Notación para diferenciación

Notación de cálculo diferencial

En cálculo diferencial , no existe una notación única y uniforme para la diferenciación . En cambio, varios matemáticos han propuesto varias notaciones para la derivada de una función o variable . La utilidad de cada notación varía según el contexto y, a veces, resulta ventajoso utilizar más de una notación en un contexto determinado. Las notaciones más comunes para la diferenciación (y su operación opuesta, la antidiferenciación o integración indefinida ) se enumeran a continuación.

Notación de Leibniz

dy

dx

d ² años

dx ²

La primera y segunda derivada de y con respecto a x , en la notación de Leibniz.

La notación original empleada por Gottfried Leibniz se utiliza en todas las matemáticas. Es particularmente común cuando la ecuación y = f ( x ) se considera una relación funcional entre las variables dependientes e independientes y y x . La notación de Leibniz hace explícita esta relación al escribir la derivada como

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$

Además, la derivada de f en x se escribe

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

Las derivadas superiores se escriben como

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Este es un recurso de notación sugerente que proviene de manipulaciones formales de símbolos, como en,

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

El valor de la derivada de y en un punto x = a se puede expresar de dos maneras usando la notación de Leibniz:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a)}$.

La notación de Leibniz permite especificar la variable a diferenciar (en el denominador). Esto es especialmente útil cuando se consideran derivadas parciales . También hace que la regla de la cadena sea fácil de recordar y reconocer:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

La notación de Leibniz para la diferenciación no requiere asignar un significado a símbolos como dx o dy (conocidos como diferenciales ) por sí solos, y algunos autores no intentan asignar significado a estos símbolos. Leibniz trató estos símbolos como infinitesimales . Autores posteriores les han asignado otros significados, como infinitesimales en análisis no estándar , o derivadas exteriores . Comúnmente, dx no está definido o se equipara con , mientras que a dy se le asigna un significado en términos de dx , mediante la ecuación ${\displaystyle \Delta x}$

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,}$

que también puede escribirse, por ejemplo

${\displaystyle df=f'(x)\cdot dx}$

(vea abajo). Tales ecuaciones dan lugar a la terminología que se encuentra en algunos textos en los que la derivada se denomina "coeficiente diferencial" (es decir, el coeficiente de dx ).

Algunos autores y revistas establecen el símbolo diferencial d en tipo romano en lugar de cursiva : d x . La guía de estilo científica ISO/IEC 80000 recomienda este estilo.

Notación de Leibniz para la antidiferenciación

${\displaystyle \int y\,dx}$
${\displaystyle \iint y\,dx^{2}}$

Las integrales indefinidas simples y dobles de y con respecto a x , en la notación de Leibniz.

Leibniz introdujo el símbolo integral ∫ en Analyseos tetragonisticae pars secunda y Methodi tangentium inversae exempla (ambos de 1675). Ahora es el símbolo estándar de integración .

${\displaystyle {\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}}$

notación de Lagrange

f ' ( x )

Una función f de x , diferenciada una vez en la notación de Lagrange.

Una de las notaciones modernas más comunes para la diferenciación lleva el nombre de Joseph Louis Lagrange , aunque en realidad fue inventada por Euler y recién popularizada por el primero. En la notación de Lagrange, una marca prima denota una derivada. Si f es una función, entonces su derivada evaluada en x se escribe

${\displaystyle f'(x)}$.

Apareció impreso por primera vez en 1749. ^[1]

Las derivadas superiores se indican mediante marcas primas adicionales, como en la segunda derivada y en la tercera derivada . El uso de marcas primarias repetidas eventualmente se vuelve difícil de manejar. Algunos autores continúan empleando números romanos , generalmente en minúsculas, ^{[2] [3]} como en ${\displaystyle f''(x)}$ ${\displaystyle f'''(x)}$

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

para denotar derivadas de cuarto, quinto, sexto y superior orden. Otros autores utilizan números arábigos entre paréntesis, como en

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

Esta notación también permite describir la n- ésima derivada, donde n es una variable. esto esta escrito

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Lagrange incluyen

• U+2032 ◌′ PRIME (derivada)
• U+2033 ◌″ DOBLE PRIMA (doble derivada)
• U+2034 ◌‴ TRIPLE PRIMA (tercera derivada)
• U+2057 ◌⁗ PRIMA CUÁDRUPLE (cuarta derivada)

Cuando hay dos variables independientes para una función f ( x ,  y ), se puede seguir la siguiente convención: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

Notación de Lagrange para antidiferenciación

f ^(-1) ( x )
f ^(-2) ( x )

Las integrales indefinidas simples y dobles de f con respecto a x , en la notación de Lagrange.

