Grupo algebraico

Variedad algebraica con estructura de grupo

En matemáticas , un grupo algebraico es una variedad algebraica dotada de una estructura de grupo compatible con su estructura como variedad algebraica. Por tanto, el estudio de los grupos algebraicos pertenece tanto a la geometría algebraica como a la teoría de grupos .

Muchos grupos de transformaciones geométricas son grupos algebraicos; por ejemplo, grupos ortogonales , grupos lineales generales , grupos proyectivos , grupos euclidianos , etc. Muchos grupos matriciales también son algebraicos. Otros grupos algebraicos se dan de forma natural en la geometría algebraica, como las curvas elípticas y las variedades jacobianas .

Una clase importante de grupos algebraicos está dada por los grupos algebraicos afines , aquellos cuya variedad algebraica subyacente es una variedad afín ; son exactamente los subgrupos algebraicos del grupo lineal general , y por lo tanto también se llaman grupos algebraicos lineales . ^[1] Otra clase está formada por las variedades abelianas , que son los grupos algebraicos cuya variedad subyacente es una variedad proyectiva . El teorema de estructura de Chevalley establece que todo grupo algebraico puede construirse a partir de grupos de esas dos familias.

Definiciones

Formalmente, un grupo algebraico sobre un cuerpo es una variedad algebraica sobre , junto con un elemento distinguido (el elemento neutro ), y aplicaciones regulares (la operación de multiplicación) y (la operación de inversión) que satisfacen los axiomas del grupo. ^[2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e\in \mathrm {G} (k)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$

Ejemplos

• El grupo aditivo : la recta afín dotada de adición y de operaciones de grupo opuestas es un grupo algebraico. Se denomina grupo aditivo (porque sus puntos son isomorfos como grupo al grupo aditivo de ), y se suele denotar por . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{a}}$
• El grupo multiplicativo : Sea la variedad afín definida por la ecuación en el plano afín . Las funciones y son regulares en , y satisfacen los axiomas de grupo (con elemento neutro ). El grupo algebraico se llama grupo multiplicativo, porque sus puntos son isomorfos al grupo multiplicativo del cuerpo (un isomorfismo viene dado por  ; nótese que el subconjunto de elementos invertibles no define una subvariedad algebraica en ). ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x^{-1},y^{-1})}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$
• El grupo lineal especial es un grupo algebraico: está dado por la ecuación algebraica en el espacio afín (identificado con el espacio de matrices -por- ), la multiplicación de matrices es regular y la fórmula para la inversa en términos de la matriz adjunta muestra que la inversión también es regular en matrices con determinante 1. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}}$ ${\displaystyle \det(g)=1}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• El grupo lineal general de matrices invertibles sobre un cuerpo es un grupo algebraico. Puede realizarse como una subvariedad de manera muy similar al grupo multiplicativo del ejemplo anterior. ^[3] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}+1}}$
• Una curva cúbica no singular en el plano proyectivo con un punto especificado puede estar dotada de una ley de grupo definida geométricamente que la convierte en un grupo algebraico (véase curva elíptica ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Definiciones relacionadas

Un subgrupo algebraico de un grupo algebraico es una subvariedad de que también es un subgrupo de (es decir, los mapas y que definen la estructura del grupo mapa y , respectivamente, en ). ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} \times \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$

Un morfismo entre dos grupos algebraicos es una función regular que también es un homomorfismo de grupo. Su núcleo es un subgrupo algebraico de , su imagen es un subgrupo algebraico de . ^[4] ${\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {G} '}$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} '}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} '}$

Los cocientes en la categoría de grupos algebraicos son más delicados de tratar. Se dice que un subgrupo algebraico es normal si es estable bajo cada automorfismo interno (que son aplicaciones regulares). Si es un subgrupo algebraico normal de entonces existe un grupo algebraico y un morfismo sobreyectivo tal que es el núcleo de . ^[5] Nótese que si el cuerpo no es algebraicamente cerrado, el morfismo de los grupos puede no ser sobreyectivo (el valor predeterminado de la sobreyectividad se mide por la cohomología de Galois ). ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} /\mathrm {H} }$ ${\displaystyle \pi :\mathrm {G} \to \mathrm {G} /\mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)\to \mathrm {G} (k)/\mathrm {H} (k)}$

