1 . Para N = 2 , esto se especializa en la forma de dualidad más comúnmente conocida: la que existe entre puntos y líneas. El principio de dualidad también fue descubierto de forma independiente por Jean-Victor Poncelet .
Establecer la dualidad sólo requiere establecer teoremas que son las versiones duales de los axiomas para la dimensión en cuestión. Por lo tanto, para espacios tridimensionales, es necesario demostrar que (1*) cada punto se encuentra en 3 planos distintos, (2*) cada dos planos se cruzan en una línea única y una versión dual de (3*) al efecto: si la intersección de los planos P y Q es coplanar con la intersección de los planos R y S, entonces también lo son las respectivas intersecciones de los planos P y R, Q y S (suponiendo que los planos P y S sean distintos de Q y R).
En la práctica, el principio de dualidad nos permite establecer una correspondencia dual entre dos construcciones geométricas. El más famoso de ellos es la polaridad o reciprocidad de dos figuras en una curva cónica (en 2 dimensiones) o una superficie cuádrica (en 3 dimensiones). Un ejemplo común se encuentra en el movimiento alternativo de un poliedro simétrico en una esfera concéntrica para obtener el poliedro dual.
Otro ejemplo es el teorema de Brianchon , dual del ya mencionado teorema de Pascal , y una de cuyas demostraciones consiste simplemente en aplicar el principio de dualidad al de Pascal. A continuación se presentan enunciados comparativos de estos dos teoremas (en ambos casos dentro del marco del plano proyectivo):
Cualquier geometría dada puede deducirse a partir de un conjunto apropiado de axiomas . Las geometrías proyectivas se caracterizan por el axioma del "paralelo elíptico", según el cual dos planos cualesquiera siempre se encuentran en una sola línea , o en el plano, dos líneas cualesquiera siempre se encuentran en un solo punto . En otras palabras, no existen líneas o planos paralelos en la geometría proyectiva.
Se han propuesto muchos conjuntos alternativos de axiomas para la geometría proyectiva (ver, por ejemplo, Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).
Estos axiomas se basan en Whitehead , "Los axiomas de la geometría proyectiva". Hay dos tipos, puntos y líneas, y una relación de "incidencia" entre puntos y líneas. Los tres axiomas son:
La razón por la que se supone que cada línea contiene al menos 3 puntos es para eliminar algunos casos degenerados. Los espacios que satisfacen estos tres axiomas tienen como máximo una línea, o son espacios proyectivos de alguna dimensión sobre un anillo de división , o son planos no desarguesianos .
Se pueden agregar más axiomas que restrinjan la dimensión o el anillo de coordenadas. Por ejemplo, la Geometría proyectiva de Coxeter , [14] hace referencia a Veblen [15] en los tres axiomas anteriores, junto con otros cinco axiomas que hacen que la dimensión 3 y el anillo de coordenadas sean un campo conmutativo de característica, no 2.
Se puede perseguir la axiomatización postulando una relación ternaria, [ABC] para indicar cuando tres puntos (no todos necesariamente distintos) son colineales. También se puede escribir una axiomatización en términos de esta relación:
Para dos puntos distintos, A y B, la línea AB se define como compuesta por todos los puntos C para los cuales [ABC]. Los axiomas C0 y C1 proporcionan entonces una formalización de G2; C2 para G1 y C3 para G3.
El concepto de línea se generaliza a planos y subespacios de dimensiones superiores. Por lo tanto, un subespacio, AB...XY puede definirse recursivamente en términos del subespacio AB...X como aquel que contiene todos los puntos de todas las líneas YZ, ya que Z se extiende sobre AB...X. La colinealidad luego se generaliza a la relación de "independencia". Un conjunto {A, B, ..., Z} de puntos es independiente, [AB...Z] si {A, B, ..., Z} es un subconjunto generador mínimo para el subespacio AB...Z .
