Convexidad de enlace

En finanzas , la convexidad de los bonos es una medida de la relación no lineal de los precios de los bonos con los cambios en las tasas de interés , y se define como la segunda derivada del precio del bono con respecto a las tasas de interés ( la duración es la primera derivada). En general, cuanto mayor es la duración, más sensible es el precio del bono a los cambios en las tasas de interés. La convexidad de los bonos es una de las formas de convexidad más básicas y más utilizadas en las finanzas . Convexity se basó en el trabajo de Hon-Fei Lai y fue popularizado por Stanley Diller. ^[1]

Cálculo de la convexidad

La duración es una medida lineal o primera derivada de cómo cambia el precio de un bono en respuesta a los cambios en las tasas de interés. A medida que cambian las tasas de interés, no es probable que el precio cambie linealmente, sino que cambiaría a lo largo de alguna función curva de las tasas de interés. Cuanto más curva es la función de precios del bono, más inexacta es la duración como medida de la sensibilidad a los tipos de interés. ^[2]

La convexidad es una medida de la curvatura o segunda derivada de cómo varía el precio de un bono con la tasa de interés, es decir, cómo cambia la duración de un bono a medida que cambia la tasa de interés. ^[3] Específicamente, se supone que la tasa de interés es constante durante toda la vida del bono y que los cambios en las tasas de interés ocurren de manera uniforme. Utilizando estos supuestos, la duración puede formularse como la primera derivada de la función de precio del bono con respecto a la tasa de interés en cuestión. Entonces la convexidad sería la segunda derivada de la función de precios con respecto al tipo de interés. ^[2]

La convexidad no supone que la relación entre el valor del bono y las tasas de interés sea lineal. ^[4] En los mercados reales, el supuesto de tasas de interés constantes e incluso cambios no es correcto, y se necesitan modelos más complejos para fijar el precio de los bonos. Sin embargo, estos supuestos simplificadores permiten calcular rápida y fácilmente factores que describen la sensibilidad de los precios de los bonos a los cambios en las tasas de interés. ^[5]

Por qué las convexidades de los bonos pueden diferir

La sensibilidad del precio a cambios paralelos en la estructura temporal de las tasas de interés es mayor con un bono cupón cero y menor con un bono amortizable (donde los pagos se concentran al principio). ^[6] Aunque el bono de amortización y el bono cupón cero tienen diferentes sensibilidades al mismo vencimiento, si sus vencimientos finales difieren de modo que tengan duraciones de bonos idénticas , entonces tendrán sensibilidades idénticas. ^[7] Es decir, sus precios se verán afectados igualmente por pequeños desplazamientos de primer orden (y paralelos) en la curva de rendimiento . Sin embargo, comenzarán a cambiar en diferentes montos con cada cambio adicional incremental de tasas paralelas debido a sus diferentes fechas y montos de pago. ^[8]

Para dos bonos con el mismo valor nominal, cupón y vencimiento, la convexidad puede diferir dependiendo del punto de la curva de rendimiento de precios en el que se encuentren. ^[9]

Definición matemática

Si la tasa de interés flotante plana es r y el precio del bono es $B$ , entonces la convexidad $C$ se define como ^[10]

C={\frac {1}{B}}{\frac {d^{2}\left(B(r)\right)}{dr^{2}}}.

Otra forma de expresar $C$ es en términos de la duración modificada $D$ :

{\frac {d}{dr}}B(r)=-DB.

Por lo tanto,

CB={\frac {d(-DB)}{dr}}=(-D)(-DB)+\left(-{\frac {dD}{dr}}\right)(B),

partida

C=D^{2}-{\frac {dD}{dr}}.

Donde $D$ es una duración modificada

Cómo cambia la duración de los bonos con una tasa de interés cambiante

Volver a la definición estándar de duración modificada: ^[11]

D={\frac {1}{1+r}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(i)t(i)}{B}}

donde $P (i)$ es el valor presente del cupón $i$ y $t (i)$ es la fecha de pago futura.

A medida que aumenta la tasa de interés , el valor presente de los pagos a más largo plazo disminuye en relación con los cupones anteriores (por el factor de descuento entre los pagos anticipados y tardíos). ^[12] Sin embargo, el precio del bono también disminuye cuando la tasa de interés aumenta, pero los cambios en el valor presente de la suma de cada cupón multiplicado por el tiempo (el numerador en la suma) son mayores que los cambios en el precio del bono (el denominador en la suma). Por lo tanto, los aumentos en $r$ deben disminuir la duración (o, en el caso de los bonos cupón cero, dejar constante la duración sin modificar). ^[13]^[14] Tenga en cuenta que la duración modificada $D$ difiere de la duración normal en el factor uno sobre $1 + r$ (que se muestra arriba), que también disminuye a medida que $r$ aumenta.

