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En finanzas , un modelo reticular [1] es una técnica aplicada a la valoración de derivados , donde se requiere un modelo de tiempo discreto . Para las opciones sobre acciones , un ejemplo típico sería la fijación del precio de una opción estadounidense , donde se requiere una decisión sobre el ejercicio de la opción en "todo" el momento (en cualquier momento) antes del vencimiento e incluido el mismo. Por otro lado, un modelo continuo, como el de Black-Scholes , solo permitiría la valoración de opciones europeas , cuyo ejercicio se produce en la fecha de vencimiento de la opción . Para los derivados de tasas de interés , las redes también son útiles porque abordan muchos de los problemas encontrados con los modelos continuos, como el pull to par . [2] El método también se utiliza para valorar ciertas opciones exóticas , donde debido a la dependencia de la trayectoria en el pago, los métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones no tienen en cuenta las decisiones óptimas para terminar el derivado mediante el ejercicio temprano, [3] aunque ahora existen métodos para solucionar este problema .
En general, el enfoque es dividir el tiempo entre el momento actual y el vencimiento de la opción en N períodos discretos. En el momento específico n , el modelo tiene un número finito de resultados en el momento n + 1, de modo que cada cambio posible en el estado del mundo entre n y n + 1 se captura en una rama. Este proceso se repite hasta que se mapean todos los caminos posibles entre n = 0 y n = N. Luego se estiman las probabilidades para cada n an + 1 camino. Los resultados y las probabilidades fluyen hacia atrás a través del árbol hasta que se calcula el valor justo de la opción actual.
Para acciones y materias primas la aplicación es la siguiente. El primer paso es rastrear la evolución de la variable subyacente clave de la opción, comenzando con el precio spot de hoy , de modo que este proceso sea consistente con su volatilidad; Generalmente se supone un movimiento browniano log-normal con volatilidad constante. [4] El siguiente paso es valorar la opción de forma recursiva: retrocediendo desde el paso de tiempo final, donde tenemos valor de ejercicio en cada nodo; y aplicar una valoración neutral al riesgo en cada nodo anterior, donde el valor de la opción es el valor presente ponderado por probabilidad de los nodos ascendentes y descendentes en el paso de tiempo posterior. Consulte Modelo de fijación de precios de opciones binomiales § Método para obtener más detalles, así como Fijación de precios racional § Valoración neutral al riesgo para obtener lógica y derivación de fórmulas.
Como se indicó anteriormente, el enfoque reticular es particularmente útil para valorar opciones estadounidenses , donde la elección de ejercer la opción anticipadamente o mantenerla puede modelarse en cada combinación discreta de tiempo/precio; Esto también se aplica a las opciones de las Bermudas . Por razones similares, las opciones reales y las opciones sobre acciones de los empleados a menudo se modelan utilizando un marco reticular, aunque con supuestos modificados. En cada uno de estos casos, un tercer paso es determinar si la opción se debe ejercer o mantener, y luego aplicar este valor en el nodo en cuestión. Algunas opciones exóticas , como las opciones de barrera , también se modelan aquí fácilmente; para otras opciones dependientes de la ruta , se preferiría la simulación . (Aunque se han desarrollado métodos basados en árboles. [5] [6] )
El modelo de red más simple es el modelo binomial de fijación de precios de opciones ; [7] el método estándar ("canónico" [8] ) es el propuesto por Cox , Ross y Rubinstein (CRR) en 1979; ver diagrama para fórmulas. Se han desarrollado más de 20 métodos más [9] , cada uno de los cuales "se deriva de una variedad de supuestos" en lo que respecta a la evolución del precio del subyacente. [4] En el límite , a medida que aumenta el número de pasos de tiempo, estos convergen a la distribución Log-normal y, por lo tanto, producen el "mismo" precio de opción que Black-Scholes: para lograr esto, estos buscarán llegar a un acuerdo con Los momentos centrales del subyacente , los momentos brutos y/o los momentos logarítmicos en cada paso de tiempo, medidos de forma discreta . Se han diseñado mejoras adicionales para lograr estabilidad en relación con Black-Scholes a medida que cambia el número de pasos de tiempo. De hecho, los modelos más recientes están diseñados en torno a una convergencia directa con Black-Scholes. [9]
Una variante del binomio es el árbol trinomio , [10] [11] desarrollado por Phelim Boyle en 1986. Aquí, el precio de la acción puede permanecer sin cambios a lo largo del tiempo y la valoración de la opción se basa entonces en el valor de la acción. en los nodos arriba, abajo y medio en el paso de tiempo posterior. En cuanto al binomio, existe una gama similar (aunque menor) de métodos. Se considera que el modelo trinomial [12] produce resultados más precisos que el modelo binomial cuando se modelan menos pasos de tiempo y, por lo tanto, se utiliza cuando la velocidad computacional o los recursos pueden ser un problema. Para las opciones básicas , a medida que aumenta el número de pasos, los resultados convergen rápidamente y se prefiere el modelo binomial debido a su implementación más simple. Para opciones exóticas, el modelo trinomial (o sus adaptaciones) es a veces más estable y preciso, independientemente del tamaño del paso.
