Derivada del tiempo

Derivada de una función con respecto al tiempo

Una derivada del tiempo es una derivada de una función con respecto al tiempo , generalmente interpretada como la tasa de cambio del valor de la función. ^[1] La variable que denota tiempo generalmente se escribe como . ${\displaystyle t}$

Notación

Se utilizan diversas notaciones para indicar la derivada del tiempo. Además de la notación normal ( Leibniz ),

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

Una notación abreviada muy común utilizada, especialmente en física, es el "punto superior". ES DECIR

${\displaystyle {\dot {x}}}$

(Esto se llama notación de Newton )

También se utilizan derivadas temporales superiores: la segunda derivada con respecto al tiempo se escribe como

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

con la correspondiente taquigrafía de . ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Como generalización, la derivada temporal de un vector, digamos:

${\displaystyle \mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]}$

se define como el vector cuyas componentes son las derivadas de las componentes del vector original. Eso es,

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].}$

Uso en física

Las derivadas del tiempo son un concepto clave en física . Por ejemplo, para una posición cambiante , su derivada del tiempo es su velocidad y su segunda derivada con respecto al tiempo, es su aceleración . A veces también se utilizan derivadas incluso superiores: la tercera derivada de la posición con respecto al tiempo se conoce como tirón . Ver gráficos de movimiento y derivados . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Una gran cantidad de ecuaciones fundamentales en física implican derivadas de cantidades por primera o segunda vez. Muchas otras cantidades fundamentales en la ciencia son derivadas unas de otras en el tiempo:

• la fuerza es la derivada del momento del momento
• La potencia es la derivada temporal de la energía.
• La corriente eléctrica es la derivada temporal de la carga eléctrica.

etcétera.

Un hecho común en física es la derivada temporal de un vector , como la velocidad o el desplazamiento. Al tratar con una derivada de este tipo, tanto la magnitud como la orientación pueden depender del tiempo.

Ejemplo: movimiento circular

Relación entre coordenadas cartesianas ( x , y ) y coordenadas polares ( r , θ ).

Por ejemplo, considere una partícula que se mueve en una trayectoria circular. Su posición está dada por el vector de desplazamiento , relacionado con el ángulo, θ , y la distancia radial, r , como se define en la figura: ${\displaystyle r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}}$

Para este ejemplo, asumimos que θ = t . Por lo tanto, el desplazamiento (posición) en cualquier momento t viene dado por

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}}$

Esta forma muestra que el movimiento descrito por r ( t ) es en un círculo de radio r porque la magnitud de r ( t ) está dada por

${\displaystyle |\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r}$

usando la identidad trigonométrica sin ² ( t ) + cos ² ( t ) = 1 y donde está el producto escalar euclidiano habitual. ${\displaystyle \cdot }$

Con esta forma para el desplazamiento, ahora se encuentra la velocidad. La derivada del tiempo del vector de desplazamiento es el vector de velocidad. En general, la derivada de un vector es un vector formado por componentes, cada uno de los cuales es la derivada del componente correspondiente del vector original. Así, en este caso, el vector velocidad es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}}$

Por tanto, la velocidad de la partícula es distinta de cero aunque la magnitud de la posición (es decir, el radio de la trayectoria) sea constante. La velocidad se dirige perpendicular al desplazamiento, como se puede establecer mediante el producto escalar :

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.}$

La aceleración es entonces la derivada temporal de la velocidad:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.}$

La aceleración se dirige hacia adentro, hacia el eje de rotación. Apunta opuesto al vector de posición y perpendicular al vector de velocidad. Esta aceleración dirigida hacia adentro se llama aceleración centrípeta .

En geometría diferencial

En geometría diferencial , las cantidades a menudo se expresan con respecto a la base covariante local , donde i varía sobre el número de dimensiones. Los componentes de un vector expresado de esta manera se transforman como un tensor contravariante , como se muestra en la expresión , invocando la convención de suma de Einstein . Si queremos calcular las derivadas temporales de estos componentes a lo largo de una trayectoria, de modo que tengamos , podemos definir un nuevo operador, la derivada invariante , que seguirá devolviendo tensores contravariantes: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}}$

donde (al ser la jésima coordenada) captura los componentes de la velocidad en la base covariante local y son los símbolos de Christoffel para el sistema de coordenadas. Tenga en cuenta que la dependencia explícita de t ha sido reprimida en la notación. Entonces podemos escribir: ${\displaystyle V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}}$ ${\displaystyle x^{j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

así como también:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

En términos de la derivada covariante , tenemos: ${\displaystyle \nabla _{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}}$

Uso en economía

En economía , muchos modelos teóricos de la evolución de diversas variables económicas se construyen en tiempo continuo y, por tanto, emplean derivadas temporales. ^{[3] : cap. 1-3} Una situación involucra una variable de stock y su derivada temporal, una variable de flujo . Ejemplos incluyen:

• El flujo de inversión fija neta es la derivada temporal del stock de capital .
• El flujo de inversión en inventarios es la derivada temporal del stock de inventarios .
• La tasa de crecimiento de la oferta monetaria es la derivada temporal de la oferta monetaria dividida por la oferta monetaria misma.

A veces, la derivada temporal de una variable de flujo puede aparecer en un modelo:

• La tasa de crecimiento de la producción es la derivada temporal del flujo de producción dividida por la producción misma.
• La tasa de crecimiento de la fuerza laboral es la derivada temporal de la fuerza laboral dividida por la fuerza laboral misma.

Y en ocasiones aparece una derivada temporal de una variable que, a diferencia de los ejemplos anteriores, no se mide en unidades monetarias:

• Puede aparecer la derivada temporal de una tasa de interés clave.
• La tasa de inflación es la tasa de crecimiento del nivel de precios , es decir, la derivada temporal del nivel de precios dividida por el nivel de precios mismo.

Ver también

• Calculo diferencial
• Notación para diferenciación
• Movimiento circular
• Fuerza centrípeta
• Derivada espacial
• tasa temporal

Referencias

1. Chiang, Alpha C. , Métodos fundamentales de economía matemática , McGraw-Hill, tercera edición, 1984, cap. 14, 15, 18.
2. Grinfeld, Pavel. "Cálculo tensorial 6d: velocidad, aceleración, sacudida y la nueva derivada δ / δt". YouTube . Archivado desde el original el 13 de diciembre de 2021.
3. Véase, por ejemplo, Romer, David (1996). Macroeconomía avanzada . McGraw-Hill. ISBN 0-07-053667-8.