Morfismo de variedades algebraicas

En geometría algebraica , un morfismo entre variedades algebraicas es una función entre las variedades que está dada localmente por polinomios . También se llama aplicación regular . Un morfismo de una variedad algebraica a la línea afín también se llama función regular . Una aplicación regular cuya inversa también es regular se llama biregular , y las aplicaciones biregulares son los isomorfismos de las variedades algebraicas. Debido a que regular y biregular son condiciones muy restrictivas (no hay funciones regulares no constantes en las variedades proyectivas ), los conceptos de aplicaciones racionales y biracionales también se usan ampliamente; son funciones parciales que se definen localmente por fracciones racionales en lugar de polinomios.

Una variedad algebraica tiene naturalmente la estructura de un espacio anillado localmente ; un morfismo entre variedades algebraicas es precisamente un morfismo de los espacios anillados localmente subyacentes.

Definición

Si X e Y son subvariedades cerradas de y (por lo tanto son variedades afines ), entonces una función regular es la restricción de una función polinómica . Explícitamente, tiene la forma: ^[1] ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m})}$

donde las s están en el anillo de coordenadas de X : ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

donde I es el ideal que define a X (nota: dos polinomios f y g definen la misma función en X si y solo si f  −  g está en I ). La imagen f ( X ) se encuentra en Y , y por lo tanto satisface las ecuaciones definitorias de Y . Es decir, una función regular es lo mismo que la restricción de una función polinómica cuyos componentes satisfacen las ecuaciones definitorias de . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

De manera más general, una función f : X → Y entre dos variedades es regular en un punto x si hay un entorno U de x y un entorno V de f ( x ) tal que f ( U ) ⊂ V y la función restringida f : U → V es regular como función en algunas cartas afines de U y V . Entonces f se llama regular , si es regular en todos los puntos de X .

• Nota: No es inmediatamente obvio que las dos definiciones coincidan: si X e Y son variedades afines, entonces una función f : X → Y es regular en el primer sentido si y solo si lo es en el segundo sentido. ^[a] Además, no está inmediatamente claro si la regularidad depende de una elección de gráficos afines (no es así. ^[b] ) Sin embargo, este tipo de problema de consistencia desaparece si se adopta la definición formal. Formalmente, una variedad algebraica (abstracta) se define como un tipo particular de un espacio anillado localmente . Cuando se utiliza esta definición, un morfismo de variedades es simplemente un morfismo de espacios anillados localmente.

La composición de los mapas regulares es a su vez regular; por lo tanto, las variedades algebraicas forman la categoría de variedades algebraicas donde los morfismos son los mapas regulares.

Las aplicaciones regulares entre variedades afines corresponden contravariantemente en uno a uno a los homomorfismos algebraicos entre los anillos de coordenadas: si f : X → Y es un morfismo de variedades afines, entonces define el homomorfismo algebraico

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

donde son los anillos de coordenadas de X e Y ; está bien definido ya que es un polinomio en elementos de . Por el contrario, si es un homomorfismo algebraico, entonces induce el morfismo ${\displaystyle k[X],k[Y]}$ ${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle k[X]}$ ${\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

dado por: escritura ${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

¿Dónde están las imágenes de 's? ^[c] Nótese también que ^[d] En particular, f es un isomorfismo de variedades afines si y sólo si f ^# es un isomorfismo de los anillos de coordenadas. ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$ ${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$

Por ejemplo, si X es una subvariedad cerrada de una variedad afín Y y f es la inclusión, entonces f ^# es la restricción de funciones regulares en Y a X . Consulte #Ejemplos a continuación para ver más ejemplos.

Funciones regulares

En el caso particular de que Y sea igual a A ¹ las funciones regulares f : X → A ¹ se denominan funciones regulares y son análogas algebraicas de las funciones suaves estudiadas en geometría diferencial. El anillo de funciones regulares (es decir, el anillo de coordenadas o, de manera más abstracta, el anillo de secciones globales del haz de estructuras) es un objeto fundamental en la geometría algebraica afín. La única función regular en una variedad proyectiva es constante (esto puede verse como un análogo algebraico del teorema de Liouville en el análisis complejo ).

