Medida neutral al riesgo

Medida de probabilidad

En finanzas matemáticas , una medida neutral al riesgo (también llamada medida de equilibrio o medida martingala equivalente ) es una medida de probabilidad tal que el precio de cada acción es exactamente igual a la expectativa descontada del precio de la acción según esta medida. Esto se utiliza mucho en la fijación de precios de derivados financieros debido al teorema fundamental de la fijación de precios de activos , que implica que en un mercado completo , el precio de un derivado es el valor esperado descontado del pago futuro según la medida única neutral al riesgo. ^[1] Tal medida existe si y sólo si el mercado está libre de arbitraje.

Una medida neutral al riesgo es una medida de probabilidad.

La forma más fácil de recordar cuál es la medida neutral al riesgo, o de explicársela a un generalista de probabilidades que tal vez no sepa mucho sobre finanzas, es darse cuenta de que es:

1. La medida de probabilidad de una variable aleatoria transformada. Normalmente, esta transformación es la función de utilidad del pago. La medida neutral al riesgo sería la medida correspondiente a una expectativa de pago con una utilidad lineal.
2. Una medida de probabilidad implícita , es decir, implícita a partir de los precios actuales observables/publicados/negociados de los instrumentos relevantes. Relevantes significa aquellos instrumentos que están causalmente vinculados a los eventos en el espacio de probabilidad bajo consideración (es decir, precios subyacentes más derivados), y
3. Es la medida de probabilidad implícita (resuelve una especie de problema inverso) que se define utilizando una utilidad lineal (neutral al riesgo) en el pago, suponiendo algún modelo conocido para el pago. Esto significa que se intenta encontrar la medida neutral al riesgo resolviendo la ecuación donde los precios actuales son el valor presente esperado de los pagos futuros según la medida neutral al riesgo. El concepto de una medida única neutral al riesgo es más útil cuando uno imagina establecer precios a través de una serie de derivados que constituirían una medida única neutral al riesgo, ya que implica un tipo de consistencia en los precios hipotéticos no negociados, y teóricamente apunta al arbitraje. oportunidades en mercados donde los precios de oferta y demanda son visibles.

También vale la pena señalar que en la mayoría de las aplicaciones introductorias en finanzas, los pagos bajo consideración son deterministas dado el conocimiento de los precios en algún momento terminal o futuro. Esto no es estrictamente necesario para hacer uso de estas técnicas.

Motivar el uso de medidas neutrales al riesgo

Los precios de los activos dependen crucialmente de su riesgo , ya que los inversores normalmente exigen más ganancias por asumir más riesgos. Por lo tanto, el precio actual de un derecho sobre un importe riesgoso realizado mañana generalmente diferirá de su valor esperado. Lo más común es que los inversores sean reacios al riesgo y el precio actual esté por debajo de las expectativas, lo que remunera a quienes asumen el riesgo (al menos en los grandes mercados financieros ; ejemplos de mercados que buscan riesgos son los casinos y las loterías ).

En consecuencia, para fijar el precio de los activos , los valores esperados calculados deben ajustarse a las preferencias de riesgo del inversor (véase también el índice de Sharpe ). Desafortunadamente, las tasas de descuento variarían entre los inversores y la preferencia de riesgo de un individuo es difícil de cuantificar.

Resulta que en un mercado completo sin oportunidades de arbitraje existe una forma alternativa de hacer este cálculo: en lugar de tomar primero las expectativas y luego ajustarlas según la preferencia de riesgo del inversor, se pueden ajustar, de una vez por todas, las probabilidades de futuros resultados tales que incorporen las primas de riesgo de todos los inversores y luego tomen las expectativas bajo esta nueva distribución de probabilidad, la medida neutral al riesgo . El principal beneficio surge del hecho de que una vez que se encuentran las probabilidades neutrales al riesgo, se puede fijar el precio de cada activo simplemente tomando el valor presente de su pago esperado. Tenga en cuenta que si utilizáramos las probabilidades reales del mundo real, cada valor requeriría un ajuste diferente (ya que difieren en su riesgo).

