ecuación de poisson

Expresión que se encuentra frecuentemente en física matemática, generalización de la ecuación de Laplace.

Siméon Denis Poisson

La ecuación de Poisson es una ecuación diferencial parcial elíptica de amplia utilidad en física teórica . Por ejemplo, la solución de la ecuación de Poisson es el campo potencial causado por una determinada carga eléctrica o distribución de densidad de masa; Conociendo el campo potencial, se puede calcular el campo electrostático o gravitacional (fuerza). Es una generalización de la ecuación de Laplace , que también se ve con frecuencia en física. La ecuación lleva el nombre del matemático y físico francés Siméon Denis Poisson . ^{[1] [2]}

Declaración de la ecuación

La ecuación de Poisson es

$${\displaystyle \Delta \varphi =f,}$$

operador de Laplacefunciones realescomplejosvariedadespacio euclidiano∇ ² ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f.}$$

En coordenadas cartesianas tridimensionales , toma la forma

$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$$

Cuando es idéntica, obtenemos la ecuación de Laplace . ${\displaystyle f=0}$

La ecuación de Poisson se puede resolver usando la función de Green :

$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}r',}$$

seleccionada se ofrece una exposición general de la función de Green para la ecuación de Poissonmétodo de relajación

gravedad newtoniana

En el caso de un campo gravitacional g debido a la atracción de un objeto masivo de densidad ρ , la ley de Gauss para la gravedad en forma diferencial se puede utilizar para obtener la correspondiente ecuación de Poisson para la gravedad:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

Dado que el campo gravitacional es conservador (e irrotacional ), se puede expresar en términos de un potencial escalar ϕ :

$${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$

Sustituyendo esto en la ley de Gauss,

$${\displaystyle \nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,}$$

la ecuación de Poisson

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

Si la densidad de masa es cero, la ecuación de Poisson se reduce a la ecuación de Laplace. La función de Green correspondiente se puede utilizar para calcular el potencial a una distancia r de un punto central de masa m (es decir, la solución fundamental ). En tres dimensiones el potencial es

$${\displaystyle \phi (r)={\frac {-Gm}{r}},}$$

la ley de gravitación universal de Newton

Electrostática

Una de las piedras angulares de la electrostática es plantear y resolver problemas descritos por la ecuación de Poisson. Resolver la ecuación de Poisson equivale a encontrar el potencial eléctrico φ para una distribución de carga determinada . ${\displaystyle \rho _{f}}$

Los detalles matemáticos detrás de la ecuación de Poisson en electrostática son los siguientes ( se utilizan unidades SI en lugar de unidades gaussianas , que también se utilizan con frecuencia en electromagnetismo ).

Comenzando con la ley de Gauss para la electricidad (también una de las ecuaciones de Maxwell ) en forma diferencial, se tiene

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},}$$

operador de divergenciaDcampo de desplazamiento eléctricoρ _fdensidad de carga ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$

Suponiendo que el medio es lineal, isotrópico y homogéneo (ver densidad de polarización ), tenemos la ecuación constitutiva

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,}$$

εpermitividadEcampo eléctrico

Sustituyendo esto en la ley de Gauss y suponiendo que ε es espacialmente constante en la región de interés se obtiene

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0,}$$

∇×operador curlφpotencial eléctrico

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi ,}$$

φenergía potencial eléctrica

La derivación de la ecuación de Poisson en estas circunstancias es sencilla. Sustituyendo el gradiente de potencial por el campo eléctrico,

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }},}$$

la ecuación de Poisson

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$

Resolver la ecuación de Poisson para el potencial requiere conocer la distribución de densidad de carga. Si la densidad de carga es cero, entonces resulta la ecuación de Laplace . Si la densidad de carga sigue una distribución de Boltzmann , entonces resulta la ecuación de Poisson-Boltzmann . La ecuación de Poisson-Boltzmann juega un papel en el desarrollo de la teoría de Debye-Hückel de soluciones de electrolitos diluidos .

Usando la función de Green, el potencial a una distancia r de una carga puntual central Q (es decir, la solución fundamental ) es

$${\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}},}$$

la ley de la electrostática de Coulomb ${\displaystyle 4\pi }$

La discusión anterior supone que el campo magnético no varía con el tiempo. La misma ecuación de Poisson surge incluso si varía en el tiempo, siempre que se utilice el calibre de Coulomb . En este contexto más general, calcular φ ya no es suficiente para calcular E , ya que E también depende del potencial del vector magnético A , que debe calcularse de forma independiente. Consulte la ecuación de Maxwell en formulación potencial para obtener más información sobre φ y A en las ecuaciones de Maxwell y cómo se obtiene la ecuación de Poisson en este caso.

Potencial de una densidad de carga gaussiana

Si hay una densidad de carga gaussiana estática esféricamente simétrica

$${\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$$

Qφ ( r )

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}}$$

$${\displaystyle \varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\operatorname {erf} \left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$$

erf( x )función de error

Esta solución se puede comprobar explícitamente evaluando ∇ ² φ .