Una función escalar f : X → A ¹ es regular en un punto x si, en algún entorno afín abierto de x , es una función racional que es regular en x ; es decir, hay funciones regulares g , h cerca de x tales que f = g / h y h no se anula en x . ^[e] Precaución: la condición es para algún par ( g , h ) no para todos los pares ( g , h ); ver Ejemplos.

Si X es una variedad cuasi-proyectiva ; es decir, una subvariedad abierta de una variedad proyectiva, entonces el cuerpo de funciones k ( X ) es el mismo que el del cierre de X y por lo tanto una función racional en X es de la forma g / h para algunos elementos homogéneos g , h del mismo grado en el anillo de coordenadas homogéneo de (cf. Variedad proyectiva#Estructura de la variedad .) Entonces una función racional f en X es regular en un punto x si y solo si hay algunos elementos homogéneos g , h del mismo grado en tales que f = g / h y h no se anula en x . Esta caracterización a veces se toma como la definición de una función regular. ^[2] ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$

Comparación con un morfismo de esquemas

Si X = Spec A e Y = Spec B son esquemas afines , entonces cada homomorfismo de anillo ϕ: B → A determina un morfismo

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

tomando las preimágenes de los ideales primos . Todos los morfismos entre esquemas afines son de este tipo y al unir tales morfismos se obtiene un morfismo de esquemas en general.

Ahora bien, si X , Y son variedades afines; es decir, A , B son dominios integrales que son álgebras finitamente generadas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , entonces, trabajando solo con los puntos cerrados, lo anterior coincide con la definición dada en #Definición. (Demostración: Si f  : X → Y es un morfismo, entonces escribiendo , necesitamos demostrar ${\displaystyle \phi =f^{\#}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

donde son los ideales máximos correspondientes a los puntos x y f ( x ); es decir, . Esto es inmediato.) ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$

Este hecho significa que la categoría de variedades afines puede identificarse con una subcategoría completa de esquemas afines sobre k . Dado que los morfismos de variedades se obtienen pegando morfismos de variedades afines de la misma manera que los morfismos de esquemas se obtienen pegando morfismos de esquemas afines, se deduce que la categoría de variedades es una subcategoría completa de la categoría de esquemas sobre k .

Para más detalles, véase [1].

Ejemplos

• Las funciones regulares en A ⁿ son exactamente los polinomios en n variables y las funciones regulares en P ⁿ son exactamente las constantes.
• Sea X la curva afín . Entonces es un morfismo; es biyectiva con la inversa . Como g también es un morfismo, f es un isomorfismo de variedades. ${\displaystyle y=x^{2}}$ $${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$$ ${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$
• Sea X la curva afín . Entonces es un morfismo. Corresponde al homomorfismo de anillo que se ve que es inyectivo (ya que f es sobreyectivo). ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ $${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$$ $${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$
• Continuando con el ejemplo anterior, sea U = A ¹  − {1}. Como U es el complemento del hiperplano t = 1, U es afín. La restricción es biyectiva. Pero el homomorfismo de anillo correspondiente es la inclusión , que no es un isomorfismo y, por lo tanto, la restricción f | _U no es un isomorfismo. ${\displaystyle f:U\to X}$ ${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$
• Sea X la curva afín x ² + y ² = 1 y sea Entonces f es una función racional en X . Es regular en (0, 1) a pesar de la expresión ya que, como función racional en X , f también se puede escribir como . $${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}$$ ${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$
• Sea X = A ² − (0, 0) . Entonces X es una variedad algebraica ya que es un subconjunto abierto de una variedad. Si f es una función regular en X , entonces f es regular en y por lo tanto lo es en . De manera similar, lo es en . Por lo tanto, podemos escribir: donde g , h son polinomios en k [ x , y ]. Pero esto implica que g es divisible por x ⁿ y por lo tanto f es de hecho un polinomio. Por lo tanto, el anillo de funciones regulares en X es simplemente k [ x , y ]. (Esto también muestra que X no puede ser afín ya que si lo fuera, X está determinado por su anillo de coordenadas y por lo tanto X = A ² .) ${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$ ${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$ ${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$ $${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$$
• Supóngase que, al identificar los puntos ( x  : 1) con los puntos x en A ¹ y ∞ = (1 : 0), existe un automorfismo σ de P ¹ dado por σ(x : y) = (y : x); en particular, σ intercambia 0 e ∞. Si f es una función racional en P ¹ , entonces y f es regular en ∞ si y solo si f (1/ z ) es regular en cero. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$ $${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$
• Tomando el campo de funciones k ( V ) de una curva algebraica irreducible V , las funciones F en el campo de funciones pueden ser todas realizadas como morfismos desde V hasta la línea proyectiva sobre k . ^{[ aclaración necesaria ]} (cf. #Propiedades) La imagen será un solo punto, o toda la línea proyectiva (esto es una consecuencia de la completitud de las variedades proyectivas ). Es decir, a menos que F sea realmente constante, tenemos que atribuir a F el valor ∞ en algunos puntos de V .
• Para cualquier variedad algebraica X , Y , la proyección es un morfismo de variedades. Si X e Y son afines, entonces el homomorfismo de anillo correspondiente es donde . $${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$$ $${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$$ ${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$

