Ecuaciones de movimiento

Ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema físico.

${\displaystyle v}$Gráfico vs para una partícula en movimiento bajo una aceleración no uniforme . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$

En física , las ecuaciones de movimiento son ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema físico en términos de su movimiento en función del tiempo. ^[1] Más específicamente, las ecuaciones de movimiento describen el comportamiento de un sistema físico como un conjunto de funciones matemáticas en términos de variables dinámicas. Estas variables suelen ser coordenadas espaciales y tiempo, pero pueden incluir componentes de impulso . La elección más general son las coordenadas generalizadas , que pueden ser cualquier variable conveniente característica del sistema físico. ^[2] Las funciones se definen en un espacio euclidiano en la mecánica clásica , pero son reemplazadas por espacios curvos en la relatividad . Si se conoce la dinámica de un sistema, las ecuaciones son las soluciones de las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la dinámica.

Tipos

Hay dos descripciones principales del movimiento: dinámica y cinemática . La dinámica es general, ya que se tienen en cuenta los momentos, fuerzas y energía de las partículas . En este caso, a veces el término dinámica se refiere a las ecuaciones diferenciales que satisface el sistema (por ejemplo, la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange ) y, a veces, a las soluciones de esas ecuaciones.

Sin embargo, la cinemática es más sencilla. Se refiere únicamente a variables derivadas de las posiciones de los objetos y del tiempo. En circunstancias de aceleración constante, estas ecuaciones de movimiento más simples generalmente se denominan ecuaciones SUVAT, que surgen de las definiciones de cantidades cinemáticas : desplazamiento ( s ), velocidad inicial ( u ), velocidad final ( v ), aceleración ( a ), y tiempo ( t ).

Para establecer una ecuación para el problema se utiliza una ecuación diferencial de movimiento, generalmente identificada como alguna ley física (por ejemplo, F = ma) y que aplica definiciones de cantidades físicas . ^{[ se necesita aclaración ]} Resolver la ecuación diferencial conducirá a una solución general con constantes arbitrarias, correspondiendo la arbitrariedad a una familia de soluciones. Se puede obtener una solución particular estableciendo los valores iniciales , que fijan los valores de las constantes.

Para expresar esto formalmente, en general una ecuación de movimiento M es función de la posición r del objeto, su velocidad (la primera derivada de r , v =dr​/dt), y su aceleración (la segunda derivada de r , a =re ² r/dt ²), y el tiempo t . Los vectores euclidianos en 3D se indican en negrita. Esto equivale a decir que una ecuación de movimiento en r es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de segundo orden en r ,

$${\displaystyle M\left[\mathbf {r} (t),\mathbf {\dot {r}} (t),\mathbf {\ddot {r}} (t),t\right]=0\,,}$$

donde t es el tiempo y cada punto superior denota una derivada del tiempo . Las condiciones iniciales están dadas por los valores constantes en t = 0 ,

$${\displaystyle \mathbf {r} (0)\,,\quad \mathbf {\dot {r}} (0)\,.}$$

La solución r ( t ) de la ecuación de movimiento, con valores iniciales especificados, describe el sistema para todos los tiempos t después de t = 0 . Otras variables dinámicas como el momento p del objeto, o cantidades derivadas de r y p como el momento angular , se pueden usar en lugar de r como cantidad a resolver a partir de alguna ecuación de movimiento, aunque la posición del objeto en el tiempo t es, con diferencia, la cantidad más buscada.

A veces, la ecuación será lineal y es más probable que tenga solución exacta. En general, la ecuación será no lineal y no se puede resolver exactamente, por lo que se deben utilizar diversas aproximaciones. Las soluciones de ecuaciones no lineales pueden mostrar un comportamiento caótico dependiendo de qué tan sensible sea el sistema a las condiciones iniciales.

Historia

La cinemática, la dinámica y los modelos matemáticos del universo se desarrollaron progresivamente a lo largo de tres milenios, gracias a muchos pensadores, de cuyos nombres sólo conocemos algunos. En la antigüedad, sacerdotes , astrólogos y astrónomos predecían los eclipses solares y lunares , los solsticios y los equinoccios del Sol y el período de la Luna . Pero no tenían nada más que un conjunto de algoritmos para guiarlos. Las ecuaciones de movimiento no fueron escritas hasta dentro de mil años.

Los eruditos medievales del siglo XIII (por ejemplo, en las universidades relativamente nuevas de Oxford y París) se inspiraron en los antiguos matemáticos (Euclides y Arquímedes) y filósofos (Aristóteles) para desarrollar un nuevo cuerpo de conocimientos, ahora llamado física.