Los axiomas proyectivos pueden complementarse con otros axiomas que postulen límites a la dimensión del espacio. La dimensión mínima está determinada por la existencia de un conjunto independiente del tamaño requerido. Para las dimensiones más bajas, las condiciones relevantes pueden expresarse de forma equivalente como sigue. Un espacio proyectivo es de:
La dimensión máxima también puede determinarse de manera similar. Para las dimensiones más bajas, adoptan las siguientes formas. Un espacio proyectivo es de:
etcétera. Es un teorema general (una consecuencia del axioma (3)) que todas las líneas coplanares se cruzan, el mismo principio que originalmente se pretendía encarnar la geometría proyectiva. Por lo tanto, la propiedad (M3) puede expresarse de manera equivalente: todas las líneas se cortan entre sí.
Generalmente se supone que los espacios proyectivos tienen al menos dimensión 2. En algunos casos, si la atención se centra en planos proyectivos, se puede postular una variante de M3. Los axiomas de (Eves 1997: 111), por ejemplo, incluyen (1), (2), (L3) y (M3). El axioma (3) se vuelve vagamente cierto bajo (M3) y, por lo tanto, no es necesario en este contexto.
En geometría de incidencia , la mayoría de los autores [16] dan un tratamiento que abarca el plano de Fano PG(2, 2) como el plano proyectivo finito más pequeño. Un sistema de axiomas que logra esto es el siguiente:
La Introducción a la geometría de Coxeter [17] ofrece una lista de cinco axiomas para un concepto más restrictivo de plano proyectivo que se atribuye a Bachmann, agregando el teorema de Pappus a la lista de axiomas anterior (que elimina los planos no desarguesianos ) y excluyendo los planos proyectivos sobre campos de característica 2 (los que no satisfacen el axioma de Fano ). Los planos restringidos dados de esta manera se parecen más al plano proyectivo real .
Dados tres puntos no colineales , hay tres líneas que los conectan, pero con cuatro puntos, no tres colineales, hay seis líneas que los conectan y tres "puntos diagonales" adicionales determinados por sus intersecciones. La ciencia de la geometría proyectiva capta este excedente determinado por cuatro puntos a través de una relación cuaternaria y las proyectividades que preservan la configuración completa del cuadrilátero .
Un cuádruple armónico de puntos sobre una recta se produce cuando hay un cuadrilátero completo dos de cuyos puntos diagonales están en la primera y tercera posición del cuádruple, y las otras dos posiciones son puntos de las rectas que unen dos puntos del cuadrilátero por el tercer punto de la diagonal. . [18]
Una perspectiva espacial de una configuración proyectiva en un plano produce dicha configuración en otro, y esto se aplica a la configuración del cuadrilátero completo. Así, la perspectiva preserva los cuádruples armónicos. Si una perspectiva sigue a otra, las configuraciones se suceden. La composición de dos perspectivas ya no es una perspectiva, sino una proyectividad .
Si bien todos los puntos correspondientes de una perspectiva convergen en un punto, esta convergencia no es cierta para una proyectividad que no es una perspectiva. En geometría proyectiva, la intersección de líneas formadas por puntos correspondientes de una proyectividad en un plano es de particular interés. El conjunto de tales intersecciones se denomina cónica proyectiva y, en reconocimiento al trabajo de Jakob Steiner , se la denomina cónica de Steiner .
Supongamos que una proyectividad está formada por dos perspectivas centradas en los puntos A y B , relacionando x con X mediante un intermediario p :
Entonces , dada la proyectividad, la cónica inducida es
Dada una cónica C y un punto P que no está en ella, dos rectas secantes distintas que pasan por P cortan a C en cuatro puntos. Estos cuatro puntos determinan un cuadrilátero del cual P es un punto diagonal. La línea que pasa por los otros dos puntos diagonales se llama polar de P y P es el polo de esta línea. [19] Alternativamente, la línea polar de P es el conjunto de conjugados armónicos proyectivos de P en una línea secante variable que pasa por P y C.