Tenga en cuenta que para r mucho mayor que σ , la función erf se acerca a la unidad y el potencial φ ( r ) se acerca al potencial de carga puntual ,

$${\displaystyle \varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}},}$$

r > 3 σ

Reconstrucción de superficie

La reconstrucción de la superficie es un problema inverso . El objetivo es reconstruir digitalmente una superficie lisa basada en una gran cantidad de puntos pi (una nube de puntos ₎ , donde cada punto también lleva una estimación de la normal de la superficie local n _i . ^[3] La ecuación de Poisson se puede utilizar para resolver este problema con una técnica llamada reconstrucción de superficie de Poisson. ^[4]

El objetivo de esta técnica es reconstruir una función implícita f cuyo valor es cero en los puntos p _i y cuyo gradiente en los puntos p _i es igual a los vectores normales n _i . El conjunto de ( p i _, n i ₎ se modela así como un campo vectorial continuo V. La función implícita f se encuentra integrando el campo vectorial V. Dado que no todo campo vectorial es el gradiente de una función, el problema puede o no tener solución: la condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial suave V sea el gradiente de una función f es que la curvatura de V debe ser idéntica cero. En caso de que esta condición sea difícil de imponer, aún es posible realizar un ajuste de mínimos cuadrados para minimizar la diferencia entre V y el gradiente de f .

Para aplicar eficazmente la ecuación de Poisson al problema de reconstrucción de superficies, es necesario encontrar una buena discretización del campo vectorial V. El enfoque básico es vincular los datos con una cuadrícula de diferencias finitas . Para una función valorada en los nodos de dicha cuadrícula, su gradiente se puede representar como valorado en cuadrículas escalonadas, es decir, en cuadrículas cuyos nodos se encuentran entre los nodos de la cuadrícula original. Es conveniente definir tres cuadrículas escalonadas, cada una desplazada en una y sólo una dirección correspondiente a los componentes de los datos normales. En cada cuadrícula escalonada realizamos una interpolación trilineal en el conjunto de puntos. Los pesos de interpolación se utilizan luego para distribuir la magnitud del componente asociado de ni _en los nodos de la celda de cuadrícula escalonada particular que contiene p _i . Kazhdan y sus coautores ofrecen un método de discretización más preciso utilizando una cuadrícula adaptativa de diferencias finitas, es decir, las celdas de la cuadrícula son más pequeñas (la cuadrícula está dividida más finamente) donde hay más puntos de datos. ^[4] Sugieren implementar esta técnica con un octree adaptativo .

Dinámica de fluidos

Para las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes , dadas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}}$$

La ecuación para el campo de presión es un ejemplo de ecuación de Poisson no lineal: ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}}$$

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Ecuación de Poisson discreta
• Ecuación de Poisson-Boltzmann
• ecuación de Helmholtz
• Teorema de unicidad de la ecuación de Poisson
• formulación débil

Referencias

1. Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus KE, eds. (2005), Glosario de Geología, Instituto Geológico Americano, Springer, p. 503, ISBN 9780922152766
2. Poison (1823). "Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement" [Memoria sobre la teoría del magnetismo en movimiento]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (en francés). 6 : 441–570.De la pág. 463: "Donc, d'après ce qui précède, nous aurons enfin:
   $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,}$$
   selon que le point M será situé en dehors, à la superficial ou en dedans du volume que l'on considère." (Así, según lo anterior, finalmente tendremos:
   $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,}$$
   dependiendo de si el punto M está ubicado afuera, en la superficie o dentro del volumen que se está considerando.) V se define (p. 462) como
   $${\displaystyle V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz',}$$
   donde, en el caso de la electrostática, la integral se realiza sobre el volumen del cuerpo cargado, las coordenadas de los puntos que se encuentran dentro o sobre el volumen del cuerpo cargado se denotan por , es una función dada de y en electrostática, sería una medida de densidad de carga, y se define como la longitud de un radio que se extiende desde el punto M hasta un punto que se encuentra dentro o sobre el cuerpo cargado. Las coordenadas del punto M se denotan por y denotan el valor de (la densidad de carga) en M. ${\displaystyle (x',y',z')}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle (x',y,'z')}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'}$
3. Calakli, Fatih; Taubin, Gabriel (2011). "Reconstrucción de superficie lisa a distancia firmada" (PDF) . Gráficos del Pacífico . 30 (7).
4. Kazhdan, Michael; Bolitho, Mateo; Hoppe, Hugues (2006). "Reconstrucción de la superficie de Poisson". Actas del cuarto simposio de Eurographics sobre procesamiento de geometría (SGP '06) . Asociación Eurográfica, Aire-la-Ville, Suiza. págs. 61–70. ISBN 3-905673-36-3.

Otras lecturas

• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence (RI): Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0772-2.
• Mateo, Jon; Walker, Robert L. (1970). Métodos matemáticos de la física (2ª ed.). Nueva York: WA Benjamín. ISBN 0-8053-7002-1.
• Polianina, Andrei D. (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Ratón (FL): Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

enlaces externos

• "Ecuación de Poisson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuación de Poisson en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas
• La ecuación de Poisson en PlanetMath .