En Oxford, Merton College albergó a un grupo de académicos dedicados a las ciencias naturales, principalmente física, astronomía y matemáticas, que eran de estatura similar a los intelectuales de la Universidad de París. Thomas Bradwardine amplió cantidades aristotélicas como la distancia y la velocidad, y les asignó intensidad y extensión. Bradwardine sugirió una ley exponencial que involucra fuerza, resistencia, distancia, velocidad y tiempo. Nicholas Oresme amplió aún más los argumentos de Bradwardine. La escuela de Merton demostró que la cantidad de movimiento de un cuerpo que experimenta un movimiento uniformemente acelerado es igual a la cantidad de movimiento uniforme a la velocidad alcanzada a la mitad del movimiento acelerado.

Para los escritores de cinemática anteriores a Galileo , dado que no se podían medir intervalos de tiempo pequeños, la afinidad entre tiempo y movimiento era oscura. Utilizaron el tiempo en función de la distancia, y en caída libre, mayor velocidad como resultado de una mayor elevación. Sólo Domingo de Soto , teólogo español, en su comentario a la Física de Aristóteles publicado en 1545, después de definir el movimiento "uniforme difuso" (que es un movimiento uniformemente acelerado) -no se utilizó la palabra velocidad- como proporcional al tiempo, declaró correctamente que este tipo de movimiento era identificable con cuerpos y proyectiles en caída libre, sin que él probara estas proposiciones ni sugiriera una fórmula que relacionara el tiempo, la velocidad y la distancia. Los comentarios de De Soto son notablemente correctos con respecto a las definiciones de aceleración (la aceleración era una tasa de cambio del movimiento (velocidad) en el tiempo) y la observación de que la aceleración sería negativa durante el ascenso.

Discursos como estos se extendieron por toda Europa, dando forma al trabajo de Galileo Galilei y otros, y ayudaron a sentar las bases de la cinemática. ^[3] Galileo dedujo la ecuación s =1/2gt ² en su trabajo geométricamente, ^[4] utilizando la regla de Merton , ahora conocida como un caso especial de una de las ecuaciones de la cinemática.

Galileo fue el primero en demostrar que la trayectoria de un proyectil es una parábola . Galileo comprendía la fuerza centrífuga y dio una definición correcta de impulso . Este énfasis en el impulso como cantidad fundamental en dinámica es de primordial importancia. Midió el impulso mediante el producto de la velocidad y el peso; La masa es un concepto posterior, desarrollado por Huygens y Newton. En el movimiento de un péndulo simple, Galileo dice en Discursos ^[5] que "cada momento adquirido en el descenso a lo largo de un arco es igual al que hace que el mismo cuerpo en movimiento ascienda a través del mismo arco". Su análisis de los proyectiles indica que Galileo había comprendido la primera ley y la segunda ley del movimiento. No los generalizó ni los hizo aplicables a cuerpos no sujetos a la gravitación terrestre. Ese paso fue la contribución de Newton.

El término "inercia" fue utilizado por Kepler y lo aplicó a los cuerpos en reposo. (La primera ley del movimiento ahora se llama a menudo ley de inercia.)

Galileo no comprendió plenamente la tercera ley del movimiento, la ley de igualdad de acción y reacción, aunque corrigió algunos errores de Aristóteles. Con Stevin y otros, Galileo también escribió sobre estática. Formuló el principio del paralelogramo de fuerzas, pero no reconoció plenamente su alcance.

Galileo también se interesó por las leyes del péndulo, cuyas primeras observaciones fueron cuando era joven. En 1583, mientras rezaba en la catedral de Pisa, su atención fue captada por el movimiento de la gran lámpara encendida y dejada oscilando, haciendo referencia a su propio pulso para llevar el tiempo. Para él, el período parecía el mismo, incluso después de que el movimiento había disminuido considerablemente, descubriendo el isocronismo del péndulo.

Experimentos más cuidadosos realizados por él más tarde, y descritos en sus Discursos, revelaron que el período de oscilación varía con la raíz cuadrada de la longitud, pero es independiente de la masa del péndulo.

Llegamos así a René Descartes , Isaac Newton , Gottfried Leibniz , et al.; y las formas evolucionadas de las ecuaciones de movimiento que comienzan a reconocerse como las modernas.

Posteriormente las ecuaciones de movimiento también aparecieron en la electrodinámica , al describir el movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos, la fuerza de Lorentz es la ecuación general que sirve como definición de lo que se entiende por campo eléctrico y campo magnético . Con el advenimiento de la relatividad especial y la relatividad general , las modificaciones teóricas del espacio-tiempo significaron que las ecuaciones clásicas del movimiento también se modificaron para tener en cuenta la velocidad finita de la luz y la curvatura del espacio-tiempo . En todos estos casos, las ecuaciones diferenciales estaban en términos de una función que describía la trayectoria de la partícula en términos de coordenadas espaciales y temporales, influenciadas por fuerzas o transformaciones de energía. ^[6]

Sin embargo, las ecuaciones de la mecánica cuántica también pueden considerarse "ecuaciones de movimiento", ya que son ecuaciones diferenciales de la función de onda , que describe cómo se comporta un estado cuántico de manera análoga utilizando las coordenadas espaciales y temporales de las partículas. Existen analogías de ecuaciones de movimiento en otras áreas de la física, para conjuntos de fenómenos físicos que pueden considerarse ondas, fluidos o campos.