{\frac {dD}{dr}}\leq 0

Dada la relación anterior entre convexidad y duración, las convexidades de los bonos convencionales siempre deben ser positivas. ^[15]

La positividad de la convexidad también puede demostrarse analíticamente para los títulos con tipos de interés básicos. Por ejemplo, bajo el supuesto de una curva de rendimiento plana, se puede escribir el valor de un bono con cupón como , donde $Ci$ representa el cupón pagado en $el$ $momento$ $ti$ . Entonces es fácil ver que $B(r)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$

{\frac {d^{2}B}{dr^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}t_{i}^{2}\geq 0

Tenga en cuenta que esto, a la inversa, implica la negatividad de la derivada de la duración al derivar . $dB/dr=-DB$

Aplicación de la convexidad

La convexidad es una figura de gestión de riesgos, que se utiliza de manera similar a la forma en que se utiliza "gamma" en la gestión de riesgos de derivados ; es un número que se utiliza para gestionar el riesgo de mercado al que está expuesta una cartera de bonos. Si la convexidad y la duración combinadas de una cartera de negociación son altas, también lo es el riesgo. ^[16] Sin embargo, si la convexidad y la duración combinadas son bajas, la cartera está cubierta y se perderá poco dinero incluso si se producen movimientos de intereses bastante sustanciales. (Paralelo en la curva de rendimiento) ^[17]
La aproximación de segundo orden de los movimientos del precio de los bonos debido a cambios en las tasas utiliza la convexidad:

\Delta B=B\left[{\frac {C}{2}}(\Delta r)^{2}-D\Delta r\right].

Convexidad efectiva

Para un bono con una opción incorporada , un cálculo de la convexidad (y de la duración ) basado en el rendimiento al vencimiento no considera cómo los cambios en la curva de rendimiento alterarán los flujos de efectivo debido al ejercicio de la opción . Para abordar esto, se debe calcular numéricamente una convexidad efectiva . ^[18] La convexidad efectiva es una aproximación discreta de la segunda derivada del valor del bono en función de la tasa de interés: ^[18]

{\text{Effective convexity}}={\frac {V_{-\Delta y}-2V+V_{+\Delta y}}{(V_{0})\Delta y^{2}}}

donde es el valor del bono calculado utilizando un modelo de fijación de precios de opciones , es la cantidad que cambia el rendimiento y son los valores que tomará el bono si el rendimiento cae o aumenta , respectivamente (un cambio paralelo ). $V$ $\Delta y$ $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ $y$ $y$

Estos valores generalmente se encuentran utilizando un modelo basado en árbol, construido para toda la curva de rendimiento y, por lo tanto, capturando el comportamiento de ejercicio en cada punto de la vida de la opción como una función tanto del tiempo como de las tasas de interés; ^[19]^[20] ver Modelo de celosía (finanzas) § Derivados de tipos de interés .

Ver también

Referencias

^ Diller, Stanley (1991), Análisis paramétrico de valores de renta fija, en Dattatreya, Ravi (ed.) Análisis de renta fija: análisis de deuda y modelado de valoración de última generación, Probus Publishing
^ ab Brooks, Robert; Attinger, Bill (1 de julio de 1992). "Uso de la duración y la convexidad en el análisis de bonos convertibles rescatables". Revista de analistas financieros . 48 (4): 74–77. doi :10.2469/faj.v48.n4.74. ISSN 0015-198X.
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Otras lecturas

Frank Fabozzi , Manual de valores de renta fija, 7ª ed. , Nueva York: McGraw Hill, 2005.
Fabozzi, Frank J. (1999). "Los fundamentos de la duración y la convexidad". Duración, convexidad y otras medidas de riesgo de bonos . Serie Frank J. Fabozzi. vol. 58. John Wiley e hijos. ISBN 9781883249632.
Mayle, Jan (1994), Métodos estándar de cálculo de valores: fórmulas de valores de renta fija para medidas analíticas , vol. 2 (1.ª ed.), Asociación de la industria de valores y de los mercados financieros , ISBN 1-882936-01-9. La referencia estándar para las convenciones aplicables a los valores estadounidenses.

enlaces externos

El Fondo de Inversión para Fundaciones explica los peligros de comprar bonos de alta convexidad negativa
Videotutorial, Explicación de la duración del enlace y la convexidad.
Explicación de la convexidad de Investopedia