Álgebra de Lie de un grupo algebraico

De manera similar a la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie , a un grupo algebraico sobre un cuerpo se le asocia un álgebra de Lie sobre . Como espacio vectorial, el álgebra de Lie es isomorfa al espacio tangente en el elemento identidad. El corchete de Lie se puede construir a partir de su interpretación como un espacio de derivaciones. ^[6] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Definiciones alternativas

Una definición más sofisticada de un grupo algebraico sobre un cuerpo es que es la de un esquema de grupo sobre (los esquemas de grupo se pueden definir de manera más general sobre anillos conmutativos ). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Otra definición del concepto es decir que un grupo algebraico sobre es un objeto de grupo en la categoría de variedades algebraicas sobre . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Grupos algebraicos afines

Se dice que un grupo algebraico es afín si su variedad algebraica subyacente es una variedad afín. Entre los ejemplos anteriores, los grupos aditivos, multiplicativos y los grupos lineales generales y especiales son afines. Utilizando la acción de un grupo algebraico afín sobre su anillo de coordenadas, se puede demostrar que todo grupo algebraico afín es lineal (o grupo matricial), lo que significa que es isomorfo a un subgrupo algebraico del grupo lineal general.

Por ejemplo, el grupo aditivo puede estar incluido en el morfismo . ${\displaystyle \mathrm {GL} _{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto \left({\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$

Hay muchos ejemplos de este tipo de grupos además de los citados anteriormente:

• Los grupos ortogonales y simplécticos son grupos algebraicos afines.
• grupos unipotentes .
• toros algebraicos
• ciertos productos semidirectos , ^[7] por ejemplo los grupos Jet , o algunos grupos resolubles como el de las matrices triangulares invertibles .

Los grupos algebraicos lineales pueden clasificarse hasta cierto punto. El teorema de Levi establece que cada uno de ellos es (esencialmente) un producto semidirecto de un grupo unipotente (su radical unipotente ) con un grupo reductivo . A su vez, los grupos reductivos se descomponen como (de nuevo esencialmente) un producto de su centro (un toro algebraico) con un grupo semisimple . Estos últimos se clasifican sobre cuerpos algebraicamente cerrados a través de su álgebra de Lie . ^[8] La clasificación sobre cuerpos arbitrarios es más compleja pero aún así bien entendida. ^[9] Si se puede hacer muy explícita en algunos casos, por ejemplo sobre los cuerpos reales o p-ádicos , y por lo tanto sobre los cuerpos numéricos a través de principios locales-globales .

Variedades abelianas

Las variedades abelianas son grupos algebraicos proyectivos conexos, como por ejemplo las curvas elípticas. Son siempre conmutativas. Surgen de forma natural en diversas situaciones de la geometría algebraica y la teoría de números, por ejemplo, como la variedad jacobiana de una curva.

Teorema de estructura para grupos algebraicos generales

No todos los grupos algebraicos son grupos lineales o variedades abelianas, por ejemplo, algunos esquemas de grupos que ocurren naturalmente en la geometría aritmética no son ni lo uno ni lo otro. ^[10] El teorema de estructura de Chevalley afirma que cada grupo algebraico conexo es una extensión de una variedad abeliana por un grupo algebraico lineal . Más precisamente, si K es un cuerpo perfecto y G un grupo algebraico conexo sobre K , existe un único subgrupo normal cerrado H en G , tal que H es un grupo algebraico lineal conexo y G / H una variedad abeliana.

Conectividad

Como variedad algebraica conlleva una topología de Zariski . En general, no es una topología de grupo , es decir, las operaciones de grupo pueden no ser continuas para esta topología (porque la topología de Zariski en el producto no es el producto de las topologías de Zariski en los factores ^[11] ). ${\displaystyle \mathrm {G} }$

Se dice que un grupo algebraico es conexo si la variedad algebraica subyacente es conexa para la topología de Zariski. Para un grupo algebraico esto significa que no es la unión de dos subconjuntos algebraicos propios. ^[12]

Ejemplos de grupos que no están conectados son los subgrupos algebraicos de las raíces de la unidad en el grupo multiplicativo (cada punto es un subconjunto cerrado por Zariski, por lo que no está conectado para ). Este grupo se denota generalmente por . Otro grupo no conectado es el grupo ortogonal en dimensión par (el determinante da un morfismo sobreyectivo a ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