La ausencia de arbitraje es crucial para la existencia de una medida neutral al riesgo. De hecho, según el teorema fundamental de la fijación de precios de activos , la condición de no arbitraje equivale a la existencia de una medida neutral al riesgo. La integridad del mercado también es importante porque en un mercado incompleto hay una multitud de precios posibles para un activo correspondientes a diferentes medidas neutrales al riesgo. Es habitual sostener que la eficiencia del mercado implica que sólo hay un precio (la " ley del precio único "); la medida correcta y neutral al riesgo para el precio, que debe seleccionarse utilizando argumentos económicos, en lugar de argumentos puramente matemáticos.

Un error común es confundir la distribución de probabilidad construida con la probabilidad del mundo real. Serán diferentes porque en el mundo real los inversores exigen primas de riesgo, mientras que se puede demostrar que, según las probabilidades neutrales al riesgo, todos los activos tienen la misma tasa de rendimiento esperada, la tasa libre de riesgo (o tasa corta ) y, por lo tanto, no incorpore dichas primas. El método de fijación de precios neutral al riesgo debe considerarse como muchas otras herramientas computacionales útiles: convenientes y poderosas, aunque parezcan artificiales.

Definición

Medida martingala equivalente

Sea un mercado d-dimensional que represente los procesos de precios de los activos riesgosos, el bono libre de riesgo y el espacio de probabilidad subyacente. Entonces una medida se llama medida martingala equivalente (local) si ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle Q}$

1. ${\displaystyle Q\approx P}$, es decir, es equivalente a , ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$
2. los procesos son martingalas (locales) wrt . ^[2] ${\displaystyle \left({\frac {S_{t}^{i}}{B_{t}}}\right)_{t}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \forall \,i=1,\dots ,d}$

Medida neutral al riesgo

Las medidas neutrales al riesgo facilitan la expresión del valor de un derivado en una fórmula. Supongamos que en un momento futuro un derivado (por ejemplo, una opción de compra sobre una acción ) paga unidades, donde es una variable aleatoria en el espacio de probabilidad que describe el mercado. Supongamos además que el factor de descuento desde ahora (tiempo cero) hasta el tiempo es . Entonces el valor razonable actual del derivado es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{T}}$ ${\displaystyle H_{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle DF(0,T)}$

${\displaystyle H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{Q}(H_{T}).}$

donde cualquier medida martingala que resuelva la ecuación es una medida neutral al riesgo. ${\displaystyle Q}$

Cambio de medida

Esto puede reformularse en términos de una medida alternativa P como

${\displaystyle H_{0}=\operatorname {E} _{Q}\left(H_{0}\right)=\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{0}\right)={\frac {dQ}{dP}}H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{T}\right)}$

¿Dónde está la derivada de Radon-Nikodym con respecto a y, por lo tanto, sigue siendo una martingala? ^[3] ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Si en un mercado financiero hay sólo una medida neutral al riesgo, entonces hay un precio único libre de arbitraje para cada activo en el mercado. Este es el teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje . Si hay más medidas de este tipo, entonces en un intervalo de precios no es posible ningún arbitraje. Si no existe una medida de martingala equivalente, sí existen oportunidades de arbitraje.

En mercados con costos de transacción, sin numerario , el proceso de fijación de precios consistente reemplaza la medida martingala equivalente. De hecho, existe una relación de 1 a 1 entre un proceso de fijación de precios consistente y una medida martingala equivalente.

Ejemplo 1: modelo binomial de precios de acciones

Dado un espacio de probabilidad , considere un modelo binomial de un solo período, denote el precio inicial de las acciones como y el precio de las acciones en el momento 1 como que puede tomar aleatoriamente posibles valores: si la acción sube o si baja. Finalmente, denotemos la tasa libre de riesgo. Estas cantidades deben satisfacerse ; de ​​lo contrario, habrá arbitraje en el mercado y un agente podrá generar riqueza a partir de la nada. ^[4] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S^{u}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle S^{d}\leq (1+r)S_{0}\leq S^{u}}$

