La fijación de precios racional es el supuesto en economía financiera de que los precios de los activos (y, por tanto, los modelos de fijación de precios de activos ) reflejarán el precio libre de arbitraje del activo, ya que cualquier desviación de este precio será "eliminada por arbitraje". Este supuesto es útil para fijar el precio de los valores de renta fija, en particular los bonos, y es fundamental para la fijación del precio de los instrumentos derivados.
El arbitraje es la práctica de aprovechar un estado de desequilibrio entre dos (o posiblemente más) mercados. Cuando se puede explotar este desajuste (es decir, después de los costos de transacción, los costos de almacenamiento, los costos de transporte, los dividendos, etc.), el arbitrajista puede "asegurar" una ganancia libre de riesgo comprando y vendiendo simultáneamente en ambos mercados.
En general, el arbitraje garantiza que se cumplirá "la ley del precio único "; El arbitraje también iguala los precios de los activos con flujos de efectivo idénticos y fija el precio de los activos con flujos de efectivo futuros conocidos.
El mismo activo debe cotizar al mismo precio en todos los mercados ("la ley del precio único "). Cuando esto no sea cierto, el árbitro:
Dos activos con flujos de efectivo idénticos deben negociarse al mismo precio. Cuando esto no sea cierto, el árbitro:
Un activo con un precio conocido en el futuro debe negociarse hoy a ese precio descontado a la tasa libre de riesgo .
Tenga en cuenta que esta condición puede verse como una aplicación de lo anterior, donde los dos activos en cuestión son el activo a entregar y el activo libre de riesgo.
(a) cuando el precio futuro descontado sea mayor que el precio actual:
(b) cuando el precio futuro descontado sea inferior al precio actual:
El punto (b) solo es posible para quienes poseen el activo pero no lo necesitan hasta una fecha futura. Puede haber pocos partidos de este tipo si la demanda a corto plazo excede la oferta, lo que lleva a un retroceso .
La fijación de precios racional es un enfoque utilizado para fijar el precio de los bonos de tasa fija . En este caso, cada flujo de efectivo del bono puede igualarse negociando (a) algún múltiplo de un bono cupón cero , ZCB, correspondiente a cada fecha de cupón, y de solvencia crediticia equivalente (si es posible, del mismo emisor que el bono). bono que se valora) con el vencimiento correspondiente, o (b) en una franja correspondiente a cada cupón, y una ZCB para la devolución del principal al vencimiento. Entonces, dado que los flujos de efectivo pueden replicarse, el precio del bono debe ser hoy igual a la suma de cada uno de sus flujos de efectivo descontados al mismo tipo que cada ZCB (según § Activos con flujos de efectivo idénticos). De no ser así, el arbitraje sería posible y el precio volvería a estar en línea con el precio basado en los ZCB. La mecánica es la siguiente.
Cuando el precio del bono no está alineado con el valor presente de los ZCB, el arbitrajista podría:
Entonces, la fórmula de fijación de precios es , donde cada flujo de efectivo se descuenta a la tasa que coincide con la fecha del cupón. A menudo, la fórmula se expresa como , utilizando precios en lugar de tarifas, ya que los precios están más disponibles.
Según la lógica esbozada, la fijación de precios racional también se aplica a la modelización de tasas de interés de manera más general. En este caso, las curvas de rendimiento en su totalidad deben estar libres de arbitraje con respecto a los precios de los instrumentos individuales . Si este no fuera el caso, los ZCB implícitos en la curva darían como resultado precios de bonos cotizados, por ejemplo diferentes de los observados en el mercado, presentando una oportunidad de arbitraje. Los bancos de inversión y otros creadores de mercado invierten considerables recursos en la "eliminación de curvas". Consulte Bootstrapping (finanzas) y Marco de curvas múltiples para conocer los métodos empleados y Riesgo del modelo para obtener más información.
