Concepto en combinatoria (parte de las matemáticas)
En el campo matemático de la combinatoria , el símbolo q -Pochhammer , también llamado factorial q -desplazado , es el producto
q
-análogosímbolo de Pochhammer qqseries hipergeométricas básicasseries hipergeométricas generalizadasA diferencia del símbolo de Pochhammer ordinario, el símbolo q -Pochhammer se puede extender a un producto infinito:
función analíticaqdisco unitarioserie de potencias formalq función de Eulercombinatoriateoría de númerosformas modularesIdentidades
El producto finito se puede expresar en términos del producto infinito:
nnEl símbolo q -Pochhammer es objeto de varias identidades de la serie q , particularmente las expansiones de la serie infinita.
teorema q
Fridrikh KarpelevichInterpretación combinatoria
El símbolo q -Pochhammer está estrechamente relacionado con la combinatoria enumerativa de particiones. El coeficiente de en
mnmnTambién tenemos que el coeficiente de en
mnnAl eliminar una partición triangular con n − 1 partes de dicha partición, nos queda una partición arbitraria con como máximo n partes. Esto da una biyección que preserva el peso entre el conjunto de particiones en n o n - 1 partes distintas y el conjunto de pares que consiste en una partición triangular que tiene n - 1 partes y una partición con como máximo n partes. Al identificar las series generadoras, esto conduce a la identidad.
función de particiónde la serie q que se detallan a continuación: [1]El teorema q -binomial en sí también puede manejarse mediante un argumento combinatorio un poco más complicado de estilo similar (véanse también las expansiones que se dan en la siguiente subsección).
Similarmente,
Convención de argumentos múltiples
Dado que las identidades que involucran símbolos q -Pochhammer frecuentemente involucran productos de muchos símbolos, la convención estándar es escribir un producto como un solo símbolo de múltiples argumentos:
serie q
Una serie q es una serie en la que los coeficientes son funciones de q , normalmente expresiones de . [2] Los primeros resultados se deben a Euler , Gauss y Cauchy . El estudio sistemático comienza con Eduard Heine (1843). [3]
Relación con otras q -funciones
El q -análogo de n , también conocido como q -corchete o q -número de n , se define como
qfactorialq -factorialEstos números son análogos en el sentido de que
El valor límite n ! cuenta permutaciones de un conjunto de n elementos S . De manera equivalente, cuenta el número de secuencias de conjuntos anidados que contienen exactamente i elementos. [4] En comparación, cuando q es una potencia prima y V es un espacio vectorial de n dimensiones sobre el campo con q elementos, el análogo q es el número de banderas completas en V , es decir, es el número de secuencias. de subespacios tales que tiene dimensión i . [4] Las consideraciones anteriores sugieren que se puede considerar una secuencia de conjuntos anidados como una bandera sobre un campo conjetural con un elemento .
Un producto de enteros negativos q -paréntesis se puede expresar en términos del q -factorial como
A partir de los q -factoriales, se puede pasar a definir los q -coeficientes binomiales, también conocidos como coeficientes binomiales gaussianos , como
donde es fácil ver que el triángulo de estos coeficientes es simétrico en el sentido de que
para todos . Uno puede comprobar que
También se puede ver en las relaciones de recurrencia anteriores que las siguientes variantes del teorema del binomio se expanden en términos de estos coeficientes de la siguiente manera: [5]
Se pueden definir además los q -coeficientes multinomiales
de n dimensiones sobre el campo con qEl límite da el coeficiente multinomial habitual , que cuenta palabras en n símbolos diferentes de modo que cada uno aparece veces.
También se obtiene un análogo q de la función gamma , llamado función q-gamma , y definido como
q x nqVer también
Referencias
- ^ Berndt, BC "¿Qué es una serie q?" (PDF) .
- ^ Bruce C. Berndt, ¿Qué es una serie q?, en Ramanujan redescubierto: Actas de una conferencia sobre funciones elípticas, particiones y series q en memoria de K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1 al 5 de junio de 2009, ND Baruah, BC Berndt, S. Cooper, T. Huber y MJ Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, págs.
- ^ Heine, E. "Untersuchungen über die Reihe".J. Reina Angew. Matemáticas. 34 (1847), 285–328.
- ^ ab Stanley, Richard P. (2011), Combinatoria enumerativa , vol. 1 (2 ed.), Prensa de la Universidad de Cambridge, Sección 1.10.2.
- ^ Olver; et al. (2010). "Sección 17.2". Manual de funciones matemáticas del NIST. pag. 421.
- George Gasper y Mizan Rahman , Serie hipergeométrica básica, segunda edición , (2004), Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, 96 , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4 .
- Roelof Koekoek y Rene F. Swarttouw, El esquema de Askey de polinomios ortogonales y sus q-análogos , sección 0.2.
- Exton, H. (1983), Funciones y aplicaciones q-hipergeométricas , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
- MA Olshanetsky y VBK Rogov (1995), Las funciones q-Bessel modificadas y las funciones q-Bessel-Macdonald, arXiv:q-alg/9509013.
enlaces externos