Al tomar la antiderivada, Lagrange siguió la notación de Leibniz: ^[5]

${\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y'\,dx.}$

Sin embargo, debido a que la integración es la operación inversa de la diferenciación, la notación de Lagrange para derivadas de orden superior se extiende también a las integrales. Las integrales repetidas de f se pueden escribir como

${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$para la primera integral (esto se confunde fácilmente con la función inversa ), ${\displaystyle f^{-1}(x)}$

${\displaystyle f^{(-2)}(x)}$para la segunda integral,

${\displaystyle f^{(-3)}(x)}$para la tercera integral, y

${\displaystyle f^{(-n)}(x)}$para la n- ésima integral.

notación D

D _x y
D ² f

La derivada x de y y la segunda derivada de f , notación de Euler.

Esta notación a veces se llamaLa notación de Euler aunque fue introducida porLouis François Antoine Arbogast, y parece queLeonhard Eulerno la utilizó.

Esta notación utiliza un operador diferencial denominado D ( operador D ) ^{[6] [ verificación fallida ]} o D̃ ( operador Newton-Leibniz ). ^[7] Cuando se aplica a una función f ( x ) , se define por

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

Las derivadas superiores se anotan como "potencias" de D (donde los superíndices denotan una composición iterada de D ), como en ^[4]

${\displaystyle D^{2}f}$para la segunda derivada,

${\displaystyle D^{3}f}$para la tercera derivada, y

${\displaystyle D^{n}f}$para la n- ésima derivada.

La notación D deja implícita la variable con respecto a la cual se realiza la diferenciación. Sin embargo, esta variable también se puede hacer explícita poniendo su nombre como subíndice: si f es función de una variable x , esto se hace escribiendo ^[4]

${\displaystyle D_{x}f}$para la primera derivada,

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$para la segunda derivada,

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$para la tercera derivada, y

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$para la n- ésima derivada.

Cuando f es una función de varias variables, es común usar " ∂ ", una d minúscula cursiva estilizada, en lugar de " D ". Como arriba, los subíndices indican las derivadas que se están tomando. Por ejemplo, las segundas derivadas parciales de una función f ( x , y ) son: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}$

Ver § Derivadas parciales.

La notación D es útil en el estudio de ecuaciones diferenciales y en álgebra diferencial .

Notación D para antiderivadas

D⁻¹
_xy
re ⁻² f

La antiderivada x de y y la segunda antiderivada de f , notación de Euler.

La notación D se puede utilizar para antiderivadas de la misma manera que la notación de Lagrange es ^[8] como sigue ^[7]

${\displaystyle D^{-1}f(x)}$para una primera antiderivada,

${\displaystyle D^{-2}f(x)}$para una segunda antiderivada, y

${\displaystyle D^{-n}f(x)}$para una n- ésima antiderivada.

notación de newton

XX

La primera y segunda derivada de x , notación de Newton.

La notación de Isaac Newton para la diferenciación (también llamada notación de puntos , fluxiones o, a veces, de forma tosca, notación de mosca ^[9] para la diferenciación) coloca un punto sobre la variable dependiente. Es decir, si y es función de t , entonces la derivada de y con respecto a t es

${\displaystyle {\dot {y}}}$

Las derivadas superiores se representan mediante múltiples puntos, como en

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

Newton extendió esta idea bastante lejos: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Newton incluyen:

• U+0307 ◌̇ COMBINANDO PUNTO ARRIBA (derivada)
• U+0308 ◌̈ DIÉRESIS COMBINADA (derivada doble)
• U+20DB ◌⃛ COMBINANDO TRES PUNTOS ARRIBA (tercera derivada) ← reemplazado por "combinando diéresis" + "combinando punto arriba".
• U+20DC ◌⃜ COMBINANDO CUATRO PUNTOS ARRIBA (cuarta derivada) ← reemplazado por "combinando diéresis" dos veces.
• U+030D ◌̍ COMBINANDO LÍNEA VERTICAL ARRIBA (integral)
• U+030E ◌̎ COMBINANDO DOBLE LÍNEA VERTICAL ARRIBA (segunda integral)
• U+25AD ▭ RECTÁNGULO BLANCO (integral)
• U+20DE ◌⃞ CUADRADO CERRADOR COMBINADO (integral)
• U+1DE0 ◌ᷠ COMBINANDO LETRA MINÚSCULA LATINA N ( n ésima derivada)

La notación de Newton se utiliza generalmente cuando la variable independiente denota tiempo . Si la ubicación y es función de t , entonces denota velocidad ^[11] y aceleración . ^[12] Esta notación es popular en física y física matemática . También aparece en áreas de las matemáticas relacionadas con la física como las ecuaciones diferenciales . ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

Al tomar la derivada de una variable dependiente y = f ( x ), existe una notación alternativa: ^[13]

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

Newton desarrolló los siguientes operadores diferenciales parciales utilizando puntos laterales en una X curva ( ⵋ ). Las definiciones dadas por Whiteside se encuentran a continuación: ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

Notación de Newton para la integración

XX

La primera y segunda antiderivadas de x , en una de las notaciones de Newton.

Newton desarrolló muchas notaciones diferentes para la integración en su Quadratura curvarum (1704) y obras posteriores : escribió una pequeña barra vertical o prima encima de la variable dependiente ( y̍ ), un rectángulo prefijo ( ▭ y ), o el encerramiento del término en un rectángulo ( y ) para indicar la integral fluida o de tiempo ( absement ).

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}}$

Para denotar integrales múltiples, Newton usó dos pequeñas barras verticales o números primos ( y̎ ), o una combinación de símbolos anteriores ▭ y̍  y̍ , para denotar la segunda integral de tiempo (absidad).

${\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}}$

Las integrales de tiempo de orden superior fueron las siguientes: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}}$

Esta notación matemática no se generalizó debido a dificultades de impresión y a la controversia sobre el cálculo de Leibniz-Newton .

Derivadas parciales

f _xf _xy

Una función f diferenciada frente a x , luego frente a x e y .

Cuando se necesitan tipos de diferenciación más específicos, como en el cálculo multivariado o el análisis tensorial , son comunes otras notaciones.

Para una función f de una única variable independiente x , podemos expresar la derivada usando subíndices de la variable independiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

Este tipo de notación es especialmente útil para tomar derivadas parciales de una función de varias variables.

∂f/∂x

Una función f diferenciada de x .

Las derivadas parciales generalmente se distinguen de las derivadas ordinarias reemplazando el operador diferencial d con un símbolo " ∂ ". Por ejemplo, podemos indicar la derivada parcial de f ( x ,  y ,  z ) con respecto a x , pero no a y o z de varias maneras:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

Lo que hace que esta distinción sea importante es que una derivada no parcial como la que puede , dependiendo del contexto, interpretarse como una tasa de cambio en relación con cuando se permite que todas las variables varíen simultáneamente, mientras que con una derivada parcial como la que es explícita que sólo una variable debe variar. ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Se pueden encontrar otras notaciones en varios subcampos de las matemáticas, la física y la ingeniería; véanse, por ejemplo, las relaciones de Maxwell de la termodinámica . El símbolo es la derivada de la temperatura T con respecto al volumen V manteniendo constante la entropía (subíndice) S , mientras que es la derivada de la temperatura con respecto al volumen manteniendo constante la presión P . Esto resulta necesario en situaciones en las que el número de variables excede los grados de libertad, de modo que hay que elegir qué otras variables se van a mantener fijas. ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$

Las derivadas parciales de orden superior con respecto a una variable se expresan como

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}$

etcétera. Las derivadas parciales mixtas se pueden expresar como

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.}$

En este último caso las variables se escriben en orden inverso entre las dos notaciones, explicado a continuación:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}$