Ecuaciones cinemáticas para una partícula.

Cantidades cinemáticas

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica de masa m : posición r , velocidad v , aceleración a .

Desde la posición instantánea r = r ( t ) , significado instantáneo en un valor instantáneo del tiempo t , la velocidad instantánea v = v ( t ) y la aceleración a = a ( t ) tienen definiciones generales independientes de las coordenadas; ^[7]

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$

Observe que la velocidad siempre apunta en la dirección del movimiento; en otras palabras, para una trayectoria curva es el vector tangente . En términos generales, las derivadas de primer orden están relacionadas con tangentes de curvas. También en trayectorias curvas, la aceleración se dirige hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Nuevamente, en términos generales, las derivadas de segundo orden están relacionadas con la curvatura.

Los análogos rotacionales son el "vector angular" (ángulo en el que la partícula gira alrededor de algún eje) θ = θ ( t ) , velocidad angular ω = ω ( t ) , y aceleración angular α = α ( t ) :

θ = θ n ^ , ω = re θ re t , α = re ω re t , {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\ negritasymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,,}

donde n̂ es un vector unitario en la dirección del eje de rotación, y θ es el ángulo que gira el objeto alrededor del eje.

La siguiente relación es válida para una partícula puntual que orbita alrededor de algún eje con velocidad angular ω : ^[8]

v = ω × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }

donde r es el vector de posición de la partícula (radial al eje de rotación) yv la velocidad tangencial de la partícula. Para un cuerpo rígido continuo en rotación , estas relaciones se mantienen para cada punto del cuerpo rígido.

Aceleración uniforme

La ecuación diferencial del movimiento de una partícula de aceleración constante o uniforme en línea recta es simple: la aceleración es constante, por lo que la segunda derivada de la posición del objeto es constante. Los resultados de este caso se resumen a continuación.

Aceleración de traslación constante en línea recta.

Estas ecuaciones se aplican a una partícula que se mueve linealmente, en tres dimensiones, en línea recta con aceleración constante . ^[9] Dado que la posición, la velocidad y la aceleración son colineales (paralelas y se encuentran en la misma línea), solo las magnitudes de estos vectores son necesarias, y debido a que el movimiento es a lo largo de una línea recta, el problema se reduce efectivamente desde tres dimensiones. a uno.

$${\displaystyle {\begin{aligned}v&=at+v_{0}&[1]\\r&=r_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[2]\\r&=r_{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(v+v_{0}\right)t&[3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\r&=r_{0}+vt-{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[5]\\\end{aligned}}}$$

dónde:

• r ₀ es la posición inicial de la partícula
• r es la posición final de la partícula
• v ₀ es la velocidad inicial de la partícula
• v es la velocidad final de la partícula
• a es la aceleración de la partícula
• t es el intervalo de tiempo

Derivación

Las ecuaciones [1] y [2] provienen de la integración de las definiciones de velocidad y aceleración, ^[9] sujetas a las condiciones iniciales r ( t ₀ ) = r ₀ y v ( t ₀ ) = v ₀ ;

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\int \mathbf {a} dt=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}\,,&[1]\\\mathbf {r} &=\int (\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0})dt={\frac {\mathbf {a} t^{2}}{2}}+\mathbf {v} _{0}t+\mathbf {r} _{0}\,,&[2]\\\end{aligned}}}$$

en magnitudes,

$${\displaystyle {\begin{aligned}v&=at+v_{0}\,,&[1]\\r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+v_{0}t+r_{0}\,.&[2]\\\end{aligned}}}$$

La ecuación [3] implica la velocidad promediov + v ₀/2. Intuitivamente, la velocidad aumenta linealmente, por lo que la velocidad promedio multiplicada por el tiempo es la distancia recorrida mientras se aumenta la velocidad de v ₀ a v , como se puede ilustrar gráficamente trazando la velocidad contra el tiempo como un gráfico de línea recta. Algebraicamente, se deduce de resolver [1] para

a = ( v − v 0 ) t {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})}{t}}}

y sustituyendo en [2]

