Volatilidad futura

La volatilidad a plazo es una medida de la volatilidad implícita de un instrumento financiero durante un período en el futuro, extraída de la estructura temporal de la volatilidad (que se refiere a cómo difiere la volatilidad implícita para instrumentos financieros relacionados con diferentes vencimientos).

Principio subyacente

La varianza es el cuadrado de las diferencias de las medidas con respecto a la media dividido por el número de muestras. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza . La desviación estándar de los rendimientos continuamente compuestos de un instrumento financiero se llama volatilidad .

La volatilidad (anual) del precio o tasa de un activo determinado durante un plazo que comienza en corresponde a la volatilidad al contado de ese subyacente, para el plazo específico. Una colección de tales volatilidades forma una estructura de plazos de volatilidad, similar a la curva de rendimiento . Así como los tipos de interés a plazo pueden derivarse de una curva de rendimiento, las volatilidades a plazo pueden derivarse de una estructura temporal determinada de volatilidad. ${\displaystyle t_{0}=0}$

Derivación

Dado que las variables aleatorias subyacentes para intervalos de tiempo que no se superponen son independientes , la varianza es aditiva (ver varianza ). Entonces, para intervalos de tiempo anuales tenemos la volatilidad anualizada como

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1}{j}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2}+\sigma _{j-1,j}^{2})\\\Rightarrow \sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\sigma _{0,j}^{2}-\sum _{k=1}^{j-1}\sigma _{k-1,k}^{2}}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle j=1,2,\ldots }$es el número de años y el factor escala la varianza para que sea anual ${\displaystyle {\frac {1}{j}}}$

${\displaystyle \sigma _{i,\,j}}$es la volatilidad futura actual (en el momento 0) para el período ${\displaystyle [i,\,j]}$

${\displaystyle \sigma _{0,\,j}}$la volatilidad al contado para el vencimiento . ${\displaystyle j}$

Para facilitar el cálculo y obtener una representación no recursiva, también podemos expresar la volatilidad forward directamente en términos de volatilidades al contado: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1}{j}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-1,j}^{2})\\&={\frac {j-1}{j}}\cdot {\frac {1}{j-1}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2})+{\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}\\&={\frac {j-1}{j}}\,\sigma _{0,j-1}^{2}+{\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}\\\Rightarrow {\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}&=\sigma _{0,j}^{2}-{\frac {(j-1)}{j}}\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}^{2}&=j\sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}}}\end{aligned}}}$

Siguiendo la misma línea de argumentación obtenemos el caso general de la volatilidad forward observada en ese momento : ${\displaystyle t_{0}<t<T}$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle \sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {(T-t_{0})\sigma _{t_{0},T}^{2}-(t-t_{0})\sigma _{t_{0},t}^{2}}{T-t}}}}$,

lo que simplifica en el caso de a ${\displaystyle t_{0}=0}$

${\displaystyle \sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {T\sigma _{0,T}^{2}-t\sigma _{0,t}^{2}}{T-t}}}}$.

Ejemplo

Las volatilidades en el mercado a 90 días son del 18% y a 180 días del 16,6%. En nuestra notación tenemos = 18% y = 16,6% (tratando un año como 360 días). Queremos encontrar la volatilidad a plazo para el período que comienza con el día 91 y termina con el día 180. Usando la fórmula y configuración anteriores obtenemos ${\displaystyle \sigma _{0,\,0.25}}$ ${\displaystyle \sigma _{0,\,0.5}}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$

${\displaystyle \sigma _{0.25,\,0.5}={\sqrt {\frac {0.5\cdot 0.166^{2}-0.25\cdot 0.18^{2}}{0.25}}}=0.1507\approx 15.1\%}$.

Referencias

1. Taleb, Nassim Nicolás (1997). Cobertura dinámica: gestión de opciones vainilla y exóticas . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-15280-3 , página 154