En matemáticas , específicamente en geometría de incidencia y especialmente en geometría proyectiva , un cuadrilátero completo es un sistema de objetos geométricos que consta de cuatro puntos cualesquiera en un plano , de los cuales ninguno de ellos está en una línea común , y de las seis líneas que conectan los seis pares. de puntos. Dualmente , un cuadrilátero completo es un sistema de cuatro rectas, de las cuales no tres pasan por el mismo punto, y los seis puntos de intersección de dichas rectas. Lachlan (1893) llamó tetrastigma al cuadrilátero completo, y tetragrama al cuadrilátero completo ; esos términos todavía se utilizan ocasionalmente.
Las seis líneas de un cuadrilátero completo se juntan en pares para formar tres puntos adicionales llamados puntos diagonales del cuadrilátero. De manera similar, entre los seis puntos de un cuadrilátero completo hay tres pares de puntos que aún no están conectados por rectas; los segmentos de recta que conectan estos pares se llaman diagonales . Para puntos y líneas en el plano euclidiano, los puntos diagonales no pueden estar en una sola línea y las diagonales no pueden tener un solo punto de triple cruce. Debido al descubrimiento del plano de Fano , una geometría finita en la que los puntos diagonales de un cuadrilátero completo son colineales , algunos autores han aumentado los axiomas de la geometría proyectiva con el axioma de Fano de que los puntos diagonales no son colineales, [1] mientras que otros han sido menos restrictivo.
GB Halsted introdujo un conjunto de expresiones contraídas para las partes de un cuadrilátero completo : llama puntos a los vértices del cuadrilátero y codots a los puntos diagonales . Las líneas del espacio proyectivo se llaman rectas , y en el cuadrilátero se llaman conectores . Halsted llama a las "líneas diagonales" de Coxeter conectores opuestos . Los conectores opuestos se cruzan en un codote. La configuración del cuadrilátero completo es un tetrastim . [2]
Como sistemas de puntos y rectas en los que todos los puntos pertenecen al mismo número de rectas y todas las rectas contienen el mismo número de puntos, el cuadrilátero completo y el cuadrilátero completo forman configuraciones proyectivas ; en la notación de configuraciones proyectivas, el cuadrilátero completo se escribe como (4 3 6 2 ) y el cuadrilátero completo se escribe (6 2 4 3 ), donde los números en esta notación se refieren a la cantidad de puntos, rectas por punto, rectas y puntos por línea de la configuración. El dual proyectivo de un cuadrilátero completo es un cuadrilátero completo y viceversa. Para dos cuadriláteros completos cualesquiera, o dos cuadriláteros completos cualesquiera, existe una transformación proyectiva única que lleva una de las dos configuraciones a la otra. [3]
Karl von Staudt reformó los fundamentos matemáticos en 1847 con el cuadrilátero completo cuando señaló que una "propiedad armónica" podría basarse en las concomitantes del cuadrilátero: cuando cada par de lados opuestos del cuadrilátero se cruzan en una línea, entonces las diagonales se cruzan con la línea. en posiciones conjugadas armónicas proyectivas . Los cuatro puntos de la recta que parte de los lados y diagonales del cuadrilátero se denominan rango armónico . A través de la perspectiva y la proyectividad, la propiedad armónica es estable. Los desarrollos de la geometría y el álgebra modernos notan la influencia de von Staudt en Mario Pieri y Felix Klein .
En el plano euclidiano , las cuatro rectas de un cuadrilátero completo no deben incluir ningún par de rectas paralelas, de modo que cada par de rectas tenga un punto de intersección.
Wells (1991) describe varias propiedades adicionales de cuadriláteros completos que involucran propiedades métricas del plano euclidiano , en lugar de ser puramente proyectivas. Los puntos medios de las diagonales son colineales y (como lo demostró Isaac Newton ) también colineales con el centro de una cónica que es tangente a las cuatro líneas del cuadrilátero. Tres líneas cualesquiera del cuadrilátero forman los lados de un triángulo; los ortocentros de los cuatro triángulos formados de esta manera se encuentran en una segunda línea, perpendicular a la que pasa por los puntos medios. Los círculos circunstantes de estos mismos cuatro triángulos se encuentran en un punto. Además, los tres círculos que tienen como diámetro las diagonales pertenecen a un lápiz de círculos común [4] cuyo eje es la línea que pasa por los ortocentros.
Los círculos polares de los triángulos de un cuadrilátero completo forman un sistema coaxial . [5] : pág. 179