Álgebra de mentira semisimple

Suma directa de álgebras de Lie simples

En matemáticas , un álgebra de Lie es semisimple si es una suma directa de álgebras de Lie simples. (Un álgebra de Lie simple es un álgebra de Lie no abeliana sin ideales propios distintos de cero ).

A lo largo del artículo, a menos que se indique lo contrario, un álgebra de Lie es un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica 0. Para dicho álgebra de Lie , si es distinto de cero, las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple;
• la forma Killing , κ(x,y) = tr(ad( x )ad( y )), no es degenerada ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$no tiene ideales abelianos distintos de cero;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$no tiene ideales resolubles distintos de cero;
• el radical (ideal máximo solucionable) de es cero. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Significado

La importancia de la semisimplicidad proviene en primer lugar de la descomposición de Levi , que establece que todo álgebra de Lie de dimensión finita es el producto semidirecto de un ideal soluble (su radical) y un álgebra semisimple. En particular, no existe un álgebra de Lie distinta de cero que sea a la vez solucionable y semisimple.

Las álgebras de Lie semisimples tienen una clasificación muy elegante, en marcado contraste con las álgebras de Lie resolubles . Las álgebras de Lie semisimples sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero se clasifican completamente por su sistema de raíces , que a su vez se clasifican mediante diagramas de Dynkin . Las álgebras semisimples sobre cuerpos no algebraicamente cerrados pueden entenderse en términos de aquellas sobre el cierre algebraico, aunque la clasificación es algo más compleja; ver forma real para el caso de álgebras de Lie semisimples reales, que fueron clasificadas por Élie Cartan .

Además, la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimples es mucho más clara que la de las álgebras de Lie generales. Por ejemplo, la descomposición de Jordan en un álgebra de Lie semisimple coincide con la descomposición de Jordan en su representación; este no es el caso de las álgebras de Lie en general.

Si es semisimple, entonces . En particular, cada álgebra de Lie lineal semisimple es una subálgebra de , el álgebra de Lie lineal especial . El estudio de la estructura de constituye una parte importante de la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

Historia

Las álgebras de Lie semisimples sobre números complejos fueron clasificadas por primera vez por Wilhelm Killing (1888-1890), aunque su demostración carecía de rigor. Su prueba fue hecha rigurosa por Élie Cartan (1894) en su doctorado. tesis, quien también clasificó álgebras de Lie reales semisimples. Esto se perfeccionó posteriormente, y la clasificación actual mediante diagramas de Dynkin fue dada por Eugene Dynkin, entonces de 22 años, en 1947. Se han realizado algunas modificaciones menores (en particular por JP Serre), pero la prueba no ha cambiado en lo esencial y puede ser encontrado en cualquier referencia estándar, como (Humphreys 1972).

Propiedades básicas

• Todo ideal, cociente y producto de álgebras de Lie semisimples es nuevamente semisimple. ^[1]
• El centro de un álgebra de Lie semisimple es trivial (ya que el centro es un ideal abeliano). En otras palabras, la representación adjunta es inyectiva. Además, la imagen resulta ^[2 ] de derivaciones de . Por tanto, es un isomorfismo. ^[3] (Este es un caso especial del lema de Whitehead ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$
• Como la representación adjunta es inyectiva, un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie lineal bajo la representación adjunta. Esto puede generar cierta ambigüedad, ya que todo álgebra de Lie ya es lineal con respecto a algún otro espacio vectorial ( teorema de Ado ), aunque no necesariamente a través de la representación adjunta. Pero en la práctica, esa ambigüedad rara vez se produce.
• Si es un álgebra de Lie semisimple, entonces (porque es semisimple y abeliano). ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo k de característica cero es semisimple si y sólo si la extensión de la base es semisimple para cada extensión de campo . ^[5] Así, por ejemplo, un álgebra de Lie real de dimensión finita es semisimple si y sólo si su complejización es semisimple. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle F\supset k}$

Descomposición de Jordania

Cada endomorfismo x de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo de característica cero puede descomponerse únicamente en una parte semisimple (es decir, diagonalizable sobre el cierre algebraico) y nilpotente .

