Fracción continua de Rogers-Ramanujan

Fracción continua estrechamente relacionada con las identidades Rogers-Ramanujan

La fracción continua de Rogers-Ramanujan es una fracción continua descubierta por Rogers (1894) e independientemente por Srinivasa Ramanujan , y estrechamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan . Puede evaluarse explícitamente para una amplia clase de valores de su argumento.

Representación de coloración de dominio del convergente de la función , donde está la fracción continua de Rogers-Ramanujan. ${\displaystyle A_{400}(q)/B_{400}(q)}$ ${\displaystyle q^{-1/5}R(q)}$ ${\displaystyle R(q)}$

Definición

Representación de la aproximación de la fracción continua de Rogers-Ramanujan. ${\displaystyle q^{1/5}A_{400}(q)/B_{400}(q)}$

Dadas las funciones y que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan, y asumir , ${\displaystyle G(q)}$ ${\displaystyle H(q)}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\[6pt]&={\sqrt[{60}]{q\,j}}\,\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {19}{60}};{\tfrac {4}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\[6pt]&={\sqrt[{60}]{q\left(j-1728\right)}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {29}{60}};{\tfrac {4}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\[6pt]&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}}$

y,

${\displaystyle {\begin{aligned}H(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}j^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {31}{60}};{\tfrac {6}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}\left(j-1728\right)^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {41}{60}};{\tfrac {6}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\[6pt]&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned}}}$

siendo los coeficientes de la expansión q OEIS : A003114 y OEIS : A003106 , respectivamente, donde denota el símbolo q-Pochhammer infinito , j es la función j y ₂ F ₁ es la función hipergeométrica . La fracción continua de Rogers-Ramanujan es entonces ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R(q)&={\frac {q^{\frac {11}{60}}H(q)}{q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}}=q^{\frac {1}{5}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}=q^{1/5}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{(n|5)}\\[8pt]&={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle (n\mid m)}$es el símbolo de Jacobi.

Se debe tener cuidado con la notación ya que las fórmulas que emplean la función j serán consistentes con las otras fórmulas sólo si (el cuadrado del nomo ) se usa a lo largo de esta sección ya que la expansión q de la función j (así como la La conocida función Dedekind eta ) utiliza . Sin embargo, Ramanujan, en los ejemplos que le dio a Hardy y que se detallan a continuación, usó el nomo en su lugar. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

Valores especiales

Si q es el nomo o su cuadrado, entonces y , así como su cociente , están relacionados con funciones modulares de . Dado que tienen coeficientes integrales, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para involucrar un campo cuadrático imaginario son números algebraicos que pueden evaluarse explícitamente. ${\displaystyle q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}$ ${\displaystyle q^{\frac {11}{60}}H(q)}$ ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Ejemplos de R(q)

Dada la forma general en la que Ramanujan usó el nomo , ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}}$

f cuando , ${\displaystyle \tau =i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-\pi }}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.511428\dots }$

cuando , ${\displaystyle \tau =2i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\ddots }}}}}}={{\sqrt[{4}]{5}}\,\varphi ^{1/2}-\varphi }=0.284079\dots }$

cuando , ${\displaystyle \tau =4i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {4\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-8\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})(-{\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.081002\dots }$

cuando , ${\displaystyle \tau =2{\sqrt {5}}i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-2{\sqrt {5}}\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}={\frac {\sqrt {5}}{1+{\big (}5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1{\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.0602094\dots }$

cuando , ${\displaystyle \tau =5i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-5\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-\pi }}{1+{\cfrac {e^{-5\pi }}{1+{\cfrac {e^{-10\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\varphi ^{2}}{\varphi +{\big (}{\frac {1}{2}}(4-\varphi -3{\sqrt {\varphi -1}})(3\varphi ^{3/2}-{\sqrt[{4}]{5}}){\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.0432139\dots }$

cuando , ${\displaystyle \tau =10i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-10\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-10\pi }}{1+{\cfrac {e^{-20\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\varphi ^{2}}{\varphi +{\big (}3{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}-4-\varphi {\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.00186744\dots }$

cuando , ${\displaystyle \tau =20i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-20\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-20\pi }}{1+{\cfrac {e^{-40\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\varphi ^{2}}{\varphi +{\big (}{\frac {1}{2}}(4-\varphi -3{\sqrt {\varphi -1}})(3\varphi ^{3/2}+{\sqrt[{4}]{5}}){\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.00000348734\dots }$

y es la proporción áurea . Tenga en cuenta que es una raíz positiva de la ecuación de cuarto grado , ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}}$

${\displaystyle x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-2x+1=0}$

mientras que y son dos raíces positivas de una sola óctica , ${\displaystyle R{\big (}e^{-\pi }{\big )}}$ ${\displaystyle R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}}$

${\displaystyle y^{4}+2\varphi ^{4}y^{3}+6\varphi ^{2}y^{2}-2\varphi ^{4}y+1=0}$

(ya que tiene una raíz cuadrada) lo que explica la similitud de las dos formas cerradas. De manera más general, para un entero positivo m , entonces y son dos raíces de la misma ecuación y, además, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R(e^{-2\pi /m})}$ ${\displaystyle R(e^{-2\pi \,m})}$

${\displaystyle {\bigl [}R(e^{-2\pi /m})+\varphi {\bigr ]}{\bigl [}R(e^{-2\pi \,m})+\varphi {\bigr ]}={\sqrt {5}}\,\varphi }$

El grado algebraico k de for es ( OEIS : A082682 ). ${\displaystyle R(e^{-\pi \,n})}$ ${\displaystyle n=1,2,3,4,\dots }$ ${\displaystyle k=8,4,32,8,\dots }$

Por cierto, estas fracciones continuas se pueden usar para resolver algunas ecuaciones quínticas como se muestra en una sección posterior.