La llamada notación multiíndice se utiliza en situaciones en las que la notación anterior se vuelve engorrosa o insuficientemente expresiva. Al considerar funciones en , definimos un índice múltiple como una lista ordenada de números enteros no negativos: . Luego definimos, para , la notación ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}$

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f}$

De esta manera, algunos resultados (como la regla de Leibniz ) que son tediosos de escribir de otras maneras se pueden expresar de manera sucinta; se pueden encontrar algunos ejemplos en el artículo sobre índices múltiples . ^[17]

Notación en cálculo vectorial

El cálculo vectorial se refiere a la diferenciación e integración de campos vectoriales o escalares . Son comunes varias notaciones específicas para el caso del espacio euclidiano tridimensional .

Supongamos que ( x , y , z ) es un sistema de coordenadas cartesiano dado , que A es un campo vectorial con componentes y que es un campo escalar . ${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$

El operador diferencial introducido por William Rowan Hamilton , escrito ∇ y llamado del o nabla, se define simbólicamente en forma de vector,

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,}$

donde la terminología refleja simbólicamente que el operador ∇ también será tratado como un vector ordinario.

∇ φ

Gradiente del campo escalar φ .

• Degradado : El gradientedel campo escalares un vector, que se expresa simbólicamente mediante la multiplicación de ∇ y el campo escalar, ${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

∇∙ A

La divergencia del campo vectorial A .

• Divergencia : La divergenciadel campo vectorial A es un escalar, que se expresa simbólicamente por el producto escalar de ∇ y el vector A , ${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

∇ ² φ

El laplaciano del campo escalar φ .

• Laplaciano : El Laplacianodel campo escalares un escalar, que se expresa simbólicamente mediante la multiplicación escalar de ∇ ² y el campo escalar φ , ${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

∇× Un

El rizo del campo vectorial A.

• Rotación : La rotación, o, del campo vectorial A es un vector, que se expresa simbólicamente por el producto cruzado de ∇ y el vector A , ${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Muchas operaciones simbólicas de derivadas pueden generalizarse de manera sencilla mediante el operador de gradiente en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la regla del producto de una sola variable tiene un análogo directo en la multiplicación de campos escalares aplicando el operador de gradiente, como en

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

Muchas otras reglas del cálculo de una sola variable tienen análogos del cálculo vectorial para el gradiente, la divergencia, la curvatura y el laplaciano.

Se han desarrollado más notaciones para tipos de espacios más exóticos. Para cálculos en el espacio de Minkowski , el operador d'Alembert , también llamado d'Alembertiano, operador de onda u operador de caja, se representa como o como cuando no está en conflicto con el símbolo del laplaciano. ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Delta }$

Ver también

• Sociedad Analítica  : grupo británico del siglo XIX que promovió el uso del cálculo analítico o leibniziano, en contraposición al cálculo newtoniano.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Derivada  : tasa de cambio instantánea (matemáticas)
• Fluxion  – Concepto matemático histórico; forma de derivada
• Matriz de Hesse  - Matriz (matemática) de segundas derivadas
• Matriz jacobiana  : matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función con valores vectorialesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Lista de símbolos matemáticos por tema
• Cálculo operacional