${\displaystyle x=s+n\ }$

tal que s y n conmutan entre sí. Además, cada uno de s y n es un polinomio en x . Esta es la descomposición de Jordan de x .

Lo anterior se aplica a la representación adjunta de un álgebra de Lie semisimple . Un elemento x de se dice que es semisimple (resp. nilpotente) si es un operador semisimple (resp. nilpotente). ^[6] Si , entonces la descomposición abstracta de Jordan establece que x puede escribirse únicamente como: ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle x=s+n}$

donde es semisimple, es nilpotente y . ^[7] Además, si conmuta con x , entonces también conmuta con ambos . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [s,n]=0}$ ${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s,n}$

La descomposición abstracta de Jordan tiene en cuenta cualquier representación de en el sentido de que dada cualquier representación ρ, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

es la descomposición de Jordan de ρ( x ) en el álgebra de endomorfismo del espacio de representación. ^[8] (Esto se demuestra como consecuencia del teorema de reducibilidad completa de Weyl ; consulte el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa#Aplicación: preservación de la descomposición de Jordan ).

Estructura

Sea un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. La estructura de puede describirse mediante la acción adjunta de una determinada subálgebra distinguida sobre ella, una subálgebra de Cartan . Por definición, ^[9] una subálgebra de Cartan (también llamada subálgebra toral máxima ) es una subálgebra máxima tal que, para cada uno , es diagonalizable . Resulta que es abeliano y, por lo tanto, todos los operadores son simultáneamente diagonalizables . Para cada funcional lineal de , sea ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

(Tenga en cuenta que es el centralizador de ). Entonces ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Descomposición del espacio raíz  -  ^[10] Dada una subálgebra de Cartan , se sostiene que hay una descomposición (como un módulo): ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

¿ Dónde está el conjunto de todos los funcionales lineales distintos de cero de tal que ? Además, para cada uno , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq \{0\}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$

• ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }}$, que es la igualdad si . ${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$
• ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }\oplus {\mathfrak {g}}_{\alpha }\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}}$como álgebra de mentira.
• ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$; En particular, . ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2\alpha }=\{0\}}$; en otras palabras, . ${\displaystyle 2\alpha \not \in \Phi }$
• Con respecto a la forma Killing B , son ortogonales entre sí si ; la restricción de B a no es degenerada. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

(El elemento más difícil de mostrar es . Todas las pruebas estándar utilizan algunos hechos en la teoría de representación de ; por ejemplo, Serre usa el hecho de que un módulo con un elemento primitivo de peso negativo es de dimensión infinita, lo que contradice ). ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$

Dejemos con las relaciones de conmutación ; es decir, corresponden a la base estándar de . ${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ ${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$ ${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Los funcionales lineales en se llaman raíces de relativo a . Las raíces abarcan (ya que si , entonces es el operador cero; es decir, está en el centro, que es cero). Además, de la teoría de representación de , se deducen las siguientes propiedades integrales y de simetría de : para cada , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$

• El endomorfismo

  ${\displaystyle s_{\alpha }:{\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {h}}^{*},\,\gamma \mapsto \gamma -\gamma (h_{\alpha })\alpha }$

  deja invariante (es decir, ). ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle s_{\alpha }(\Phi )\subset \Phi }$
• ${\displaystyle \beta (h_{\alpha })}$es un número entero.