Varios de los griegos se pueden estimar directamente en la red, donde las sensibilidades se calculan utilizando diferencias finitas . [13] Delta y gamma , al ser sensibilidades del valor de la opción frente al precio, se aproximan dadas las diferencias entre los precios de las opciones, con su lugar relacionado, en el mismo paso de tiempo. Theta , sensibilidad al tiempo, también se estima dado el precio de la opción en el primer nodo del árbol y el precio de la opción para el mismo lugar en un paso de tiempo posterior. (Segundo paso de tiempo para trinomio, tercero para binomio. Dependiendo del método, si el "factor de bajada" no es el inverso del "factor de subida", este método no será preciso). Para rho , sensibilidad a las tasas de interés y vega , sensibilidad a la volatilidad de las entradas, la medición es indirecta, ya que el valor debe calcularse una segunda vez en una nueva red construida con estas entradas ligeramente modificadas, y la sensibilidad aquí también se devuelve mediante una diferencia finita. Véase también Fugit , el tiempo estimado para hacer ejercicio, que normalmente se calcula mediante una celosía.
Cuando es importante incorporar la sonrisa o la superficie de volatilidad , se pueden construir árboles implícitos . Aquí, el árbol se resuelve de manera que reproduce con éxito (todos) los precios de mercado seleccionados, a lo largo de varios ejercicios y vencimientos. Estos árboles "garantizan así que todas las opciones estándar europeas (con ejercicios y vencimientos coincidentes con los nodos del árbol) tendrán valores teóricos que coincidan con sus precios de mercado". [14] Utilizando la red calibrada se pueden fijar precios de opciones con combinaciones de ejercicio/vencimiento que no cotizan en el mercado, de manera que estos precios sean consistentes con los patrones de volatilidad observados. Existen tanto árboles binomiales implícitos , a menudo Rubinstein IBT (R-IBT), [15] como árboles trinomiales implícitos , a menudo Derman -Kani- Chriss [14] (DKC; reemplazando al DK-IBT [16] ). El primero es más fácil de construir, pero es consistente con una sola madurez; este último será consistente con, pero al mismo tiempo requerirá, precios conocidos (o interpolados ) en todos los pasos de tiempo y nodos. (DKC es efectivamente un modelo de volatilidad local discretizado ).
En cuanto a la construcción, para un R-IBT el primer paso es recuperar las "probabilidades neutrales al riesgo final implícitas" de los precios spot. Luego, suponiendo que todos los caminos que conducen al mismo nodo final tienen la misma probabilidad neutral al riesgo, se adjunta una "probabilidad de camino" a cada nodo final. A partir de entonces, "es tan simple como Uno-Dos-Tres", y una recursividad de tres pasos hacia atrás permite recuperar las probabilidades de los nodos para cada paso de tiempo. A continuación, la valoración de las opciones se realiza de forma estándar, sustituyéndose éstas por p . Para DKC, el primer paso es recuperar los precios estatales correspondientes a cada nodo del árbol, de modo que sean consistentes con los precios de opciones observados (es decir, con la superficie de volatilidad). A partir de entonces, se encuentran las probabilidades arriba, abajo y media para cada nodo de modo que: estas suman 1; los precios spot adyacentes evolucionan paso a paso en el tiempo de manera neutral, incorporando el rendimiento de los dividendos ; los precios estatales también "crecen" al tipo libre de riesgo. [17] (La solución aquí es iterativa por paso de tiempo en lugar de simultánea). En cuanto a las R-IBT, la valoración de opciones se realiza mediante recursividad hacia atrás estándar.