Una medida de probabilidad se llama neutral al riesgo si se puede escribir como . Resolviendo encontramos que la probabilidad neutral al riesgo de un movimiento alcista de las acciones está dada por el número ${\displaystyle \mathbb {P} ^{*}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle S_{0}=\mathbb {E} _{\mathbb {P} ^{*}}(S_{1}/(1+r))}$ ${\displaystyle S_{0}(1+r)=\pi S^{u}+(1-\pi )S^{d}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi ={\frac {(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}}.}$^[5]

Dado un derivado con rentabilidad cuando el precio de la acción sube y cuando baja, podemos fijar el precio del derivado mediante ${\displaystyle X^{u}}$ ${\displaystyle X^{d}}$

${\displaystyle X={\frac {\pi X^{u}+(1-\pi )X^{d}}{1+r}}.}$

Ejemplo 2: modelo de movimiento browniano de los precios de las acciones

Supongamos que nuestra economía consta de 2 activos, una acción y un bono libre de riesgo , y que utilizamos el modelo de Black-Scholes . En el modelo, la evolución del precio de las acciones se puede describir mediante el movimiento browniano geométrico :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

donde es un movimiento browniano estándar con respecto a la medida física. si definimos ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}+{\frac {\mu -r}{\sigma }}t,}$

El teorema de Girsanov establece que existe una medida bajo la cual se produce un movimiento browniano. Se conoce como precio de mercado del riesgo . Utilizando reglas dentro del cálculo de Itô , uno puede diferenciar informalmente con respecto a la expresión anterior y reorganizarla para derivar el SDE. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {\mu -r}{\sigma }}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}-{\frac {\mu -r}{\sigma }}\,dt,}$

Vuelva a colocar esto en la ecuación original:

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

Sea el precio de las acciones descontado dado por , luego por el lema de Ito obtenemos el SDE: ${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}=e^{-rt}S_{t}}$

${\displaystyle d{\tilde {S}}_{t}=\sigma {\tilde {S}}_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

${\displaystyle Q}$es la única medida neutral al riesgo para el modelo. El proceso de pago descontado de un derivado sobre acciones es una martingala según . Observe que la deriva de la SDE es la tasa de interés libre de riesgo , lo que implica neutralidad del riesgo. Dado que y son -martingalas, podemos invocar el teorema de representación de martingala para encontrar una estrategia de replicación : una cartera de acciones y bonos que rinda frutos en todo momento . ${\displaystyle H_{t}=\operatorname {E} _{Q}(H_{T}|F_{t})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle H_{t}}$ ${\displaystyle t\leq T}$

Origen de la medida neutral al riesgo

Es natural preguntarse cómo surge una medida neutral al riesgo en un mercado libre de arbitraje. De alguna manera los precios de todos los activos determinarán una medida de probabilidad. Una explicación se da mediante la utilización de la seguridad Arrow . Para simplificar, consideremos un mundo discreto (incluso finito) con un solo horizonte temporal futuro. En otras palabras, existe el presente (tiempo 0) y el futuro (tiempo 1), y en el tiempo 1 el estado del mundo puede ser uno de un número finito de estados. Un valor Arrow correspondiente al estado n , An _, es aquel que paga $1 en el momento 1 en el estado n y $0 en cualquiera de los demás estados del mundo.

¿Cuál es el precio de A _n ahora? Debe ser positivo ya que existe la posibilidad de que gane 1 dólar; debe ser inferior a 1 dólar, ya que ese es el máximo beneficio posible. Así _, el precio de cada An , que denotamos por _An ( 0) , está estrictamente entre 0 y 1.

En realidad, la suma de todos los precios de los valores debe ser igual al valor presente de 1 dólar, porque mantener una cartera compuesta por cada valor de Arrow dará como resultado un pago seguro de 1 dólar. Considere una rifa en la que un solo boleto gana un premio de todas las tarifas de entrada: si el premio es $1, la tarifa de entrada será 1/número de boletos. Para simplificar, consideraremos que la tasa de interés es 0, de modo que el valor presente de $1 es $1.