Propiedades

Un morfismo entre variedades es continuo con respecto a las topologías de Zariski en la fuente y el destino.

La imagen de un morfismo de variedades no tiene por qué ser ni abierta ni cerrada (por ejemplo, la imagen de no es ni abierta ni cerrada). Sin embargo, todavía se puede decir: si f es un morfismo entre variedades, entonces la imagen de f contiene un subconjunto denso abierto de su clausura (cf. conjunto construible ). ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$

Se dice que un morfismo f : X → Y de variedades algebraicas es dominante si tiene imagen densa. Para tal f , si V es un subconjunto afín abierto no vacío de Y , entonces existe un subconjunto afín abierto no vacío U de X tal que f ( U ) ⊂ V y entonces es inyectivo. Por lo tanto, la función dominante f induce una inyección en el nivel de cuerpos de funciones: ${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

donde el límite directo recorre todos los subconjuntos afines abiertos no vacíos de Y . (Más abstractamente, este es el mapa inducido del campo de residuos del punto genérico de Y al de X .) A la inversa, cada inclusión de campos es inducida por un mapa racional dominante de X a Y . ^[3] Por lo tanto, la construcción anterior determina una equivalencia contravariante entre la categoría de variedades algebraicas sobre un campo k y mapas racionales dominantes entre ellos y la categoría de extensión de campo finitamente generada de k . ^[4] ${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$

Si X es una curva completa suave (por ejemplo, P ¹ ) y si f es una función racional de X a un espacio proyectivo P ^m , entonces f es una función regular X → P ^m . ^[5] En particular, cuando X es una curva completa suave, cualquier función racional en X puede verse como un morfismo X → P ¹ y, a la inversa, dicho morfismo como una función racional en X .

En una variedad normal (en particular, una variedad suave ), una función racional es regular si y solo si no tiene polos de codimensión uno. ^[f] Este es un análogo algebraico del teorema de extensión de Hartogs . También existe una versión relativa de este hecho; véase [2].

Un morfismo entre variedades algebraicas que es un homeomorfismo entre los espacios topológicos subyacentes no necesita ser un isomorfismo (un contraejemplo lo da un morfismo de Frobenius ). Por otra parte, si f es birracional biyectivo y el espacio objetivo de f es una variedad normal , entonces f es birregular. (cf. Teorema principal de Zariski ). ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$

Una función regular entre variedades algebraicas complejas es una función holomorfa . (En realidad, existe una ligera diferencia técnica: una función regular es una función meromórfica cuyos puntos singulares son removibles , pero la distinción suele ignorarse en la práctica). En particular, una función regular en números complejos es simplemente una función holomorfa habitual (función analítica compleja).