Como alternativa, los árboles binomiales de Edgeworth [18] permiten un sesgo y una curtosis especificados por el analista en los rendimientos de los precios al contado; ver serie de Edgeworth . Este enfoque es útil cuando el comportamiento del subyacente se aleja (notablemente) de la normalidad. Un uso relacionado es calibrar el árbol según la sonrisa (o superficie) de volatilidad, mediante una "elección juiciosa" [19] de valores de parámetros; con un precio aquí, las opciones con diferentes ejercicios arrojarán diferentes volatilidades implícitas. Para fijar el precio de las opciones estadounidenses, se puede combinar una distribución final generada por Edgeworth con un R-IBT. Este enfoque está limitado en cuanto al conjunto de pares de asimetría y curtosis para los cuales se encuentran disponibles distribuciones válidas. Los árboles binomiales de Johnson más recientes [20] utilizan la "familia" de distribuciones de Johnson , ya que es capaz de acomodar todos los pares posibles.
Para múltiples subyacentes , se pueden construir redes multinomiales [21] , aunque el número de nodos aumenta exponencialmente con el número de subyacentes. Como alternativa, a las opciones de cesta , por ejemplo, se les puede fijar el precio utilizando una "distribución aproximada" [22] a través de un árbol de Edgeworth (o Johnson).
Las celosías se utilizan comúnmente para valorar opciones de bonos , swaptions y otros derivados de tasas de interés [23] [24] En estos casos, la valoración es en gran medida como la anterior, pero requiere un paso adicional, cero, para construir un árbol de tasas de interés, en el cual Se basa entonces el precio del subyacente. El siguiente paso también difiere: el precio subyacente aquí se construye mediante "inducción hacia atrás", es decir, fluye hacia atrás desde el vencimiento, acumulando el valor presente de los flujos de efectivo programados en cada nodo, en lugar de fluir hacia adelante desde la fecha de valoración como se indicó anteriormente. El paso final, la valoración de la opción, continúa como de costumbre. Vea la parte superior para ver el gráfico y al costado para ver la descripción.
La red inicial se construye discretizando un modelo de tasa corta , como Hull-White o Black Derman Toy , o un modelo basado en tasas a plazo , como el modelo de mercado LIBOR o HJM . En cuanto a la equidad, también se pueden utilizar árboles trinomiales para estos modelos; [25] este suele ser el caso de los árboles Hull-White.