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})\,,}$$

luego simplificando para obtener

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0})}$$

o en magnitudes

$${\displaystyle r=r_{0}+\left({\frac {v+v_{0}}{2}}\right)t\quad [3]}$$

De [3],

$${\displaystyle t=\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)}$$

sustituyendo t en [1]:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v&=a\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)+v_{0}\\v\left(v+v_{0}\right)&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}\left(v+v_{0}\right)\\v^{2}+vv_{0}&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}v+v_{0}^{2}\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\\end{aligned}}}$$

De [3],

$${\displaystyle 2\left(r-r_{0}\right)-vt=v_{0}t}$$

sustituyendo en [2]:

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+2r-2r_{0}-vt+r_{0}\\0&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+r-r_{0}-vt\\r&=r_{0}+vt-{\frac {{a}t^{2}}{2}}&[5]\end{aligned}}}$$

Normalmente sólo se necesitan los primeros 4, el quinto es opcional.

Aquí a es una aceleración constante , o en el caso de cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad , se utiliza la gravedad estándar g . Tenga en cuenta que cada una de las ecuaciones contiene cuatro de las cinco variables, por lo que en esta situación es suficiente conocer tres de las cinco variables para calcular las dos restantes.

En física elemental, las mismas fórmulas se escriben frecuentemente en notación diferente como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v&=u+at&[1]\\s&=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[2]\\s&={\tfrac {1}{2}}(u+v)t&[3]\\v^{2}&=u^{2}+2as&[4]\\s&=vt-{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[5]\\\end{aligned}}}$$

donde u ha reemplazado a v ₀ , s reemplaza a r - r ₀ . A menudo se las conoce como ecuaciones SUVAT , donde "SUVAT" es un acrónimo de las variables: s = desplazamiento, u = velocidad inicial, v = velocidad final, a = aceleración, t = tiempo. ^{[10] [11]}

Aceleración lineal constante en cualquier dirección.

Trayectoria de una partícula con vector de posición inicial r ₀ y velocidad v ₀ , sujeta a aceleración constante a , las tres cantidades en cualquier dirección, y la posición r ( t ) y velocidad v ( t ) después del tiempo t .

Los vectores de posición inicial, velocidad inicial y aceleración no necesitan ser colineales, y las ecuaciones de movimiento toman una forma casi idéntica. La única diferencia es que las magnitudes cuadradas de las velocidades requieren el producto escalar . Las derivaciones son esencialmente las mismas que en el caso colineal,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}&[1]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[2]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}\right)t&[3]\\\mathbf {v} ^{2}&=\mathbf {v} _{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)&[4]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[5]\\\end{aligned}}}$$

ecuación de Torricellipropiedad distributiva

$${\displaystyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}}$$

$${\displaystyle (2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}}$$

$${\displaystyle \therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))}$$

Aplicaciones

Ejemplos elementales y frecuentes en cinemática son los proyectiles , por ejemplo una pelota lanzada al aire. Dada la velocidad inicial u , se puede calcular qué tan alto viajará la pelota antes de comenzar a caer. La aceleración es la aceleración local de la gravedad g . Si bien estas cantidades parecen ser escalares , la dirección del desplazamiento, la velocidad y la aceleración son importantes. De hecho, podrían considerarse vectores unidireccionales. Si se elige s para medir desde el suelo, la aceleración a debe ser en realidad −g , ya que la fuerza de gravedad actúa hacia abajo y, por tanto, también la aceleración debida a ella sobre la pelota.

En el punto más alto, la pelota estará en reposo: por tanto v = 0 . Usando la ecuación [4] en el conjunto anterior, tenemos:

$${\displaystyle s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}.}$$

Sustituyendo y cancelando los signos menos se obtiene:

$${\displaystyle s={\frac {u^{2}}{2g}}.}$$

Aceleración circular constante

Los análogos de las ecuaciones anteriores se pueden escribir para rotación . Nuevamente, todos estos vectores axiales deben ser paralelos al eje de rotación, por lo que solo son necesarias las magnitudes de los vectores.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=\omega _{0}+\alpha t\\\theta &=\theta _{0}+\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\theta &=\theta _{0}+{\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t\\\omega ^{2}&=\omega _{0}^{2}+2\alpha (\theta -\theta _{0})\\\theta &=\theta _{0}+\omega t-{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\end{aligned}}}$$

donde α es la aceleración angular constante , ω es la velocidad angular , ω ₀ es la velocidad angular inicial, θ es el ángulo girado ( desplazamiento angular ), θ ₀ es el ángulo inicial y t es el tiempo necesario para girar desde el estado inicial al estado final.

Movimiento plano general

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no se limita al espacio 2D, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

Estas son las ecuaciones cinemáticas para una partícula que recorre una trayectoria en un plano, descrita por la posición r = r ( t ) . ^[12] Son simplemente las derivadas temporales del vector de posición en coordenadas polares planas utilizando las definiciones de cantidades físicas anteriores para la velocidad angular ω y la aceleración angular α . Son cantidades instantáneas que cambian con el tiempo.