Tenga en cuenta que tiene las propiedades (1) y (2) el conjunto de punto fijo es , lo que significa que es la reflexión con respecto al hiperplano correspondiente a . Lo anterior dice entonces que es un sistema raíz . ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$ ${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Phi }$

De la teoría general de un sistema de raíces se desprende que contiene una base tal que cada raíz es una combinación lineal con coeficientes enteros del mismo signo; las raíces se llaman raíces simples . Dejemos , etc. Luego los elementos (llamados generadores de Chevalley ) se generan como un álgebra de Lie. Además, satisfacen las relaciones (llamadas relaciones de Serre ): con , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle 3l}$ ${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

Lo contrario de esto también es cierto: es decir, el álgebra de Lie generada por los generadores y las relaciones como las anteriores es un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) que tiene la descomposición del espacio raíz como se indicó anteriormente (siempre que sea una matriz de Cartan ). Este es un teorema de Serre . En particular, dos álgebras de Lie semisimples son isomorfas si tienen el mismo sistema de raíces. ${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$

La implicación de la naturaleza axiomática de un sistema de raíces y el teorema de Serre es que se pueden enumerar todos los sistemas de raíces posibles; de ahí, "todas las posibles" álgebras de Lie semisimples (de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero).

El grupo Weyl es el grupo de transformaciones lineales de generadas por los 's. El grupo Weyl es una simetría importante del problema; por ejemplo, los pesos de cualquier representación de dimensión finita son invariantes bajo el grupo de Weyl. ^[11] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplo de descomposición del espacio raíz en sl n (C)

Para y la subálgebra de Cartan de matrices diagonales, defina por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$,

donde denota la matriz diagonal con en la diagonal. Entonces la descomposición viene dada por ${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

dónde

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

para el vector con la base estándar (matriz), el significado representa el vector de base en la -ésima fila y la -ésima columna. Esta descomposición de tiene un sistema raíz asociado: ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

SL 2 (C)

Por ejemplo, en la descomposición es ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}$

y el sistema raíz asociado es

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{1}-\lambda _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}\}}$

SL 3 (C)

En la descomposición es ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}}$

y el sistema raíz asociado está dado por

${\displaystyle \Phi =\{\pm (\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _{2}-\lambda _{3})\}}$

Ejemplos

Como se señaló en #Estructura, las álgebras de Lie semisimples (o más generalmente un campo algebraicamente cerrado de característica cero) se clasifican por el sistema de raíces asociado a sus subálgebras de Cartan, y los sistemas de raíces, a su vez, se clasifican por sus diagramas de Dynkin. Ejemplos de álgebras de Lie semisimples, las álgebras de Lie clásicas , con notación proveniente de sus diagramas de Dynkin , son: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$, el álgebra lineal especial de Lie .
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$, el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensiones impares .
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$, el álgebra de Lie simpléctica .
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$, el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensión par ( ). ${\displaystyle n>1}$

La restricción en la familia es necesaria porque es unidimensional y conmutativa y, por tanto, no semisimple. ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$

Estas álgebras de Lie están numeradas de modo que n es el rango . Casi todas estas álgebras de Lie semisimples son en realidad simples y casi todos los miembros de estas familias son distintos, excepto algunas colisiones en rangos pequeños. Por ejemplo y . Estas cuatro familias, junto con cinco excepciones ( E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 ), son de hecho las únicas álgebras de Lie simples sobre números complejos. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$

Clasificación

Las álgebras de Lie simples se clasifican mediante los diagramas de Dynkin conectados .

Cada álgebra de Lie semisimple sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0 es una suma directa de álgebras de Lie simples (por definición), y las álgebras de Lie _simples de dimensión finita se dividen en cuatro familias: An _, Bn _, Cn y Dn _. – con cinco excepciones E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 . Las álgebras de Lie simples se clasifican mediante los diagramas de Dynkin conectados , que se muestran a la derecha, mientras que las álgebras de Lie semisimples corresponden a diagramas de Dynkin no necesariamente conectados, donde cada componente del diagrama corresponde a una suma de la descomposición del álgebra de Lie semisimple en álgebras de Lie simples. .

