Identidad q-Vandermonde

Un q-análogo de la identidad Chu-Vandermonde.

En matemáticas , en el campo de la combinatoria , la identidad q -Vandermonde es un análogo q de la identidad Chu-Vandermonde . Usando notación estándar para coeficientes q -binomiales , la identidad establece que

${\displaystyle {\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}=\sum _{j}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}q^{j(m-k+j)}.}$

Las contribuciones distintas de cero a esta suma provienen de valores de j tales que los coeficientes q -binomiales del lado derecho son distintos de cero, es decir, max(0, k − m ) ≤ j ≤ min( n , k ).

Otras convenciones

Como es típico de los q -análogos, la identidad q -Vandermonde se puede reescribir de varias maneras. En las convenciones comunes en aplicaciones a grupos cuánticos , se utiliza un coeficiente q -binomial diferente . Este coeficiente q -binomial, que denotamos aquí por , se define por ${\displaystyle B_{q}(n,k)}$

${\displaystyle B_{q}(n,k)=q^{-k(n-k)}{\binom {n}{k}}_{\!\!q^{2}}.}$

En particular, es el desplazamiento único del coeficiente binomial q "habitual" por una potencia de q tal que el resultado es simétrico en q y . Usando este coeficiente q -binomial, la identidad q -Vandermonde se puede escribir en la forma ${\displaystyle q^{-1}}$

${\displaystyle B_{q}(m+n,k)=q^{nk}\sum _{j}q^{-(m+n)j}B_{q}(m,k-j)B_{q}(n,j).}$

Prueba

Al igual que con la identidad Chu-Vandermonde (no q ), existen varias pruebas posibles de la identidad q -Vandermonde. La siguiente prueba utiliza el teorema q -binomial .

Una prueba estándar de la identidad Chu-Vandermonde es expandir el producto de dos maneras diferentes. Siguiendo a Stanley, ^[1] podemos modificar esta prueba para demostrar también la identidad de q -Vandermonde. Primero, observe que el producto ${\displaystyle (1+x)^{m}(1+x)^{n}}$

${\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)}$

se puede ampliar mediante el teorema q -binomial como

${\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\sum _{k}q^{\frac {k(k-1)}{2}}{\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}x^{k}.}$

De manera menos obvia, podemos escribir

${\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\left((1+x)\cdots (1+q^{m-1}x)\right)\left(\left(1+(q^{m}x)\right)\left(1+q(q^{m}x)\right)\cdots \left(1+q^{n-1}(q^{m}x)\right)\right)}$

y podemos expandir ambos subproductos por separado usando el teorema del binomio q . Esto produce

${\displaystyle (1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\left(\sum _{i}q^{\frac {i(i-1)}{2}}{\binom {m}{i}}_{\!\!q}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}q^{mi+{\frac {i(i-1)}{2}}}{\binom {n}{i}}_{\!\!q}x^{i}\right).}$

Multiplicar este último producto y combinar términos semejantes da

${\displaystyle \sum _{k}\sum _{j}\left(q^{j(m-k+j)+{\frac {k(k-1)}{2}}}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}\right)x^{k}.}$

Finalmente, igualar potencias de entre las dos expresiones produce el resultado deseado. ${\displaystyle x}$

Este argumento también puede expresarse en términos de expandir el producto de dos maneras diferentes, donde A y B son operadores (por ejemplo, un par de matrices) que " q -conmutan", es decir, que satisfacen BA = qAB . ${\displaystyle (A+B)^{m}(A+B)^{n}}$

Notas

1. Stanley (2011), Solución al ejercicio 1.100, p. 188.

Referencias

• Richard P. Stanley (2011). Combinatoria enumerativa, volumen 1 (PDF) (2 ed.) . Consultado el 2 de agosto de 2011 .

• Exton, H. (1983), Funciones y aplicaciones q-hipergeométricas , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
• Gaurav Bhatnagar (2011). "En elogio de una identidad elemental de Euler". Revista Electrónica de Combinatoria . 18 (2): 13. arXiv : 1102.0659 .
• Víctor JW Guo (2008). "Pruebas biyectivas de las identidades de Gould y Rothe". Matemáticas discretas . 308 (9): 1756. arXiv : 1005.4256 . doi :10.1016/j.disc.2007.04.020.
• Sylvie Corteel ; Carla Salvaje (2003). "Teoremas de aula, series q y objetos truncados". arXiv : matemáticas/0309108 .