Morfismos a un espacio proyectivo

Dejar

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

Sea un morfismo de una variedad proyectiva a un espacio proyectivo. Sea x un punto de X . Entonces alguna i -ésima coordenada homogénea de f ( x ) es distinta de cero; digamos, i = 0 para simplificar. Entonces, por continuidad, existe un entorno afín abierto U de x tal que

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

es un morfismo, donde y _i son las coordenadas homogéneas. Nótese que el espacio objetivo es el espacio afín A ^m a través de la identificación . Por lo tanto, por definición, la restricción f | _U está dada por ${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

donde g _i son funciones regulares en U . Como X es proyectiva, cada g _i es una fracción de elementos homogéneos del mismo grado en el anillo de coordenadas homogéneas k [ X ] de X . Podemos ordenar las fracciones de modo que todas tengan el mismo denominador homogéneo, es decir f ₀ . Luego podemos escribir g _i = f _i / f ₀ para algunos elementos homogéneos f _i en k [ X ]. Por lo tanto, volviendo a las coordenadas homogéneas,

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

para todo x en U y por continuidad para todo x en X siempre que las f _i no se anulen en x simultáneamente. Si se anulan simultáneamente en un punto x de X , entonces, por el procedimiento anterior, se puede elegir un conjunto diferente de f _i que no se anulen en x simultáneamente (ver Nota al final de la sección).

De hecho, la descripción anterior es válida para cualquier variedad cuasi-proyectiva X , una subvariedad abierta de una variedad proyectiva ; la diferencia es que f _i están en el anillo de coordenadas homogéneo de . ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$

Nota : Lo anterior no dice que un morfismo de una variedad proyectiva a un espacio proyectivo esté dado por un único conjunto de polinomios (a diferencia del caso afín). Por ejemplo, sea X la cónica en P ² . Entonces, dos aplicaciones y concuerdan en el subconjunto abierto de X (ya que ) y, por lo tanto, definen un morfismo . ${\displaystyle y^{2}=xz}$ ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$ ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$ ${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$ ${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$

Fibras de un morfismo

El hecho importante es: ^[6]

Teorema  —  Sea f : X → Y un morfismo dominante (es decir, que tiene una imagen densa) de variedades algebraicas, y sea r = dim X  − dim Y . Entonces

1. Para cada subconjunto cerrado irreducible W de Y y cada componente irreducible Z del dominante W , ${\displaystyle f^{-1}(W)}$

   ${\displaystyle \dim Z\geq \dim W+r.}$

2. Existe un subconjunto abierto no vacío U en Y tal que (a) y (b) para cada subconjunto cerrado irreducible W de Y que interseca a U y cada componente irreducible Z de que interseca a , ${\displaystyle U\subset f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}(W)}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

   ${\displaystyle \dim Z=\dim W+r.}$

Corolario  —  Sea f : X → Y un morfismo de variedades algebraicas. Para cada x en X , defina

${\displaystyle e(x)=\max\{\dim Z\mid Z{\text{ an irreducible component of }}f^{-1}(f(x)){\text{ containing }}x\}.}$

Entonces e es semicontinuo superior ; es decir, para cada entero n , el conjunto

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X\mid e(x)\geq n\}}$

Está cerrado.

En el libro rojo de Mumford, el teorema se demuestra mediante el lema de normalización de Noether . Para un enfoque algebraico donde la libertad genérica juega un papel principal y la noción de " anillo catenario universal " es una clave en la prueba, véase Eisenbud, cap. 14 de "Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica". De hecho, la prueba allí muestra que si f es plana , entonces la igualdad de dimensión en 2. del teorema se cumple en general (no solo genéricamente).

Grado de un morfismo finito

Sea f : X → Y un morfismo sobreyectivo finito entre variedades algebraicas sobre un cuerpo k . Entonces, por definición, el grado de f es el grado de la extensión de cuerpo finito del cuerpo de funciones k ( X ) sobre f ^* k ( Y ). Por libertad genérica , existe algún subconjunto abierto no vacío U en Y tal que la restricción del haz de estructura O _X a f ⁻¹ ( U ) es libre como O _Y | _U -módulo . El grado de f es entonces también el rango de este módulo libre.