_{Por tanto ,} los An (0) satisfacen los axiomas de una distribución de probabilidad. Cada uno de ellos no es negativo y su suma es 1. ¡Ésta es la medida neutral al riesgo! Ahora queda demostrar que funciona como se anuncia, es decir, tomando los valores esperados con respecto a esta medida de probabilidad se obtendrá el precio correcto en el momento 0.

Supongamos que tiene un valor C cuyo precio en el momento 0 es C(0) . En el futuro, en un estado i , su pago será C _i . Considere una cartera P que consta de Ci cantidad de cada valor _de Arrow Ai _. En el futuro, cualquiera que sea el estado i , entonces Ai _paga $1 mientras que los otros valores de Arrow pagan $0, por lo que P pagará Ci _. En otras palabras, la cartera P replica el pago de C independientemente de lo que suceda en el futuro. La falta de oportunidades de arbitraje implica que el precio de P y C debe ser el mismo ahora, ya que cualquier diferencia de precio significa que podemos, sin ningún riesgo, vender (en corto) el más caro, comprar el más barato y embolsarnos la diferencia. En el futuro necesitaremos devolver el activo vendido en corto, pero podemos financiarlo exactamente vendiendo nuestro activo comprado, dejándonos con nuestra ganancia inicial.

Al considerar el precio de cada valor de Arrow como una probabilidad , vemos que el precio de la cartera P(0) es el valor esperado de C según las probabilidades neutrales al riesgo. Si la tasa de interés R no fuera cero, necesitaríamos descontar adecuadamente el valor esperado para obtener el precio. En particular, la cartera que consta de cada valor de Arrow ahora tiene un valor presente de , por lo que la probabilidad neutral al riesgo del estado i se multiplica por el precio de cada valor de Arrow A _i , o su precio a plazo . ${\displaystyle {\frac {1}{1+R}}}$ ${\displaystyle (1+R)}$

Tenga en cuenta que en realidad no es necesario negociar los valores de Arrow en el mercado. Aquí es donde entra en juego la integridad del mercado. En un mercado completo, cada valor de Arrow se puede replicar utilizando una cartera de activos reales negociados. El argumento anterior todavía funciona considerando cada valor de Arrow como una cartera.

En un modelo más realista, como el modelo de Black-Scholes y sus generalizaciones, nuestro valor Arrow sería algo así como una opción digital doble , que paga 1 dólar cuando el activo subyacente se encuentra entre un límite superior e inferior, y 0 dólares en caso contrario. El precio de dicha opción refleja entonces la visión del mercado sobre la probabilidad de que el precio spot termine en ese intervalo de precios, ajustado por las primas de riesgo, de manera totalmente análoga a cómo obtuvimos las probabilidades anteriores para el mundo discreto de un paso.

Ver también

• Modelo browniano de mercados financieros
• Análisis de reclamaciones contingentes
• medida hacia adelante
• Teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje
• Ley de un precio
• Precios de martingala
• Martingala (teoría de la probabilidad)
• finanzas matemáticas
• Precios racionales
• Medida de martingala de entropía mínima

Notas

1. Glyn A. Holton (2005). "Teorema fundamental de la fijación del precio de los activos". Riskglossary.com . Consultado el 20 de octubre de 2011 .
2. Björk, Tomas (2004). Teoría del arbitraje en el Tiempo Continuo . Nueva York: Oxford University Press. págs. 136 y sigs. ISBN 978-0-19-927126-9.
3. Hans Föllmer; Alejandro Schied (2004). Finanzas estocásticas: una introducción en tiempo discreto (2 ed.). Walter de Gruyter. pag. 6.ISBN​ 978-3-11-018346-7.
4. Shreve, Steven E. Cálculo estocástico para finanzas I El modelo binomial de valoración de activos. págs. 2–3. ISBN 978-0-387-22527-2. OCLC  1184505221.
5. Elliott, Robert James; Kopp, PE (2005). Matemáticas de los mercados financieros (2 ed.). Saltador. págs. 48–50. ISBN 978-0-387-21292-0.

enlaces externos

• Gisiger, Nicolas: Explicación de las probabilidades neutrales al riesgo
• Tham, Joseph: Valoración neutral al riesgo: una suave introducción , Parte II