derivada q

Análogo Q de la derivada ordinaria

En matemáticas , en el área de combinatoria y cálculo cuántico , la derivada q , o derivada de Jackson , es un análogo q de la derivada ordinaria , introducida por Frank Hilton Jackson . Es la inversa de la integración q de Jackson . Para otras formas de derivada q, véase Chung et al. (1994).

Definición

La derivada q de una función f ( x ) se define como ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

También se suele escribir como . La derivada q también se conoce como derivada de Jackson . ${\displaystyle D_{q}f(x)}$

Formalmente, en términos del operador de desplazamiento de Lagrange en variables logarítmicas, equivale al operador

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

que va a la derivada simple, como . ${\displaystyle D_{q}\to {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle q\to 1}$

Es manifiestamente lineal,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

Tiene una regla del producto análoga a la regla del producto derivado ordinario, con dos formas equivalentes

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

De manera similar, satisface una regla del cociente,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

También existe una regla similar a la regla de la cadena para las derivadas ordinarias. Sea . Entonces ${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

La función propia de la derivada q es la exponencial q e _q ( x ).

Relación con las derivadas ordinarias

La diferenciación Q se parece a la diferenciación ordinaria, con diferencias curiosas. Por ejemplo, la derivada q del monomio es: ^[2]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

donde es el corchete q de n . Nótese que entonces la derivada ordinaria se recupera en este límite. ${\displaystyle [n]_{q}}$ ${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$

La n -ésima q -derivada de una función puede expresarse como: ^[3]

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

siempre que la derivada n -ésima ordinaria de f exista en x = 0. Aquí, es el símbolo q -Pochhammer y es el q -factorial . Si es analítica podemos aplicar la fórmula de Taylor a la definición de para obtener ${\displaystyle (q;q)_{n}}$ ${\displaystyle [n]!_{q}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle D_{q}(f(x))}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

A continuación se muestra un análogo q de la expansión de Taylor de una función en torno a cero: ^[2]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.}$

Orden superiorq-derivados

Se conoce la siguiente representación para derivadas de orden superior : ^{[4] [5]} ${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$es el coeficiente binomial. Cambiando el orden de la suma como , obtenemos la siguiente fórmula: ^{[4] [6]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r=n-k}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

Las derivadas de orden superior se utilizan para la fórmula de Taylor y la fórmula de Rodrigues ( la fórmula utilizada para construir polinomios ortogonales [ ^4] ). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Generalizaciones

Cálculo post-cuántico

El cálculo postcuántico es una generalización de la teoría del cálculo cuántico y utiliza el siguiente operador: ^{[7] [8]}

${\displaystyle D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0.}$

Diferencia de Hahn

Wolfgang Hahn introdujo el siguiente operador (diferencia de Hahn): ^{[9] [10]}

${\displaystyle D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.}$

Cuando este operador se reduce a derivada y cuando se reduce a diferencia hacia delante, es una herramienta eficaz para construir familias de polinomios ortogonales e investigar algunos problemas de aproximación. ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle \omega \to 0}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\to 1}$

β-derivado

${\displaystyle \beta }$-derivada es un operador definido de la siguiente manera: ^{[14] [15]}

${\displaystyle D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I.}$

En la definición, es un intervalo dado y es cualquier función continua que aumenta estrictamente de manera monótona (es decir, ). Cuando entonces este operador es -derivada y cuando este operador es diferencia de Hahn. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle t>s\rightarrow \beta (t)>\beta (s)}$ ${\displaystyle \beta (t)=qt}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \beta (t)=qt+\omega }$

Aplicaciones

El cálculo q se ha utilizado en el aprendizaje automático para diseñar funciones de activación estocástica. ^[16]

Véase también

• Derivada (generalizaciones)
• Integración de Jackson
• Q-exponencial
• Polinomios de diferencia Q
• Cálculo cuántico
• Entropía de Tsallis