Referencias

1. Grosse, Johann; Breitkopf, Bernhard Christoph; Martín, Johann Christian; Gleditsch, Johann Friedrich (septiembre de 1749). "Notación para diferenciación". Nova Acta Eruditorum : 512.
2. Morris, Carla C. (28 de julio de 2015). Fundamentos del cálculo . Stark, Robert M., 1930-2017. Hoboken, Nueva Jersey. ISBN 9781119015314. OCLC  893974565.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Osborne, George A. (1908). Cálculo Diferencial e Integral. Boston: DC Heath y compañía. págs. 63-65.
4. El cálculo diferencial e integral ( Augustus De Morgan , 1842). págs. 267-268
5. Lagrange , Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
6. "El operador D - Diferencial - Cálculo - Referencia matemática con ejemplos resueltos". www.codecogs.com . Archivado desde el original el 19 de enero de 2016.
7. Weisstein, Eric W. "Operador diferencial". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. "Operador Diferencial". Archivado desde el original el 21 de enero de 2016 . Consultado el 7 de febrero de 2016 .
8. Weisstein, Eric W. "Integral repetida". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. "Integral repetida". Archivado desde el original el 1 de febrero de 2016 . Consultado el 7 de febrero de 2016 .
9. Zill, Dennis G. (2009). "1.1". Un primer curso de ecuaciones diferenciales (9ª ed.). Belmont, California : Brooks/Cole . pag. 3.ISBN _ 978-0-495-10824-5.
10. Notación de Newton reproducida de:
    • Derivadas 1.ª a 5.ª: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), pág. 7 (p. 5r en manuscrito original: "Newton Papers: On the Quadrature of Curves". Archivado desde el original el 28 de febrero de 2016. Consultado el 5 de febrero de 2016 .).
    • 1.ª a 7.ª, n.ª y ( n +1)ª derivadas: Método de las fluxiones ( Newton , 1736), págs. 313-318 y pág. 265 (p. 163 en el manuscrito original: "Newton Papers: Fluxions". Archivado desde el original el 6 de abril de 2017. Consultado el 5 de febrero de 2016 .)
    • Derivadas 1.ª a 5.ª: Tratado de fluxiones (Colin MacLaurin, 1742), p. 613
    • Derivadas 1.ª a 4.ª y n.ª : artículos "Diferencial" y "Fluxion", Diccionario de matemáticas puras y mixtas (Peter Barlow, 1814)
    • Derivadas 1.ª a 4.ª, 10.ª y n.ª : artículos 622, 580 y 579 en Historia de las notaciones matemáticas (F.Cajori, 1929)
    • Derivadas 1.ª a 6.ª y n.ª : Los artículos matemáticos de Isaac Newton, vol. 7 1691-1695 (DT Whiteside, 1976), págs. 88 y 17
    • Derivadas 1.ª a 3.ª y n.ª : una historia del análisis (Hans Niels Jahnke, 2000), págs. 84-85
    El punto para la n- ésima derivada puede omitirse ( ) ${\displaystyle {\overset {\,n}{y}}}$
11. Weisstein, Eric W. "Exagerado". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. "Exagerado". Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2015 . Consultado el 5 de febrero de 2016 .
12. Weisstein, Eric W. "Doble punto". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. "Doble punto". Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 5 de febrero de 2016 .
13. Artículo 580 en Florian Cajori, Una historia de las notaciones matemáticas (1929), Dover Publications, Inc. Nueva York. ISBN 0-486-67766-4 
14. "Patrones de pensamiento matemático a finales del siglo XVII", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, vol. 1, núm. 3 (DT Whiteside, 1961), págs. 361-362,378
15. SB Engelsman ha dado definiciones más estrictas en Familias de curvas y orígenes de la diferenciación parcial (2000), págs.
16. Notación de Newton para la integración reproducida de:
    • Integrales 1.ª a 3.ª: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), p. 7 (p. 5r en manuscrito original: "Newton Papers: On the Quadrature of Curves". Archivado desde el original el 28 de febrero de 2016. Consultado el 5 de febrero de 2016 .)
    • Integrales 1.ª a 3.ª: Método de las fluxiones ( Newton , 1736), págs. 265-266 (p. 163 en el manuscrito original: "Newton Papers: Fluxions". Archivado desde el original el 6 de abril de 2017. Consultado el 2 de febrero de 2016. 05 .)
    • Cuarta integrales: La doctrina de las fluxiones (James Hodgson, 1736), págs. 54 y 72
    • Integrales 1.ª a 2.ª: Artículos 622 y 365 en Historia de las notaciones matemáticas (F.Cajori, 1929)
    La n -ésima notación integral se deduce de la n- ésima derivada. Podría usarse en Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)
17. Tu, Loring W. (2011). Una introducción a las variedades (2 ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7400-6. OCLC  682907530.

enlaces externos

• Primeros usos de los símbolos de cálculo, mantenido por Jeff Miller (archivado el 26 de julio de 2020 en Wayback Machine ).