La clasificación procede considerando una subálgebra de Cartan (ver más abajo) y su acción adjunta sobre el álgebra de Lie. El sistema de raíces de la acción determina entonces el álgebra de Lie original y debe tener una forma muy restringida, que pueda clasificarse mediante los diagramas de Dynkin. Consulte la sección siguiente que describe las subálgebras y los sistemas de raíces de Cartan para obtener más detalles.

La clasificación se considera ampliamente como uno de los resultados más elegantes en matemáticas: una breve lista de axiomas produce, a través de una prueba relativamente breve, una clasificación completa pero no trivial con una estructura sorprendente. Esto debería compararse con la clasificación de grupos finitos simples , que es significativamente más complicada.

La enumeración de las cuatro familias no es redundante y consta sólo de álgebras simples para A _n , para B _n , para C _n y para D _n . Si se empieza a numerar más abajo, la enumeración es redundante y se tienen isomorfismos excepcionales entre álgebras de Lie simples, que se reflejan en los isomorfismos de los diagramas de Dynkin ; los E _n también se pueden extender hacia abajo, pero por debajo de E ₆ son isomorfos a otras álgebras no excepcionales. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n\geq 4}$

En un campo no algebraicamente cerrado, la clasificación es más complicada: se clasifican álgebras de Lie simples sobre el cierre algebraico, luego, para cada una de ellas, se clasifican álgebras de Lie simples sobre el campo original que tiene esta forma (sobre el cierre). Por ejemplo, para clasificar álgebras de Lie reales simples, se clasifican álgebras de Lie reales con una complejización determinada, que se conocen como formas reales del álgebra de Lie compleja; esto se puede hacer mediante diagramas de Satake , que son diagramas de Dynkin con datos adicionales ("decoraciones"). ^[12]

Teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples

Sea un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Luego, como en #Estructura, ¿ dónde está el sistema raíz? Elija las raíces simples en ; una raíz de entonces se llama positiva y se denota por si es una combinación lineal de raíces simples con coeficientes enteros no negativos. Sea , que es una subálgebra máxima resoluble de la subálgebra de Borel . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea V un módulo simple (posiblemente de dimensión infinita) . Si V admite un vector de peso , ^[13] entonces es único hasta el escalamiento y se denomina vector de peso más alto de V. También es un vector de peso y el peso de , un funcional lineal de , se denomina peso más alto de V . Los hechos básicos pero no triviales ^[14] son ​​entonces (1) para cada funcional lineal , existe un módulo simple que tiene como peso más alto y (2) dos módulos simples que tienen el mismo peso más alto son equivalentes. En resumen, existe una biyección entre y el conjunto de clases de equivalencia de módulos simples que admiten un vector de peso de Borel. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para las aplicaciones, a menudo uno está interesado en un módulo simple de dimensión finita (una representación irreducible de dimensión finita). Este es especialmente el caso cuando se trata del álgebra de Lie de un grupo de Lie (o la complejización del mismo), ya que, a través de la correspondencia de Lie , una representación del álgebra de Lie se puede integrar a una representación del grupo de Lie cuando se superan las obstrucciones. El siguiente criterio aborda esta necesidad: por cámara de Weyl positiva nos referimos al cono convexo donde hay un vector único tal que . El criterio entonces dice: ^[15] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$ ${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$si y sólo si, para cada raíz positiva , (1) es un número entero y (2) se encuentra en . ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C}$

Un funcional lineal que satisface la condición equivalente anterior se llama peso integral dominante. Por tanto, en resumen, existe una biyección entre los pesos integrales dominantes y las clases de equivalencia de módulos simples de dimensión finita, resultado conocido como teorema del peso más alto . El carácter de un módulo simple de dimensión finita se calcula, por turnos, mediante la fórmula del carácter de Weyl . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El teorema de Weyl dice que, sobre un campo de característica cero, todo módulo de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple es completamente reducible ; es decir, es una suma directa de módulos simples. Por lo tanto, los resultados anteriores se aplican a representaciones de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Álgebra de mentira real semisimple

Para un álgebra de Lie semisimple sobre un campo que tiene característica cero pero no es algebraicamente cerrado, no existe una teoría de estructura general como la de aquellos sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Pero en el campo de los números reales, todavía están los resultados de la estructura.