La posición de la partícula es

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r(t),\theta (t)\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}}$$

donde ê _r y ê _θ son los vectores unitarios polares . Derivando con respecto al tiempo se obtiene la velocidad.

$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {dr}{dt}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

con componente radialdr./dty un componente adicional rω debido a la rotación. Diferenciando respecto del tiempo nuevamente se obtiene la aceleración

$${\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {dr}{dt}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

que irrumpe en la aceleración radialre ² r/dt ², aceleración centrípeta – rω ² , aceleración de Coriolis 2 ωdr./dt, y aceleración angular rα .

Los casos especiales de movimiento descritos por estas ecuaciones se resumen cualitativamente en la siguiente tabla. Dos ya se han discutido anteriormente, en los casos en que los componentes radiales o los componentes angulares son cero, y el componente del movimiento distinto de cero describe una aceleración uniforme.

Movimientos generales 3D

En el espacio 3D, las ecuaciones en coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) con los correspondientes vectores unitarios ê _r , ê _θ y ê _φ , la posición, la velocidad y la aceleración se generalizan respectivamente a

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} \left(t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}\\\mathbf {v} &=v\mathbf {\hat {e}} _{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+r\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta \mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\\\mathbf {a} &=\left(a-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{r}\\&+\left(r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+2v{\frac {d\theta }{dt}}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\\&+\left(r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,\sin \theta +2v\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta +2r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\end{aligned}}\,\!}$$

En el caso de una constante φ, esto se reduce a las ecuaciones planas anteriores.

Ecuaciones dinámicas de movimiento.

Mecánica newtoniana

La primera ecuación general de movimiento desarrollada fue la segunda ley del movimiento de Newton . En su forma más general, establece que la tasa de cambio del impulso p = p ( t ) = m v ( t ) de un objeto es igual a la fuerza F = F ( x ( t ), v ( t ), t ) que actúa sobre él. , ^{[13] : 1112}

F = re p re t {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}

La fuerza en la ecuación no es la fuerza que ejerce el objeto. Reemplazando el impulso por la masa multiplicada por la velocidad, la ley también se escribe de manera más famosa como

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$$

ya que m es una constante en la mecánica newtoniana .

La segunda ley de Newton se aplica a partículas puntuales y a todos los puntos de un cuerpo rígido . También se aplican a cada punto de un continuo de masa, como sólidos o fluidos deformables, pero se debe tener en cuenta el movimiento del sistema; ver derivada material . En el caso de que la masa no sea constante, no es suficiente usar la regla del producto para la derivada del tiempo sobre la masa y la velocidad, y la segunda ley de Newton requiere alguna modificación consistente con la conservación del momento ; ver sistema de masa variable .

Puede resultar sencillo escribir las ecuaciones de movimiento en forma vectorial utilizando las leyes de movimiento de Newton, pero los componentes pueden variar de maneras complicadas con las coordenadas espaciales y el tiempo, y resolverlas no es fácil. A menudo hay un exceso de variables para resolver el problema por completo, por lo que las leyes de Newton no siempre son la forma más eficiente de determinar el movimiento de un sistema. En casos simples de geometría rectangular, las leyes de Newton funcionan bien en coordenadas cartesianas, pero en otros sistemas de coordenadas pueden volverse dramáticamente complejas.

La forma de impulso es preferible ya que se generaliza fácilmente a sistemas más complejos, como la relatividad especial y general (ver cuatro impulsos ). ^{[13] : 112} También se puede utilizar con la conservación del momento. Sin embargo, las leyes de Newton no son más fundamentales que la conservación del momento, porque las leyes de Newton son simplemente consistentes con el hecho de que una fuerza resultante cero que actúa sobre un objeto implica un momento constante, mientras que una fuerza resultante implica que el momento no es constante. La conservación del momento siempre es cierta para un sistema aislado no sujeto a fuerzas resultantes.

Para varias partículas (ver el problema de muchos cuerpos ), la ecuación de movimiento para una partícula i influenciada por otras partículas es ^{[7] [1]}

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}}$$

donde p _i es el momento de la partícula i , Fi _j es la fuerza sobre la partícula i por la partícula j y F _E es la fuerza externa resultante debida a cualquier agente que no forme parte del sistema. La partícula i no ejerce fuerza sobre sí misma.

Las leyes del movimiento de Euler son similares a las leyes de Newton, pero se aplican específicamente al movimiento de cuerpos rígidos . Las ecuaciones de Newton-Euler combinan las fuerzas y los momentos de torsión que actúan sobre un cuerpo rígido en una sola ecuación.