En términos más generales, todo grupo finito es un grupo algebraico (puede realizarse como un subgrupo finito, por lo tanto cerrado por Zariski, de algún grupo mediante el teorema de Cayley ). Además, es afín y proyectivo. Por lo tanto, en particular para fines de clasificación, es natural restringir los enunciados a grupos algebraicos conexos. ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$

Grupos algebraicos sobre cuerpos locales y grupos de Lie

Si el cuerpo es un cuerpo local (por ejemplo, los números reales o complejos, o un cuerpo p-ádico) y es un -grupo, entonces el grupo está dotado de la topología analítica que proviene de cualquier inserción en un espacio proyectivo como una variedad cuasi-proyectiva. Esta es una topología de grupo y se convierte en un grupo topológico. Estos grupos son ejemplos importantes en la teoría general de grupos topológicos. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$

Si o entonces esto se convierte en un grupo de Lie . No todos los grupos de Lie se pueden obtener mediante este procedimiento, por ejemplo, la cobertura universal de SL 2 ( R ) , o el cociente del grupo de Heisenberg por un subgrupo discreto normal infinito. ^[13] Un grupo algebraico sobre los números reales o complejos puede tener subgrupos cerrados (en la topología analítica) que no tienen el mismo componente conexo de la identidad que cualquier subgrupo algebraico. ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$

Grupos de Coxeter y grupos algebraicos

Existen varios resultados análogos entre los grupos algebraicos y los grupos de Coxeter : por ejemplo, el número de elementos del grupo simétrico es , y el número de elementos del grupo lineal general sobre un cuerpo finito es (hasta cierto factor) el q -factorial ; por lo tanto, el grupo simétrico se comporta como si fuera un grupo lineal sobre "el cuerpo con un elemento". Esto se formaliza mediante el cuerpo con un elemento , que considera a los grupos de Coxeter como grupos algebraicos simples sobre el cuerpo con un elemento. ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle [n]_{q}!}$

Véase también

• Variedad de personajes
• Subgrupo Borel
• Grupo domesticado
• Rango de Morley
• Conjetura de Cherlin-Zilber
• Grupo algebraico adélico
• Grupo pseudo-reductivo

Referencias

1. Borel 1991, pág. 54.
2. Borel 1991, pág. 46.
3. Borel 1991, 1.6(2), pág. 49.
4. Borel 1991, Corolario 1.4, pág. 47.
5. Borel 1991, Teorema 6.8, pág. 98.
6. Borel 1991, 3.5, pág. 65.
7. Borel 1991, págs. 55-56.
8. Borel 1991, 24.1.
9. Borel 1991, 24.2.
10. Conrad, Brian (2002). "Una prueba moderna del teorema de Chevalley sobre grupos algebraicos". J. Ramanujan Math. Soc . 17 (1): 1–18. Zbl  1007.14005.
11. Borel 1991, pág. 16.
12. Borel 1991, pág. 47.
13. "Grupo de Lie no lineal". MathOverflow . Consultado el 13 de mayo de 2022 .

• Chevalley, Claude, ed. (1958), Séminaire C. Chevalley, 1956--1958. Classification des groupes de Lie algébriques, 2 vols, París: Secrétariat Mathématique, MR  0106966, reimpreso como volumen 3 de las obras completas de Chevalley, archivado desde el original el 4 de noviembre de 2014 , consultado el 25 de junio de 2012.
• Borel, Armand (1991). Grupos algebraicos lineales. 2.ª edición ampliada . Textos de posgrado en matemáticas. Springer-Verlag. pp. x+288. Zbl  0726.20030.
• Humphreys, James E. (1972), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 21, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, Sr.  0396773
• Lang, Serge (1983), Variedades abelianas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90875-5
• Milne, JS (2017), Grupos algebraicos: la teoría de esquemas de grupos de tipo finito sobre un campo , Cambridge University Press , doi :10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, Sr.  3729270
• Milne, JS, Esquemas de grupos afines; Álgebras de Lie; Grupos de Lie; Grupos reductivos; Subgrupos aritméticos
• Mumford, David (1970), Variedades abelianas , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290
• Springer, Tonny A. (1998), Grupos algebraicos lineales , Progress in Mathematics, vol. 9 (2.ª ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, Sr.  1642713
• Waterhouse, William C. (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 66, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90421-4
• Weil, André (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes , París: Hermann, OCLC  322901

Lectura adicional

• Grupos algebraicos y sus álgebras de Lie por Daniel Miller