Según HJM, [26] la condición de no arbitraje implica que existe una medida de probabilidad martingala , así como una restricción correspondiente sobre los "coeficientes de deriva" de los tipos a plazo. Éstas, a su vez, son funciones de la(s) volatilidad(es) de los tipos a plazo. [27] Una expresión discretizada "simple" [28] para la deriva permite que las tasas a plazo se expresen en una red binomial. Para estos modelos basados en tasas a plazo, que dependen de supuestos de volatilidad, la red podría no recombinarse. [29] [26] (Esto significa que un "movimiento hacia arriba" seguido de un "movimiento hacia abajo" no dará el mismo resultado que un "movimiento hacia abajo" seguido de un "movimiento hacia arriba".) En este caso , a veces se hace referencia al Lattice como un "arbusto" y el número de nodos crece exponencialmente en función del número de pasos de tiempo. También está disponible una metodología de árbol binomial recombinante para el modelo de mercado Libor. [30]
En lo que respecta a los modelos de tipos de interés a corto plazo, éstos, a su vez, se categorizan aún más: estarán basados en el equilibrio ( Vasicek y CIR ) o libres de arbitraje ( Ho-Lee y posteriores ). Esta distinción: para los modelos basados en el equilibrio, la curva de rendimiento es un resultado del modelo, mientras que para los modelos sin arbitraje la curva de rendimiento es un insumo del modelo. [31] En el primer caso, el enfoque consiste en "calibrar" los parámetros del modelo, de modo que los precios de los bonos producidos por el modelo, en su forma continua, se ajusten mejor a los precios de mercado observados. [32] Luego, el árbol se construye en función de estos parámetros. En el último caso, la calibración está directamente en la red: el ajuste es tanto para la estructura temporal actual de las tasas de interés (es decir, la curva de rendimiento ) como para la estructura de volatilidad correspondiente . Aquí, calibración significa que el árbol de tasas de interés reproduce los precios de los bonos cupón cero (y cualquier otro título sensible a las tasas de interés) utilizados para construir la curva de rendimiento ; observe el paralelo con los árboles implícitos de equidad anteriores y compare Bootstrapping (finanzas) . Para los modelos que asumen una distribución normal (como Ho-Lee), la calibración se puede realizar analíticamente, mientras que para los modelos log-normales la calibración se realiza mediante un algoritmo de búsqueda de raíces ; consulte, por ejemplo, la descripción en el recuadro bajo Modelo Black–Derman–Toy .
La estructura de volatilidad (es decir, el espaciado vertical entre nodos) aquí refleja la volatilidad de las tasas durante el trimestre, u otro período, correspondiente al paso de tiempo de la red. (Algunos analistas utilizan la " volatilidad realizada ", es decir, de las tasas aplicables históricamente para el intervalo de tiempo; para ser consistentes con el mercado, los analistas generalmente prefieren usar los precios máximos de las tasas de interés actuales , y la volatilidad implícita para los precios del Black-76 cada componente del caplet ; consulte Límite de tasa de interés § Volatilidades implícitas .) Dado este vínculo funcional con la volatilidad, observe ahora la diferencia resultante en la construcción en relación con los árboles implícitos de capital: para las tasas de interés, la volatilidad se conoce para cada paso de tiempo, y el los valores de nodo (es decir, las tasas de interés) deben resolverse para probabilidades neutrales al riesgo específicas; para la renta variable, por otra parte, no se puede especificar una única volatilidad por intervalo de tiempo, es decir, tenemos una "sonrisa", y el árbol se construye resolviendo las probabilidades correspondientes a valores específicos del subyacente en cada nodo.
Una vez calibrada, la red de tipos de interés se utiliza en la valoración de varios instrumentos y derivados de renta fija. [26] El enfoque para las opciones sobre bonos se describe a un lado; tenga en cuenta que este enfoque aborda el problema del pull to par experimentado en enfoques de forma cerrada; consulte el modelo de Black-Scholes § Valoración de opciones de bonos . Para los swaptions, la lógica es casi idéntica: se sustituyen los swaps por bonos en el paso 1 y los swaptions por opciones sobre bonos en el paso 2. Para los topes (y suelos), los pasos 1 y 2 se combinan: en cada nodo, el valor se basa en los nodos relevantes en el paso posterior, más, para cualquier caplet ( floorlet ) que venza en el paso de tiempo, la diferencia entre su tasa de referencia y la tasa corta en el nodo (y que refleja la correspondiente fracción de recuento de días y el valor nocional intercambiado). Para los bonos rescatables y con opción de venta , se requeriría un tercer paso: en cada nodo del paso de tiempo incorporar el efecto de la opción incorporada sobre el precio del bono y/o el precio de la opción allí antes de retroceder un paso de tiempo. (Y tenga en cuenta que estas opciones no son mutuamente excluyentes, por lo que un bono puede tener varias opciones incorporadas; [33] los valores híbridos se tratan a continuación). Para otros derivados de tasas de interés más exóticos , se realizan ajustes similares en los pasos 1 y siguientes. Para los "griegos", en gran medida en cuanto a la equidad, consulte la siguiente sección.
