En geometría , un polo y una polar son respectivamente un punto y una recta que tienen una relación recíproca única con respecto a una sección cónica determinada .
La reciprocidad polar en un círculo dado es la transformación de cada punto del plano en su línea polar y de cada línea del plano en su polo.
Polo y polar tienen varias propiedades útiles:
El polo de una recta L en un círculo C es un punto Q que es la inversión en C del punto P en L que está más cerca del centro del círculo. Por el contrario, la línea polar (o polar ) de un punto Q en un círculo C es la línea L tal que su punto P más cercano al centro del círculo es la inversión de Q en C.
La relación entre polos y polares es recíproca. Por lo tanto, si un punto A se encuentra en la línea polar q de un punto Q , entonces el punto Q debe estar en la línea polar a del punto A. Las dos líneas polares a y q no necesitan ser paralelas.
Existe otra descripción de la línea polar de un punto P en el caso de que se encuentre fuera del círculo C. En este caso, hay dos líneas que pasan por P que son tangentes al círculo , y la polar de P es la línea que une los dos puntos de tangencia (no se muestra aquí). Esto muestra que polo y línea polar son conceptos en la geometría proyectiva del plano y se generalizan con cualquier cónica no singular en el lugar del círculo C.
Los conceptos de polo y su línea polar fueron avanzados en geometría proyectiva . Por ejemplo, la línea polar puede verse como el conjunto de conjugados armónicos proyectivos de un punto dado, el polo, con respecto a una cónica. La operación de sustituir cada punto por su polar y viceversa se conoce como polaridad.
Una polaridad es una correlación que también es una involución .
Para algún punto P y su p polar , cualquier otro punto Q en p es el polo de una línea q que pasa por P. Esta comprende una relación recíproca y es aquella en la que se preservan las incidencias. [1]
Los conceptos de polo, polar y reciprocidad se pueden generalizar desde las circunferencias hasta otras secciones cónicas que son la elipse , la hipérbola y la parábola . Esta generalización es posible porque las secciones cónicas resultan de la reciprocidad de un círculo en otro círculo, y las propiedades involucradas, como la incidencia y la relación transversal , se conservan en todas las transformaciones proyectivas .
Una sección cónica general se puede escribir como una ecuación de segundo grado en las coordenadas cartesianas ( x , y ) del plano.
donde A xx , A xy , A yy , B x , B y y C son las constantes que definen la ecuación. Para tal sección cónica, la línea polar a un punto polar dado ( ξ , η ) está definida por la ecuación
donde D , E y F son igualmente constantes que dependen de las coordenadas de los polos ( ξ , η )
El polo de la línea , relativo a la sección cónica no degenerada.
Primero, calcula los números x, y y z a partir de
Ahora, el polo es el punto con coordenadas.
En geometría proyectiva , dos rectas en un plano siempre se cruzan. Así, dados cuatro puntos que forman un cuadrilátero completo , las líneas que conectan los puntos se cruzan en tres puntos diagonales adicionales .
Dado un punto Z que no está en la cónica C , dibuje dos secantes de Z a C que se crucen en los puntos A , B , D y E. Entonces estos cuatro puntos forman un cuadrilátero completo y Z está en uno de los puntos de la diagonal. La recta que une los otros dos puntos de la diagonal es la polar de Z , y Z es el polo de esta recta. [2]
Los polos y las polares fueron definidos por Joseph Diaz Gergonne y juegan un papel importante en su solución del problema de Apolonio . [3]
En dinámica plana, un polo es un centro de rotación, el polar es la línea de acción de la fuerza y la cónica es la matriz masa-inercia. [4] La relación polo-polar se utiliza para definir el centro de percusión de un cuerpo rígido plano. Si el polo es el punto de articulación, entonces el polar es la línea de acción de percusión como se describe en la teoría del tornillo plano .