Un derivado es un instrumento que permite comprar y vender el mismo activo en dos mercados: el mercado al contado y el mercado de derivados . Las finanzas matemáticas suponen que cualquier desequilibrio entre los dos mercados será solucionado mediante arbitraje. Por lo tanto, en un contrato de derivados con el precio correcto, el precio del derivado, el precio de ejercicio (o tasa de referencia ) y el precio al contado estarán relacionados de tal manera que el arbitraje no sea posible. Véase Teorema fundamental de fijación de precios sin arbitraje .
En un contrato de futuros , para que no sea posible el arbitraje, el precio pagado en el momento de la entrega (el precio a plazo ) debe ser el mismo que el costo (incluidos los intereses) de comprar y almacenar el activo. En otras palabras, el precio a plazo racional representa el valor futuro esperado del subyacente descontado a la tasa libre de riesgo (el "activo con un precio futuro conocido", como arriba); consulte Paridad al contado-futuro . Por lo tanto, para un activo simple que no paga dividendos, el valor del futuro/forward, se encontrará acumulando el valor presente en el momento hasta el vencimiento por la tasa de rendimiento libre de riesgo .
Esta relación puede modificarse para costos de almacenamiento, dividendos, rendimientos de dividendos y rendimientos de conveniencia; ver precios de contratos de futuros .
Cualquier desviación de esta igualdad permite el arbitraje de la siguiente manera.
La fijación de precios racional sustenta la lógica de la valoración de swaps . Aquí, dos contrapartes "intercambian" obligaciones, intercambiando efectivamente flujos de efectivo calculados contra un monto principal nocional, y el valor del swap es el valor presente (PV) de ambos conjuntos de flujos de efectivo futuros "compensados" entre sí.
Para estar libre de arbitraje, los términos de un contrato de swap son tales que, inicialmente, el valor presente neto de estos flujos de efectivo futuros sea igual a cero; ver Swap (finanzas) § Valoración y fijación de precios . Una vez negociados, los swaps también pueden (deben) fijarse utilizando precios racionales.
Los ejemplos siguientes corresponden a swaps de tipos de interés (y son representativos de precios puramente racionales, ya que excluyen el riesgo de crédito ), aunque el principio se aplica a cualquier tipo de swap .
Considere un swap de tipos de interés de fijo a flotante en el que la Parte A paga un tipo fijo (" tipo swap ") y la Parte B paga un tipo flotante. En este caso, la tasa fija sería tal que el valor presente de los pagos futuros a tasa fija por parte de la Parte A sea igual al valor presente de los pagos futuros esperados a tasa flotante (es decir, el VAN es cero). Si este no fuera el caso, un árbitro, C, podría:
La parte flotante de un swap de tipos de interés se puede "descomponer" en una serie de acuerdos de tipos a plazo . En este caso, dado que el swap tiene pagos idénticos a los FRA, el precio libre de arbitraje debe aplicarse como se indicó anteriormente, es decir, el valor de este tramo es igual al valor de los FRA correspondientes. De manera similar, la parte de "recibir-fijo" de un swap se puede valorar en comparación con un bono con el mismo cronograma de pagos. (En relación con esto, dado que sus subyacentes tienen los mismos flujos de efectivo, las opciones de bonos y las swapciones son equivalentes). Consulte más información en Swap (finanzas) § Uso de precios de bonos .
Como se indicó anteriormente, cuando se conoce (o se espera) el valor de un activo en el futuro, este valor puede usarse para determinar el precio racional del activo hoy. Sin embargo, en un contrato de opción , el ejercicio depende del precio del subyacente y, por tanto, el pago es incierto. Por lo tanto, los modelos de fijación de precios de opciones incluyen una lógica que "fija" o "infiere" este valor futuro; Ambos enfoques ofrecen resultados idénticos. Los métodos que aseguran los flujos de efectivo futuros suponen precios libres de arbitraje , y aquellos que infieren el valor esperado asumen una valoración neutral al riesgo .