Un enfoque alternativo para modelar opciones de bonos (estadounidenses), en particular aquellos con rendimiento al vencimiento (YTM), emplea métodos modificados de red de acciones. [34] Aquí el analista construye un árbol CRR de YTM, aplicando un supuesto de volatilidad constante, y luego calcula el precio del bono en función de este rendimiento en cada nodo; Por lo tanto, los precios aquí están a la par. El segundo paso es incorporar cualquier estructura de términos de volatilidad construyendo un árbol DKC correspondiente (basado en cada segundo paso de tiempo en el árbol CRR: ya que DKC es trinomio mientras que CRR es binomial) y luego usarlo para la valoración de opciones.
Desde la crisis financiera mundial de 2007-2012 , los precios de los swaps se encuentran (generalmente) bajo un " marco de curvas múltiples ", mientras que anteriormente estaban fuera de una curva única de "autodescuento"; ver Swap de tipos de interés § Valoración y fijación de precios . Aquí, los pagos se establecen en función de la LIBOR específica del plazo en cuestión, mientras que el descuento se realiza a la tasa OIS . Para acomodar esto en el marco reticular, la tasa OIS y la tasa LIBOR relevante se modelan conjuntamente en un árbol tridimensional, construido de manera que las tasas swap LIBOR coincidan. [35] Una vez logrado el paso cero, la valoración procederá en gran medida como antes, utilizando los pasos 1 en adelante, pero aquí con flujos de efectivo basados en la "dimensión" LIBOR y descontando utilizando los nodos correspondientes de la "dimensión" OIS.
Los valores híbridos , que incorporan características similares a las de acciones y bonos, también se valoran mediante árboles. [36] Para los bonos convertibles (CB), el enfoque de Tsiveriotis y Fernandes (1998) [37] es dividir el valor del bono en cada nodo en un componente de "capital", que surge de situaciones en las que el CB se convertirá, y un componente de "deuda", que surge de situaciones en las que se rescata el bono bancario. En consecuencia, se construyen árboles gemelos donde el descuento se realiza a la tasa libre de riesgo y ajustada al riesgo crediticio respectivamente, siendo la suma el valor del CB. [38] Existen otros métodos que combinan de manera similar un árbol de tipo accionario con un árbol de tipo corto. [39] Un enfoque alternativo, publicado originalmente por Goldman Sachs (1994), [40] no desacopla los componentes, sino que el descuento se realiza a una tasa de interés libre de riesgo y riesgosa ponderada por la probabilidad de conversión dentro de un solo árbol. Véase Bono convertible § Valoración , Bono convertible contingente .
De manera más general, el capital puede verse como una opción de compra sobre la empresa: [41] cuando el valor de la empresa es menor que el valor de la deuda pendiente, los accionistas elegirían no pagar la deuda de la empresa; De lo contrario, optarían por reembolsar (y no liquidar (es decir, ejercer su opción ). Aquí se han desarrollado modelos de celosía para el análisis de acciones, [42] [43] particularmente en lo que se refiere a empresas en dificultades . [44] De manera similar, en lo que respecta a la fijación de precios de la deuda corporativa, la relación entre la responsabilidad limitada de los accionistas y los posibles procedimientos del Capítulo 11 también se ha modelado a través de un entramado. [45]
El cálculo de los "griegos" para los derivados de tipos de interés se realiza como para las acciones. Sin embargo, existe un requisito adicional, particularmente para los valores híbridos: es decir, estimar las sensibilidades relacionadas con los cambios generales en las tasas de interés. Para un bono con una opción incorporada , los cálculos estándar de duración y convexidad basados en el rendimiento al vencimiento no consideran cómo los cambios en las tasas de interés alterarán los flujos de efectivo debido al ejercicio de la opción. Para abordar esto, se introducen la duración efectiva y la convexidad . Aquí, de manera similar a rho y vega anteriores, el árbol de tasas de interés se reconstruye para un desplazamiento paralelo hacia arriba y luego hacia abajo en la curva de rendimiento y estas medidas se calculan numéricamente dados los cambios correspondientes en el valor del bono. [46]
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