Citas

1. Jackson 1908, págs. 253–281.
2. Kac y Pokman Cheung 2002.
3. Ernst 2012.
4. Koepf 2014.
5. Koepf, Rajković y Marinković 2007, págs. 621–638.
6. Annaby y Mansour 2008, págs. 472–483.
7. Gupta V., Rassias TM, Agrawal PN, Acu AM (2018) Fundamentos del cálculo poscuántico. En: Avances recientes en la teoría de aproximación constructiva. SpringerOptimization and Its Applications, vol. 138. Springer.
8. Durán 2016.
9. Hahn, W. (1949). Math. Nachr. 2: 4-34.
10. Hahn, W. (1983) Matemáticas Monatshefte. 95: 19-24.
11. Foupuagnigni 1998.
12. Kwon, K.; Lee, D.; Parque, S.; Yoo, B.: Kyungpook Matemáticas. J. 38, 259-281 (1998).
13. Alvarez-Nodarse, R.: J. Comput. Appl. Math. 196, 320-337 (2006).
14. Auch, T. (2013): Desarrollo y aplicación del cálculo diferencial y fraccionario en escalas de tiempo discretas . Tesis doctoral, Universidad de Nebraska-Lincoln.
15. Hamza y otros. 2015, pág. 182.
16. Nielsen y Sun 2021, págs. 2782–2789.

Bibliografía

• Annaby, MH; Mansour, ZS (2008). "Operadores q-Taylor y de diferencia de interpolación". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 344 (1): 472–483. doi : 10.1016/j.jmaa.2008.02.033 .
• Chung, KS; Chung, WS; Nam, ST; Kang, HJ (1994). "Nueva derivada q y logaritmo q". Revista Internacional de Física Teórica . 33 (10): 2019–2029. Bibcode :1994IJTP...33.2019C. doi :10.1007/BF00675167. S2CID  117685233.
• Duran, U. (2016). Cálculo postcuántico (tesis de maestría). Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y Aplicadas de la Universidad de Gaziantep . Consultado el 9 de marzo de 2022 a través de ResearchGate .
• Ernst, T. (2012). Un tratamiento integral del cálculo q . Springer Science & Business Media. ISBN 978-303480430-1.
• Ernst, Thomas (2001). «La historia del cálculo q y un nuevo método» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 28 de noviembre de 2009. Consultado el 9 de marzo de 2022 .
• Exton, H. (1983). Funciones q-hipergeométricas y aplicaciones . Nueva York: Halstead Press. ISBN 978-047027453-8.
• Foupouagnigni, M. (1998). Polinomios ortogonales de Laguerre-Hahn con respecto al operador de Hahn: ecuación diferencial de cuarto orden para el r-ésimo asociado y ecuaciones de Laguerre-Freud para los coeficientes de recurrencia (tesis doctoral). Université Nationale du Bénin.
• Hamza, A.; Sarhan, A.; Shehata, E.; Aldwoah, K. (2015). "Un cálculo diferencial cuántico general". Avances en ecuaciones diferenciales . 1 : 182. doi : 10.1186/s13662-015-0518-3 . S2CID  54790288.
• Jackson, FH (1908). "Sobre funciones q y un cierto operador diferencial". Trans. R. Soc. Edinb . 46 (2): 253–281. doi :10.1017/S0080456800002751. S2CID  123927312.
• Kac, Víctor; Pokman Cheung (2002). Cálculo Cuántico . Springer-Verlag. ISBN 0-387-95341-8.
• Koekoek, J.; Koekoek, R. (1999). "Una nota sobre el operador de derivada q". J. Math. Anal. Appl . 176 (2): 627–634. arXiv : math/9908140 . doi :10.1006/jmaa.1993.1237. S2CID  329394.
• Koepf, W.; Rajković, PM; Marinković, SD (julio de 2007). "Propiedades de funciones q-holonómicas". Journal of Difference Equations and Applications . 13 (7): 621–638. CiteSeerX  10.1.1.298.4595 . doi :10.1080/10236190701264925. S2CID  123079843.
• Koepf, Wolfram (2014). Suma hipergeométrica. Un enfoque algorítmico para la suma y las identidades de funciones especiales . Springer. ISBN 978-1-4471-6464-7.
• Nielsen, Frank; Sun, Ke (2021). "Neuronas q: activaciones neuronales basadas en operadores derivados estocásticos de Jackson". IEEE Trans. Aprendizaje en redes neuronales. Syst . 32 (6): 2782–2789. arXiv : 1806.00149 . doi :10.1109/TNNLS.2020.3005167. PMID  32886614. S2CID  44143912.