Integración de Jackson

En teoría q-analógica , la serie integral de Jackson en la teoría de funciones especiales que expresa la operación inversa a la q-diferenciación .

La integral de Jackson fue introducida por Frank Hilton Jackson . Para métodos de evaluación numérica, véase ^[1] y Exton (1983).

Definición

Sea f ( x ) una función de una variable real x . Para una variable real, la integral de Jackson de f se define mediante la siguiente expansión en serie:

${\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,a\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}a).}$

En consonancia con ello está la definición de ${\displaystyle a\to \infty }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k}f(q^{k}).}$

De manera más general, si g ( x ) es otra función y D _q g denota su q -derivada, podemos escribir formalmente

${\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},}$o

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}$

dando un q -análogo de la integral de Riemann-Stieltjes .

Integral de Jackson como q-antiderivada

Así como la antiderivada ordinaria de una función continua puede representarse mediante su integral de Riemann , es posible demostrar que la integral de Jackson da una q -antiderivada única dentro de una cierta clase de funciones (ver ^[2] ).

Teorema

Supongamos que Si está acotado en el intervalo para algún entonces la integral de Jackson converge a una función en la que es una q -antiderivada de Además, es continua en con y es una antiderivada única de en esta clase de funciones. ^[3] ${\displaystyle 0<q<1.}$ ${\displaystyle |f(x)x^{\alpha }|}$ ${\displaystyle [0,A)}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <1,}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle [0,A)}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle F(0)=0}$ ${\displaystyle f(x)}$

Notas

1. Exton, H (1979). "Series básicas de Fourier". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas e ingeniería . 369 (1736): 115–136. Código Bibliográfico : 1979RSPSA.369..115E. doi : 10.1098/rspa.1979.0155. S2CID  120587254.
2. q algebraica y teoría de Fourier en espacios cuánticos y trenzados". Journal of Mathematical Physics . 35 (12): 6802–6837. arXiv : hep-th/9402037 . Código Bibliográfico :1994JMP....35.6802K. doi :10.1063/1.530644. S2CID  16930694.
3. Kac-Cheung, Teorema 19.1.

Referencias

• Victor Kac, Pokman Cheung, Cálculo cuántico , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8 
• Jackson FH (1904), "Una generalización de las funciones Γ(n) y x _n ", Proc. R. Soc. 74 64–72.
• Jackson FH (1910), "Sobre integrales q-definidas", QJ Pure Appl. Math. 41 193–203.
• Exton, Harold (1983). Funciones hipergeométricas Q y aplicaciones . Chichester [West Sussex]: E. Horwood. ISBN 978-0470274538.