Para hacer esto, (en su forma más simple, aunque ampliamente utilizada) ambos enfoques asumen un "modelo binomial" para el comportamiento del instrumento subyacente , que permite sólo dos estados: arriba o abajo. Si S es el precio actual, entonces en el próximo período el precio será S hacia arriba o S hacia abajo . Aquí, el valor de la participación en el estado ascendente es S × u, y en el estado descendente es S × d (donde u y d son multiplicadores con d < 1 < u y asumiendo d < 1+r < u; ver el modelo de opciones binomiales ). Entonces, dados estos dos estados, el enfoque "libre de arbitraje" crea una posición que tiene un valor idéntico en cualquiera de los dos estados; por lo tanto, se conoce el flujo de efectivo en un período y se aplica el precio de arbitraje. El enfoque neutral al riesgo infiere el valor esperado de la opción a partir de los valores intrínsecos en los dos últimos nodos.
Aunque esta lógica parece muy alejada de la fórmula de Black-Scholes y del enfoque reticular del modelo de opciones binomiales , de hecho subyace a ambos modelos; consulte El PDE de Black-Scholes . La suposición de un comportamiento binomial en el precio subyacente es defendible ya que el número de pasos de tiempo entre el día actual (valoración) y el ejercicio aumenta, y el período por paso de tiempo es correspondientemente corto. El modelo de opciones binomiales permite un gran número de pasos de tiempo muy cortos (si se codifica correctamente), mientras que Black-Scholes, de hecho, modela un proceso continuo .
Los ejemplos siguientes tienen acciones como subyacente, pero pueden generalizarse a otros instrumentos. El valor de una opción de venta se puede derivar como se muestra a continuación, o se puede encontrar a partir del valor de la opción de compra utilizando la paridad de opción de venta .
En este caso, la rentabilidad futura está "fijada" utilizando el enfoque de "cobertura delta" o de " cartera replicante ". Como se indicó anteriormente, este pago se descuenta y el resultado se utiliza en la valoración de la opción hoy.
Es posible crear una posición que consista en Δ acciones y 1 call vendido, de modo que el valor de la posición sea idéntico en los estados S arriba y S abajo y, por lo tanto, conocido con certeza (consulte Cobertura Delta ). Este valor determinado corresponde al precio a plazo anterior ("Un activo con un precio futuro conocido") y, como anteriormente, para que no sea posible el arbitraje, el valor presente de la posición debe ser su valor futuro esperado descontado a la tasa libre de riesgo. , r . Luego, el valor de una llamada se encuentra equiparando las dos.
Es posible crear una posición que consista en Δ acciones y $ B prestados a la tasa libre de riesgo, lo que producirá flujos de efectivo idénticos a una opción sobre la acción subyacente. La posición creada se conoce como "cartera replicante", ya que sus flujos de efectivo replican los de la opción. Como se muestra arriba ("Activos con flujos de efectivo idénticos"), en ausencia de oportunidades de arbitraje, dado que los flujos de efectivo producidos son idénticos, el precio de la opción hoy debe ser el mismo que el valor de la posición hoy.
Tenga en cuenta que aquí no hay descuentos: la tasa de interés aparece sólo como parte de la construcción. Por lo tanto, este enfoque se utiliza con preferencia a otros en los que no está claro si la tasa libre de riesgo puede aplicarse como tasa de descuento en cada punto de decisión o si, en cambio, se requeriría una prima sobre la tasa libre de riesgo , que difiere según el estado. El mejor ejemplo de esto sería bajo un análisis de opciones reales [1] donde las acciones de la gerencia realmente cambian las características de riesgo del proyecto en cuestión y, por lo tanto, la tasa de rendimiento requerida podría diferir en los estados altos y bajos. Aquí, en las fórmulas anteriores, tenemos: "Δ × S arriba - B × (1 + r arriba )..." y "Δ × S abajo - B × (1 + r abajo )...". Ver Valoración de opciones reales § Consideraciones técnicas . (Otro caso en el que los supuestos del modelo pueden apartarse de la fijación de precios racional es la valoración de las opciones sobre acciones de los empleados ).