Si f es étale y si X , Y son completos , entonces para cualquier haz coherente F en Y , escribiendo χ para la característica de Euler ,

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$^[7]

(La fórmula de Riemann-Hurwitz para una cubierta ramificada muestra que aquí no se puede omitir el "étale".)

En general, si f es un morfismo sobreyectivo finito, si X , Y son completos y F un haz coherente en Y , entonces de la secuencia espectral de Leray , se obtiene: ${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).}$

En particular, si F es una potencia tensorial de un fibrado lineal, entonces y puesto que el soporte de tiene codimensión positiva si q es positivo, comparando los términos principales, se tiene: ${\displaystyle L^{\otimes n}}$ ${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$ ${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}$

(ya que el rango genérico de es el grado de f .) ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

Si f es étale y k es algebraicamente cerrado, entonces cada fibra geométrica f ⁻¹ ( y ) consiste exactamente en deg( f ) puntos.

Véase también

• Función algebraica
• Morfismo suave
• Morfismos de Étale – El análogo algebraico de los difeomorfismos locales .
• Resolución de singularidades
• morfismo de contracción

Notas

1. Aquí está el argumento que muestra que las definiciones coinciden. Claramente, podemos suponer Y = A ¹ . Entonces, la cuestión aquí es si la "regularidad" se puede remendar; la respuesta es sí y eso se puede ver a partir de la construcción del haz de estructura de una variedad afín como se describe en variedad afín#Haz de estructura .
2. Sin embargo, no está claro cómo demostrar esto. Si X , Y son cuasi-proyectivas, entonces se puede dar la prueba. El caso no cuasi-proyectivo depende en gran medida de la definición que uno tenga de una variedad abstracta.
3. La imagen de está en Y ya que si g es un polinomio en J , entonces, el pensamiento a priori es una función del espacio afín, ya que g está en J . ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle g\circ \phi ^{a}=g(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))=\phi ({\overline {g}})=0}$
4. Demostración: dado que φ es un homomorfismo algebraico, también ${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}(g)=g(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))=\phi (g)}$ ${\displaystyle f^{\#a}=({\overline {y_{1}}}\circ f,\dots ,{\overline {y_{m}}}\circ f)=f.}$
5. Demostración: Sea A el anillo de coordenadas de un entorno afín de x . Si f = g / h con algún g en A y algún h distinto de cero en A , entonces f está en A [ h ⁻¹ ] = k [ D ( h )]; es decir, f es una función regular en D ( h ).
6. Prueba: basta considerar el caso en que la variedad es afín y luego utilizar el hecho de que un dominio integralmente cerrado noetheriano es la intersección de todas las localizaciones en ideales primos de altura uno.

Citas

1. Shafarevich 2013, pág. 25, Def..
2. Hartshorne 1997, Cap. I, § 3.
3. Vakil, Fundamentos de la geometría algebraica, Proposición 6.5.7.
4. Hartshorne 1997, Cap. I, Teorema 4.4.
5. Hartshorne 1997, Cap. I, Proposición 6.8.
6. Mumford 1999, Cap. I, § 8. Teoremas 2, 3.
7. Fulton 1998, Ejemplo 18.3.9..

Referencias

• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección. Springer Science . ISBN 978-0-387-98549-7.
• Harris, Joe (1992). Geometría algebraica, primer curso. Springer Verlag . ISBN 978-1-4757-2189-8.
• Hartshorne, Robin (1997). Geometría algebraica . Springer-Verlag . ISBN. 0-387-90244-9.
• James Milne , Geometría algebraica, versión antigua v. 5.xx.
• Mumford, David (1999). El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos . Apuntes de clase sobre matemáticas. Vol. 1358 (2.ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN. 354063293X.
• Shafarevich, Igor R. (2013). Geometría algebraica básica 1. Springer Science . doi :10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN . 978-0-387-97716-4.
• Silverman, Joseph H. (2009). La aritmética de las curvas elípticas (2.ª ed.). Springer Verlag . ISBN 978-0-387-09494-6.