En matemáticas , la variedad jacobiana J ( C ) de una curva algebraica no singular C de género g es el espacio de módulos de fibrados de líneas de grado 0. Es el componente conexo de la identidad en el grupo de Picard de C , por lo tanto, una variedad abeliana .
La variedad jacobiana recibe su nombre de Carl Gustav Jacobi , quien demostró la versión completa del teorema de Abel-Jacobi , convirtiendo el enunciado de inyectividad de Niels Abel en un isomorfismo. Es una variedad abeliana principalmente polarizada , de dimensión g , y por lo tanto, sobre los números complejos, es un toro complejo . Si p es un punto de C , entonces la curva C se puede mapear a una subvariedad de J con el punto dado p mapeándose a la identidad de J , y C genera a J como un grupo .
Sobre los números complejos, la variedad jacobiana puede realizarse como el espacio cociente V / L , donde V es el dual del espacio vectorial de todos los diferenciales holomorfos globales en C y L es la red de todos los elementos de V de la forma
donde γ es un camino cerrado en C . En otras palabras,
con incrustación en el mapa anterior. Esto se puede hacer explícitamente con el uso de funciones theta . [1]
El jacobiano de una curva sobre un campo arbitrario fue construido por Weil (1948) como parte de su prueba de la hipótesis de Riemann para curvas sobre un campo finito.
El teorema de Abel-Jacobi establece que el toro así construido es una variedad, el jacobiano clásico de una curva, que de hecho parametriza los fibrados de líneas de grado 0, es decir, puede identificarse con su variedad Picard de divisores de grado 0 módulo equivalencia lineal.
Como grupo, la variedad jacobiana de una curva es isomorfa al cociente del grupo de divisores de grado cero por el subgrupo de divisores principales, es decir, divisores de funciones racionales. Esto es válido para cuerpos que no son algebraicamente cerrados , siempre que se consideren divisores y funciones definidas sobre ese cuerpo.
El teorema de Torelli establece que una curva compleja está determinada por su jacobiano (con su polarización).
El problema de Schottky pregunta qué variedades abelianas principalmente polarizadas son los jacobianos de las curvas.
La variedad Picard , la variedad Albanese , el jacobiano generalizado y los jacobianos intermedios son generalizaciones del jacobiano para variedades de dimensiones superiores. Para variedades de dimensiones superiores, la construcción de la variedad jacobiana como cociente del espacio de 1-formas holomorfas se generaliza para dar la variedad Albanese , pero en general no necesita ser isomorfa a la variedad Picard.
![{\displaystyle [\gamma ]:\ \omega \mapsto \int _{\gamma }\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5f223d670027d1ab1596db1fce4c457f489f9f)