La segunda ley de Newton para la rotación toma una forma similar al caso traslacional, ^[13]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,,}$$

igualando el par que actúa sobre el cuerpo con la tasa de cambio de su momento angular L. De manera análoga a la masa multiplicada por la aceleración, el momento del tensor de inercia I depende de la distribución de la masa alrededor del eje de rotación, y la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}.}$$

Nuevamente, estas ecuaciones se aplican a partículas puntuales, o en cada punto de un cuerpo rígido.

Asimismo, para varias partículas, la ecuación de movimiento de una partícula i es ^[7]

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,,}$$

donde Li es el momento angular de la partícula i , τ _ij el torque sobre la partícula i por la partícula j , y τ _{E es el} torque externo resultante (debido a cualquier agente que no sea parte del sistema). La partícula i no ejerce torsión sobre sí misma.

Aplicaciones

Algunos ejemplos ^[14] de la ley de Newton incluyen la descripción del movimiento de un péndulo simple ,

$${\displaystyle -mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(\ell \theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \,,}$$

y un oscilador armónico amortiguado y accionado de forma sinusoidal ,

$${\displaystyle F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,.}$$

Para describir el movimiento de masas debido a la gravedad, la ley de gravedad de Newton se puede combinar con la segunda ley de Newton. Para dos ejemplos, una bola de masa m lanzada al aire, en corrientes de aire (como el viento) descritas por un campo vectorial de fuerzas resistivas R = R ( r , t ) ,

$${\displaystyle -{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A} }$$

donde G es la constante gravitacional , M la masa de la Tierra y A =R/metroes la aceleración del proyectil debido a las corrientes de aire en la posición r y el tiempo t .

El problema clásico de N -cuerpos para N partículas, cada una de las cuales interactúa entre sí debido a la gravedad, es un conjunto de N EDO de segundo orden acopladas no lineales,

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})}$$

donde i = 1, 2, ..., N etiqueta las cantidades (masa, posición, etc.) asociadas con cada partícula.

Mecánica analítica

A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (sólo se muestran algunas). El camino tomado por el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria ( δS = 0 ) ante pequeños cambios en la configuración del sistema ( δ q ). ^[15]

No es necesario utilizar las tres coordenadas del espacio 3D si existen restricciones en el sistema. Si el sistema tiene N grados de libertad , entonces se puede utilizar un conjunto de N coordenadas generalizadas q ( t ) = [ q ₁ ( t ), q ₂ ( t )... q _N ( t )] , para definir la configuración. del sistema. Pueden tener la forma de longitudes de arco o ángulos . Son una simplificación considerable para describir el movimiento, ya que aprovechan las restricciones intrínsecas que limitan el movimiento del sistema y el número de coordenadas se reduce al mínimo. Las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas son las velocidades generalizadas.

$${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}\,.}$$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son ^{[2] [16]}

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$$

donde el lagrangiano es función de la configuración q y su tasa de cambio en el tiempod q/dt(y posiblemente el tiempo t )

$${\displaystyle L=L\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t\right]\,.}$$

Configurando el lagrangiano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de N EDO de segundo orden acopladas en las coordenadas.

Las ecuaciones de Hamilton son ^{[2] [16]}

$${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,}$$

donde el hamiltoniano

$${\displaystyle H=H\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t\right]\,,}$$

es una función de la configuración q y momentos conjugados "generalizados"

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,,}$$

en el cual∂/∂q​= (∂/∂ q ₁,∂/∂q ₂​,…,∂/∂ q _norte) es una notación abreviada para un vector dederivadas parcialescon respecto a las variables indicadas (ver, por ejemplo,cálculo matricialpara esta notación de denominador), y posiblemente el tiempo t ,

Estableciendo el hamiltoniano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de 2 N EDO acopladas de primer orden en las coordenadas q _i y momentos p _{i .}

La ecuación de Hamilton-Jacobi es ^[2]

$${\displaystyle -{\frac {\partial S(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)\,.}$$

dónde

$${\displaystyle S[\mathbf {q} ,t]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\,dt\,,}$$

es la función principal de Hamilton , también llamada acción clásica , es funcional de L. En este caso, los momentos están dados por

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,.}$$

Aunque la ecuación tiene una forma general simple, para un hamiltoniano dado en realidad es una PDE no lineal única de primer orden , en N + 1 variables. La acción S permite la identificación de cantidades conservadas para sistemas mecánicos, incluso cuando el problema mecánico en sí no puede resolverse completamente, porque cualquier simetría diferenciable de la acción de un sistema físico tiene una ley de conservación correspondiente , un teorema debido a Emmy Noether .

Todas las ecuaciones clásicas de movimiento se pueden derivar del principio variacional conocido como principio de mínima acción de Hamilton.

$${\displaystyle \delta S=0\,,}$$

indicando que la ruta que toma el sistema a través del espacio de configuración es la que tiene la menor acción S .

