Leyes del movimiento de Euler

Extender las leyes del movimiento de Newton a los cuerpos rígidos

En mecánica clásica , las leyes de movimiento de Euler son ecuaciones de movimiento que extienden las leyes de movimiento de Newton para partículas puntuales al movimiento de cuerpos rígidos . ^[1] Fueron formuladas por Leonhard Euler unos 50 años después de que Isaac Newton formulara sus leyes.

Descripción general

Primera ley de Euler

La primera ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento lineal p de un cuerpo rígido es igual a la resultante de todas las fuerzas externas F _ext que actúan sobre el cuerpo: ^[2]

${\displaystyle F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.}$

Las fuerzas internas entre las partículas que forman un cuerpo no contribuyen a cambiar el momento del cuerpo ya que existe una fuerza igual y opuesta que no produce ningún efecto neto. ^[3]

El momento lineal de un cuerpo rígido es el producto de la masa del cuerpo por la velocidad de su centro de masa v _cm . ^{[1] [4] [5]}

Segunda ley de Euler

La segunda ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento angular L alrededor de un punto que está fijo en un marco de referencia inercial (a menudo el centro de masa del cuerpo), es igual a la suma de los momentos externos de fuerza ( torsores ) que actúan sobre ese cuerpo M alrededor de ese punto: ^{[1] [4] [5]}

${\displaystyle \mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}.}$

Tenga en cuenta que la fórmula anterior se cumple solo si tanto M como L se calculan con respecto a un marco inercial fijo o un marco paralelo al marco inercial pero fijo en el centro de masa. Para cuerpos rígidos que se trasladan y rotan en solo dos dimensiones, esto se puede expresar como: ^[6]

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},}$

dónde:

• r _cm es el vector de posición del centro de masa del cuerpo con respecto al punto sobre el cual se suman los momentos,
• a _cm es la aceleración lineal del centro de masa del cuerpo,
• m es la masa del cuerpo,
• α es la aceleración angular del cuerpo, y
• I es el momento de inercia del cuerpo alrededor de su centro de masa.

Véase también las ecuaciones de Euler (dinámica del cuerpo rígido) .

Explicación y derivación

La distribución de las fuerzas internas en un cuerpo deformable no es necesariamente igual en todo su perímetro, es decir, las tensiones varían de un punto a otro. Esta variación de las fuerzas internas en todo el cuerpo está regida por la segunda ley de Newton del movimiento de conservación del momento lineal y del momento angular , que para su uso más simple se aplican a una partícula de masa pero se extienden en mecánica de medios continuos a un cuerpo de masa distribuida de forma continua. Para los cuerpos continuos, estas leyes se denominan leyes de Euler del movimiento . ^[7]

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo con masa m , densidad de masa ρ y volumen V , es la integral de volumen integrada sobre el volumen del cuerpo:

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$

donde b es la fuerza que actúa sobre el cuerpo por unidad de masa ( dimensiones de aceleración, engañosamente llamada "fuerza del cuerpo"), y dm = ρ dV es un elemento de masa infinitesimal del cuerpo.

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo dan lugar a momentos correspondientes ( torques ) de esas fuerzas con respecto a un punto determinado. Por lo tanto, el par total aplicado M respecto al origen viene dado por

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}}$

donde M _B y M _C indican respectivamente los momentos provocados por las fuerzas del cuerpo y de contacto.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) que actúan sobre el cuerpo se puede dar como la suma de una integral de volumen y superficie :

${\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.}$

donde t = t ( n ) se denomina tracción superficial , integrada sobre la superficie del cuerpo, a su vez n denota un vector unitario normal y dirigido hacia afuera a la superficie S .

Sea el sistema de coordenadas ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) un marco de referencia inercial , r el vector de posición de una partícula puntual en el cuerpo continuo con respecto al origen del sistema de coordenadas, y v = ⁠dr​/es⁠ sea el vector de velocidad de ese punto.

El primer axioma o ley de Euler (ley de equilibrio del momento lineal o equilibrio de fuerzas) establece que en un marco inercial la tasa temporal de cambio del momento lineal p de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual a la fuerza total aplicada F que actúa sobre esa porción, y se expresa como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$

El segundo axioma o ley de Euler (ley de equilibrio del momento angular o equilibrio de pares) establece que en un marco inercial la tasa temporal de cambio del momento angular L de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual al par total aplicado M que actúa sobre esa porción, y se expresa como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$

donde es la velocidad, el volumen y las derivadas de p y L son derivadas materiales . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$

Véase también

• Lista de temas que llevan el nombre de Leonhard Euler
• Leyes de Euler sobre las rotaciones de cuerpos rígidos
• Ecuaciones de movimiento de Newton-Euler con 6 componentes, que combinan las dos leyes de Euler en una sola ecuación.

Referencias

1. McGill y King (1995). Ingeniería mecánica: una introducción a la dinámica (3.ª ed.). PWS Publishing Company. ISBN 0-534-93399-8.
2. Ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido Recuperado el 6 de junio de 2021
3. Gray, Gary L.; Costanzo, Plesha (2010). Ingeniería mecánica: dinámica . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-282871-9.
4. Leyes del movimiento de Euler . Consultado el 30 de marzo de 2009 .
5. Rao, Anil Vithala (2006). Dinámica de partículas y cuerpos rígidos. Cambridge University Press. pág. 355. ISBN 978-0-521-85811-3.
6. Ruina, Andy; Rudra Pratap (2002). Introducción a la estática y la dinámica (PDF) . Oxford University Press. pág. 771. Consultado el 18 de octubre de 2011 .
7. Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (PDF) (edición revisada). Dover Publications. pp. 27–28. ISBN 978-0-486-46290-5. Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2010.