Sea un álgebra de Lie semisimple real de dimensión finita y su complejización (que nuevamente es semisimple). El álgebra de Lie real se llama forma real de . Una forma real se llama forma compacta si la forma Killing es negativa-definida; es necesariamente el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto (de ahí el nombre). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

Estuche compacto

Supongamos que es una forma compacta y un subespacio abeliano máximo. Se puede demostrar (por ejemplo, por el hecho de que es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto) que consta de matrices sesgadas-hermitianas, diagonalizables con valores propios imaginarios. Por lo tanto, es una subálgebra de Cartan y da como resultado la descomposición del espacio raíz (cf. #Estructura) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

donde cada uno tiene un valor real en ; por lo tanto, se puede identificar con un funcional real-lineal en el espacio vectorial real . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$

Por ejemplo, consideremos y tomemos el subespacio de todas las matrices diagonales. Nota . Sea el funcional lineal dado por para . Luego para cada uno , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle e_{i}(H)=h_{i}}$ ${\displaystyle H=\operatorname {diag} (h_{1},\dots ,h_{n})}$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle [H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}}$

¿Dónde está la matriz que tiene 1 en el -ésimo lugar y cero en el resto? Por lo tanto, cada raíz tiene la forma y la descomposición espacial de raíces es la descomposición de matrices: ^[16] ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =e_{i}-e_{j},i\neq j}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{i\neq j}\mathbb {C} E_{ij}.}$

Caso no compacto

Supongamos que no es necesariamente una forma compacta (es decir, la firma de la forma Killing no es del todo negativa). Supongamos, además, que tiene una involución de Cartan y sea la descomposición en el espacio propio de , donde están los espacios propios para 1 y -1, respectivamente. Por ejemplo, si y la transposición negativa, entonces . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(n)}$

Sea un subespacio abeliano máximo. Ahora, consta de matrices simétricas (con respecto a un producto interno adecuado) y, por lo tanto, los operadores son simultáneamente diagonalizables, con valores propios reales. Repitiendo los argumentos para el campo base algebraicamente cerrado, se obtiene la descomposición (llamada descomposición del espacio de raíz restringido ): ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

dónde

• los elementos en se llaman raíces restringidas, ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \theta ({\mathfrak {g}}_{\alpha })={\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$para cualquier funcional lineal ; En particular, , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\Phi \subset \Phi }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus Z_{\mathfrak {k}}({\mathfrak {a}})}$.

Además, es un sistema de raíces pero no necesariamente reducido (es decir, puede ocurrir que sean ambas raíces). ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha ,2\alpha }$

El caso de sl(n,C)

Si , entonces puede considerarse la subálgebra diagonal de , que consta de matrices diagonales cuyas entradas diagonales suman cero. Como tiene dimensión , vemos que tiene rango . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n-1}$

Los vectores raíz en este caso pueden considerarse matrices con , donde está la matriz con un 1 en el lugar y ceros en el resto. ^[18] Si es una matriz diagonal con entradas diagonales , entonces tenemos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$.

Por tanto, las raíces de son los funcionales lineales dados por ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

Después de identificarse con su dual, las raíces se convierten en los vectores en el espacio de tuplas que suman cero. Este es el sistema de raíces que se conoce como en el etiquetado convencional. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$

La reflexión asociada a la raíz actúa transponiendo las entradas diagonales y . El grupo de Weyl es entonces solo el grupo de permutación de elementos, que actúa permutando las entradas diagonales de las matrices en . ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Generalizaciones

Las álgebras de Lie semisimples admiten ciertas generalizaciones. En primer lugar, muchas afirmaciones que son verdaderas para álgebras de Lie semisimples lo son de manera más general para álgebras de Lie reductivas . De manera abstracta, un álgebra de Lie reductiva es aquella cuya representación adjunta es completamente reducible , mientras que concretamente, un álgebra de Lie reductiva es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana ; por ejemplo, es semisimple y reductivo. Muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimples dependen únicamente de la reducibilidad. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

Muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimples/reductivas complejas son ciertas no sólo para las álgebras de Lie semisimples/reductivas sobre campos algebraicamente cerrados, sino más generalmente para las álgebras de Lie semisimples/reductivas divididas sobre otros campos: las álgebras de Lie semisimples/reductivas sobre campos algebraicamente cerrados siempre están divididas , pero en otros campos este no es siempre el caso. Las álgebras de Lie divididas tienen esencialmente la misma teoría de representación que las álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados; por ejemplo, la subálgebra de Cartan de división desempeña el mismo papel que la subálgebra de Cartan sobre campos algebraicamente cerrados. Este es el enfoque seguido en (Bourbaki 2005), por ejemplo, que clasifica representaciones de álgebras de Lie divididas semisimples/reductivas.

Grupos semisimples y reductivos.

Un grupo de Lie conexo se llama semisimple si su álgebra de Lie es un álgebra de Lie semisimple, es decir, una suma directa de álgebras de Lie simples. Se llama reductivo si su álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie simples y triviales (unidimensionales). Los grupos reductivos ocurren naturalmente como simetrías de varios objetos matemáticos en álgebra, geometría y física. Por ejemplo, el grupo de simetrías de un espacio vectorial real de n dimensiones (equivalentemente, el grupo de matrices invertibles) es reductivo. ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$

Ver también

• álgebra de mentiras
• Sistema raíz
• Representación del álgebra de mentiras
• Grupo compacto
• Grupo de mentira simple
• subálgebra de Borel
• Teorema de Jacobson-Morozov

Referencias

1. Serre 2000, cap. II, § 2, Corolario del Teorema 3.
2. Dado que la forma Killing B no es degenerada, dada una derivación D , existe una x tal que para todo y y luego, mediante un cálculo sencillo, . ${\displaystyle \operatorname {tr} (D\operatorname {ad} y)=B(x,y)}$ ${\displaystyle D=\operatorname {ad} (x)}$
3. Serre 2000, cap. II, § 4, Teorema 5.
4. Serre 2000, cap. II, § 3, Corolario del Teorema 4.
5. Jacobson 1979, Corolario al final del cap. III, § 4.
6. Serre 2000, cap. II, § 5. Definición 3.
7. Serre 2000, cap. II, § 5. Teorema 6.
8. Serre 2000, cap. II, § 5. Teorema 7.
9. Ésta es una definición de una subálgebra de Cartan de un álgebra de Lie semisimple y coincide con la general.
10. Serre 2000, cap. VI, § 1.
11. Teorema 9.3 de Hall 2015
12. Knapp 2002 Sección VI.10
13. Un vector de peso también se denomina elemento primitivo , especialmente en los libros de texto más antiguos. ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$
14. En los libros de texto, estos hechos suelen establecerse mediante la teoría de los módulos de Verma .
15. Serre 2000, cap. VII, § 4, Teorema 3.
16. Knapp 2002, cap. IV, § 1, Ejemplo 1.
17. Knapp 2002, cap. V, § 2, Proposición 5.9.
18. Salón 2015 Sección 7.7.1

• Bourbaki, Nicolas (2005), "VIII: Álgebras de mentira semisimples divididas", Elementos de matemáticas: grupos de mentira y álgebras de mentira: capítulos 7 a 9 , Springer, ISBN 9783540434054
• Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006), Introducción a las álgebras de mentira (1ª ed.), Springer, ISBN 1-84628-040-0.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Álgebras de mentira . Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63832-4.
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción (2ª ed.), Birkhäuser
• Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Álgebras de mentira complejas semisimples ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.
• Varadarajan, VS (2004), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y sus representaciones (1ª ed.), Springer, ISBN 0-387-90969-9.