Negro–Derman–Modelo de juguete

En finanzas matemáticas , el modelo Black-Derman-Toy ( BDT ) es un modelo popular de tasa corta utilizado en la fijación de precios de opciones sobre bonos , swaptions y otros derivados de tasas de interés ; ver Modelo de celosía (finanzas) § Derivados de tipos de interés . Es un modelo de un factor; es decir, un único factor estocástico –el tipo de interés a corto plazo– determina la evolución futura de todos los tipos de interés. Fue el primer modelo que combinó el comportamiento de reversión a la media del tipo de interés corto con la distribución log-normal , ^[1] y todavía se utiliza ampliamente. ^{[2] [3]}

Historia

El modelo fue presentado por Fischer Black , Emanuel Derman y Bill Toy. Fue desarrollado por primera vez para uso interno por Goldman Sachs en la década de 1980 y se publicó en el Financial Analysts Journal en 1990. En las memorias de Emanuel Derman , My Life as a Quant, se proporciona un relato personal del desarrollo del modelo . ^[4]

Fórmulas

Bajo BDT, utilizando una red binomial , se calibran los parámetros del modelo para que se ajusten tanto a la estructura temporal actual de las tasas de interés ( curva de rendimiento ) como a la estructura de volatilidad para los topes de las tasas de interés (generalmente como lo implican los precios de Black-76 para cada componente). comprimido); ver a un lado. Utilizando la red calibrada se pueden valorar una variedad de valores y derivados de tipos de interés más complejos sensibles a los tipos de interés .

Aunque inicialmente se desarrolló para un entorno basado en celosías, se ha demostrado que el modelo implica la siguiente ecuación diferencial estocástica continua : ^{[1] [5]}

${\displaystyle d\ln(r)=\left[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)\right]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$

dónde,

${\displaystyle r\,}$= la tasa corta instantánea en el tiempo t

${\displaystyle \theta _{t}\,}$= valor del activo subyacente al vencimiento de la opción

${\displaystyle \sigma _{t}\,}$= volatilidad instantánea de las tasas a corto plazo

${\displaystyle W_{t}\,}$= un movimiento browniano estándar bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo ; su diferencial . ${\displaystyle dW_{t}\,}$

Para una volatilidad constante (independiente del tiempo) de los tipos de interés a corto plazo, el modelo es: ${\displaystyle \sigma \,}$

${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

Una de las razones por las que el modelo sigue siendo popular es que los algoritmos "estándar" de búsqueda de raíces , como el método de Newton (el método de la secante ) o la bisección , se aplican muy fácilmente a la calibración. ^[6] De manera relacionada, el modelo se describió originalmente en lenguaje algorítmico y no utilizando cálculo estocástico o martingalas . ^[7]

Referencias

Notas

1. "Impacto de diferentes modelos de tipos de interés en las medidas del valor de los bonos, G, Buetow et al" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de octubre de 2011 . Consultado el 21 de julio de 2011 .
2. Análisis de renta fija , p. 410, en libros de Google
3. "Guía profesional de especialidad actuarial de la Sociedad de Actuarios Gestión de activos y pasivos" (PDF) . soa.org . Consultado el 19 de marzo de 2024 .
4. "Mi vida como cuántica: reflexiones sobre física y finanzas". Archivado desde el original el 28 de marzo de 2010 . Consultado el 26 de abril de 2010 .
5. "Black-Derman-Toy (BDT)". Archivado desde el original el 24 de mayo de 2016 . Consultado el 14 de junio de 2010 .
6. Phelim Boyle , Ken Seng Tan y Weidong Tian (2001). Calibración del modelo Black-Derman-Toy: algunos resultados teóricos, Applied Mathematical Finance 8, 27-48 (2001)
7. "Entrevista individual con Emanuel Derman (Noticias de ingeniería financiera)" . Consultado el 9 de junio de 2021 .

Artículos

• Benninga, S.; Wiener, Z. (1998). "Modelos de estructura de términos binomiales" (PDF) . Matemática en Educación e Investigación : vol.7 No. 3.
• Negro, F.; Derman, E.; Toy, W. (enero-febrero de 1990). "Un modelo unifactorial de tipos de interés y su aplicación a las opciones de bonos del Tesoro" (PDF) . Revista de analistas financieros : 24–32. Archivado desde el original (PDF) el 10 de septiembre de 2008.
• Boyle, P .; Bronceado, K.; Tian, ​​W. (2001). "Calibración del modelo Black-Derman-Toy: algunos resultados teóricos" (PDF) . Finanzas matemáticas aplicadas : 8, 27–48. Archivado desde el original (PDF) el 22 de abril de 2012.
• Casco, J. (2008). "El modelo negro, Derman y Toy" (PDF) . Nota Técnica N° 23, Opciones, Futuros y Otros Derivados. Archivado desde el original (PDF) el 29 de enero de 2011 . Consultado el 8 de abril de 2011 .
• Klose, C.; Li CY (2003). «Implementación del Modelo Black, Derman y Toy» (PDF) . Seminario Ingeniería Financiera, Universidad de Viena.

enlaces externos

• Función R para calcular el árbol de tasas cortas Black–Derman–Toy, Andrea Ruberto
• En línea: Generador de árboles de tasa corta de Black–Derman–Toy Dr. Shing Hing Man, Gestión de riesgos de Thomson-Reuters
• En línea: Fijación del precio de un bono utilizando el modelo BDT Dr. Shing Hing Man, Gestión de riesgos de Thomson-Reuters
• Calculadora Excel BDT y generador de árboles, Serkan Gur