Electrodinámica

Fuerza de Lorentz F sobre una partícula cargada (de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). El campo E y el campo B varían en el espacio y el tiempo.

En electrodinámica, la fuerza sobre una partícula cargada de carga q es la fuerza de Lorentz : ^[17]

F = q ( E + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}

La combinación con la segunda ley de Newton da una ecuación diferencial de movimiento de primer orden, en términos de posición de la partícula:

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {B} \right)}$$

o su impulso:

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {p} \times \mathbf {B} }{m}}\right)}$$

La misma ecuación se puede obtener usando el lagrangiano (y aplicando las ecuaciones de Lagrange anteriores) para una partícula cargada de masa m y carga q : ^[16]

$${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi }$$

donde A y ϕ son los campos potenciales electromagnéticos escalares y vectoriales . El lagrangiano indica un detalle adicional: el momento canónico en la mecánica lagrangiana viene dado por:

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} }$$

m v

Alternativamente, el hamiltoniano (y sustituyendo en las ecuaciones): ^[16]

$${\displaystyle H={\frac {\left(\mathbf {P} -q\mathbf {A} \right)^{2}}{2m}}+q\phi }$$

Relatividad general

Ecuación geodésica de movimiento

Las geodésicas sobre una esfera son arcos de círculos máximos (curva amarilla). En una variedad 2D (como la esfera que se muestra), la dirección de la geodésica en aceleración se fija de forma única si el vector de separación ξ es ortogonal a la "geodésica fiducial" (curva verde). Como el vector de separación ξ ₀ cambia a ξ después de una distancia s , las geodésicas no son paralelas (desviación geodésica). ^[18]

Las ecuaciones anteriores son válidas en el espacio-tiempo plano. En el espacio-tiempo curvo , las cosas se vuelven matemáticamente más complicadas ya que no existe una línea recta; esto se generaliza y se reemplaza por una geodésica del espacio-tiempo curvo (la longitud de curva más corta entre dos puntos). Para variedades curvas con un tensor métrico g , la métrica proporciona la noción de longitud de arco (consulte el elemento de línea para obtener más detalles). La longitud del arco diferencial viene dada por: ^{[19] : 1199}

re s = gramo α β re x α d x β {\displaystyle ds={\sqrt {g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}}}

y la ecuación geodésica es una ecuación diferencial de segundo orden en las coordenadas. La solución general es una familia de geodésicas: ^{[19] : 1200}

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}{\frac {dx^{\beta }}{ds}}}$$

donde Γ  ^μ _αβ es un símbolo de Christoffel del segundo tipo , que contiene la métrica (con respecto al sistema de coordenadas).

Dada la distribución masa-energía proporcionada por el tensor tensión-energía T  ^αβ , las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales de segundo orden en la métrica, e implican que la curvatura del espacio-tiempo es equivalente a un campo gravitacional ( ver principio de equivalencia ). La masa que cae en el espacio-tiempo curvo es equivalente a una masa que cae en un campo gravitacional, porque la gravedad es una fuerza ficticia . La aceleración relativa de una geodésica con respecto a otra en el espacio-tiempo curvo viene dada por la ecuación de desviación geodésica :

$${\displaystyle {\frac {D^{2}\xi ^{\alpha }}{ds^{2}}}=-R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}\xi ^{\gamma }{\frac {dx^{\delta }}{ds}}}$$

donde ξ ^α = x ₂ ^α − x ₁ ^α es el vector de separación entre dos geodésicas,D/ds( No solod/ds) es la derivada covariante , y R ^α _βγδ es el tensor de curvatura de Riemann , que contiene los símbolos de Christoffel. En otras palabras, la ecuación de desviación geodésica es la ecuación de movimiento de masas en el espacio-tiempo curvo, análoga a la ecuación de fuerza de Lorentz para cargas en un campo electromagnético. ^{[18] : 34–35}

Para el espacio-tiempo plano, la métrica es un tensor constante, por lo que los símbolos de Christoffel desaparecen y la ecuación geodésica tiene soluciones de líneas rectas. Este es también el caso límite cuando las masas se mueven según la ley de gravedad de Newton .

Objetos giratorios

En la relatividad general, el movimiento de rotación se describe mediante el tensor de momento angular relativista , incluido el tensor de espín , que ingresa en las ecuaciones de movimiento bajo derivadas covariantes con respecto al tiempo propio . Las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon describen el movimiento de objetos giratorios que se mueven en un campo gravitacional .

Análogos de ondas y campos.

A diferencia de las ecuaciones de movimiento para describir la mecánica de partículas, que son sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas, las ecuaciones análogas que gobiernan la dinámica de ondas y campos son siempre ecuaciones diferenciales parciales , ya que las ondas o campos son funciones del espacio y el tiempo. Para una solución particular, es necesario especificar las condiciones de contorno junto con las condiciones iniciales.