Aquí el valor de la opción se calcula utilizando el supuesto de neutralidad del riesgo . Bajo este supuesto, se descuenta el " valor esperado " (a diferencia del valor "bloqueado") . El valor esperado se calcula utilizando los valores intrínsecos de los dos últimos nodos: "Opción arriba" y "Opción abajo", con u y d como multiplicadores de precio como se indicó anteriormente. Luego, estos se ponderan por sus respectivas probabilidades: "probabilidad" p de un movimiento alcista en el subyacente y "probabilidad" (1-p) de un movimiento a la baja. Luego, el valor esperado se descuenta a r , la tasa libre de riesgo .
Tenga en cuenta que la fórmula neutral al riesgo no se refiere al rendimiento esperado o pronosticado del subyacente, ni a su volatilidad ; p, tal como se resuelve, se relaciona con la medida neutral al riesgo en contraposición a la distribución de probabilidad real de los precios. Sin embargo, tanto la fijación de precios sin arbitraje como la valoración neutral al riesgo ofrecen resultados idénticos. De hecho, se puede demostrar que la "cobertura delta" y la "valoración neutral al riesgo" utilizan fórmulas idénticas expresadas de manera diferente. Dada esta equivalencia, es válido asumir la "neutralidad del riesgo" al fijar el precio de los derivados. Una relación más formal se describe a través del teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje .
La teoría de la fijación de precios de arbitraje (APT), una teoría general de la fijación de precios de activos , se ha vuelto influyente en la fijación de precios de las acciones . APT sostiene que el rendimiento esperado de un activo financiero se puede modelar como una función lineal de varios factores macroeconómicos , donde la sensibilidad a los cambios en cada factor está representada por un coeficiente beta específico del factor :
La tasa de rendimiento derivada del modelo se utilizará luego para fijar el precio del activo correctamente: el precio del activo debe ser igual al precio esperado al final del período descontado a la tasa implícita en el modelo. Si el precio diverge, el arbitraje debería volver a alinearlo. Aquí, para realizar el arbitraje, el inversor "crea" un activo con el precio correcto (un activo sintético ), una cartera con la misma exposición neta a cada uno de los factores macroeconómicos que el activo con el precio incorrecto pero con un rendimiento esperado diferente. Consulte el artículo sobre la teoría de precios de arbitraje para obtener detalles sobre la construcción de la cartera. El arbitrajista está entonces en condiciones de obtener un beneficio libre de riesgo de la siguiente manera:
Tenga en cuenta que bajo el "arbitraje verdadero", el inversor asegura un pago garantizado , mientras que bajo el arbitraje APT, el inversor asegura un pago esperado positivo . Por lo tanto, la APT supone un "arbitraje en las expectativas", es decir, que el arbitraje por parte de los inversores hará que los precios de los activos vuelvan a estar en línea con los rendimientos esperados por el modelo.
El modelo de valoración de activos de capital (CAPM) es una teoría anterior y (más) influyente sobre la valoración de activos. Aunque se basa en supuestos diferentes, el CAPM puede, en cierto modo, considerarse un "caso especial" de la APT; Específicamente, la línea de mercado de valores del CAPM representa un modelo de un solo factor del precio de los activos, donde beta es la exposición a cambios en el "valor del mercado" en su conjunto.
Los métodos de valoración clásicos como el modelo de Black-Scholes o el modelo de Merton no pueden tener en cuenta el riesgo de contraparte sistémico que está presente en sistemas con interconexión financiera. [2] Puede encontrar más detalles sobre la valoración de activos y derivados neutrales al riesgo y sin arbitraje en el artículo sobre riesgo sistémico (ver también valoración en riesgo sistémico ).