A veces, en los siguientes contextos, las ecuaciones de onda o de campo también se denominan "ecuaciones de movimiento".

Ecuaciones de campo

Las ecuaciones que describen la dependencia espacial y la evolución temporal de los campos se denominan ecuaciones de campo . Éstas incluyen

• Las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético .
• Ecuación de Poisson para potenciales de campo gravitacional o electrostático newtoniano ,
• la ecuación de campo de Einstein para la gravitación ( la ley de gravedad de Newton es un caso especial para campos gravitacionales débiles y bajas velocidades de partículas).

Esta terminología no es universal: por ejemplo aunque las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan el campo de velocidades de un fluido , no suelen denominarse "ecuaciones de campo", ya que en este contexto representan el momento del fluido y se denominan "ecuaciones de momento". " en cambio.

Ecuaciones de onda

Las ecuaciones del movimiento ondulatorio se denominan ecuaciones ondulatorias . Las soluciones de una ecuación de onda dan la evolución temporal y la dependencia espacial de la amplitud . Las condiciones de contorno determinan si las soluciones describen ondas viajeras u ondas estacionarias .

De las ecuaciones clásicas de movimiento y ecuaciones de campo; Se pueden derivar ecuaciones mecánicas, de ondas gravitacionales y de ondas electromagnéticas . La ecuación de onda lineal general en 3D es:

$${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}X}$$

donde X = X ( r , t ) es cualquier amplitud de campo mecánico o electromagnético, digamos: ^[20]

• el desplazamiento transversal o longitudinal de una varilla vibratoria, alambre, cable, membrana, etc.,
• la presión fluctuante de un medio, presión sonora ,
• los campos eléctricos E o D , o los campos magnéticos B o H ,
• el voltaje V o la corriente I en un circuito de corriente alterna ,

y v es la velocidad de fase . Las ecuaciones no lineales modelan la dependencia de la velocidad de fase con la amplitud, reemplazando v por v ( X ) . Existen otras ecuaciones de ondas lineales y no lineales para aplicaciones muy específicas, véase por ejemplo la ecuación de Korteweg-de Vries .

Teoría cuántica

En la teoría cuántica aparecen tanto los conceptos de onda como de campo.

En mecánica cuántica, el análogo de las ecuaciones clásicas de movimiento (ley de Newton, ecuación de Euler-Lagrange, ecuación de Hamilton-Jacobi, etc.) es la ecuación de Schrödinger en su forma más general:

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,}$$

donde Ψ es la función de onda del sistema, Ĥ es el operador hamiltoniano cuántico , en lugar de una función como en la mecánica clásica, y ħ es la constante de Planck dividida por 2 π . Configurar el hamiltoniano e insertarlo en la ecuación da como resultado una ecuación de onda, la solución es la función de onda en función del espacio y el tiempo. La propia ecuación de Schrödinger se reduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi cuando se considera el principio de correspondencia , en el límite en que ħ se vuelve cero. Para comparar con las mediciones, a los operadores de observables se les debe aplicar la función de onda cuántica de acuerdo con el experimento realizado, lo que lleva a resultados similares a ondas o partículas .

En todos los aspectos de la teoría cuántica, relativista o no relativista, existen varias formulaciones alternativas a la ecuación de Schrödinger que gobiernan la evolución temporal y el comportamiento de un sistema cuántico, por ejemplo:

• La ecuación de movimiento de Heisenberg se parece a la evolución temporal de los observables clásicos como funciones de posición, momento y tiempo, si se reemplazan los observables dinámicos por sus operadores cuánticos y el soporte clásico de Poisson por el conmutador .
• la formulación del espacio de fases sigue de cerca la mecánica hamiltoniana clásica, colocando la posición y el impulso en pie de igualdad,
• La formulación integral de trayectoria de Feynman extiende el principio de acción mínima a la mecánica cuántica y la teoría de campos, poniendo énfasis en el uso de lagrangianos en lugar de hamiltonianos.

Ver también

• Escalar (física)
• Vector
• Distancia
• Desplazamiento
• Velocidad
• Velocidad
• Aceleración
• Desplazamiento angular
• Velocidad angular
• Velocidad angular
• Aceleración angular
• Ecuaciones para un cuerpo que cae
• trayectoria parabólica
• Coordenadas curvilíneas
• Coordenadas ortogonales
• Las leyes del movimiento de Newton.
• Movimiento de proyectiles
• La ecuación de Torricelli.
• Ecuación de Euler-Lagrange
• Fuerzas generalizadas
• Leyes del movimiento de Newton-Euler para un cuerpo rígido

Referencias

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