Ejemplos de G ( q ) y H ( q )

Curiosamente, existen fórmulas explícitas para y en términos de la función j y la fracción continua de Rogers-Ramanujan . Sin embargo, dado que se utiliza el cuadrado del nomo , se debe tener cuidado con la notación tal y utilizar la misma . ${\displaystyle G(q)}$ ${\displaystyle H(q)}$ ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi \,i\tau }}$ ${\displaystyle j(\tau ),\,G(q),\,H(q)}$ ${\displaystyle r=R(q)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(q)&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\[6pt]&=q^{1/60}{\frac {j(\tau )^{1/60}}{(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{1/20}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(q)&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\[6pt]&={\frac {-1}{q^{11/60}}}{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{11/20}}{j(\tau )^{11/60}\,(r^{10}+11r^{5}-1)}}\end{aligned}}}$

Por supuesto, las fórmulas secundarias implican que y son números algebraicos (aunque normalmente de alto grado) que involucran un campo cuadrático imaginario . Por ejemplo, las fórmulas anteriores se simplifican a, ${\displaystyle q^{-1/60}G(q)}$ ${\displaystyle q^{11/60}H(q)}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(e^{-2\pi })&=(e^{-2\pi })^{1/60}{\frac {1}{(5\,\varphi )^{1/4}}}{\frac {1}{\sqrt {R(e^{-2\pi })}}}\\[6pt]&=1.00187093\dots \\[6pt]H(e^{-2\pi })&={\frac {1}{(e^{-2\pi })^{11/60}}}{\frac {1}{(5\,\varphi )^{1/4}}}{\sqrt {R(e^{-2\pi })}}\\[6pt]&=1.00000349\ldots \end{aligned}}}$

y,

${\displaystyle {\begin{aligned}G(e^{-4\pi })&=(e^{-4\pi })^{1/60}{\frac {1}{(5\,\varphi ^{3})^{1/4}\,(\varphi +{\sqrt[{4}]{5}})^{1/4}}}{\frac {1}{\sqrt {R(e^{-4\pi })}}}\\[6pt]&=1.000003487354\dots \\[6pt]H(e^{-4\pi })&={\frac {1}{(e^{-4\pi })^{11/60}}}{\frac {1}{(5\,\varphi ^{3})^{1/4}\,(\varphi +{\sqrt[{4}]{5}})^{1/4}}}{\sqrt {R(e^{-4\pi })}}\\[6pt]&=1.000000000012\dots \end{aligned}}}$

y así sucesivamente, con la proporción áurea. ${\displaystyle \varphi }$

Derivación de valores especiales

Sumas tangenciales

A continuación expresamos los teoremas esenciales de las fracciones continuas R y S de Rogers-Ramanujan utilizando las sumas tangenciales y las diferencias tangenciales:

${\displaystyle a\oplus b=\tan {\bigl [}\arctan(a)+\arctan(b){\bigr ]}={\frac {a+b}{1-ab}}}$

${\displaystyle c\ominus d=\tan {\bigl [}\arctan(c)-\arctan(d){\bigr ]}={\frac {c-d}{1+cd}}}$

El nomo elíptico y el nomo complementario tienen esta relación entre sí:

${\displaystyle \ln(q)\ln(q_{1})=\pi ^{2}}$

El nomo complementario de un módulo k es igual al nomo del módulo complementario pitagórico:

${\displaystyle q_{1}(k)=q(k')=q({\sqrt {1-k^{2}}})}$

Estos son los teoremas de reflexión para las fracciones continuas R y S:

La letra representa exactamente el número de oro : ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)=\cot[{\tfrac {1}{2}}\arctan(2)]=2\cos({\tfrac {1}{5}}{\pi })}$

${\displaystyle \Phi ^{-1}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)=\tan[{\tfrac {1}{2}}\arctan(2)]=2\sin({\tfrac {1}{10}}{\pi })}$

Los teoremas para el nomo cuadrado se construyen de la siguiente manera:

Se dan las siguientes relaciones entre las fracciones continuas y las funciones theta de Jacobi:

Derivación de valores lemniscaticos

En los teoremas ahora mostrados se insertan ciertos valores:

${\displaystyle S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\oplus S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=\Phi }$

Por lo tanto, la siguiente identidad es válida:

En un patrón analógico obtenemos este resultado:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}}$

Por lo tanto, la siguiente identidad es válida:

Además, obtenemos la misma relación utilizando el teorema mencionado anteriormente sobre las funciones theta de Jacobi:

${\displaystyle S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=S(q)\oplus R(q^{2}){\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}=}$

${\displaystyle ={\frac {\vartheta _{00}(q^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}{5\,\vartheta _{00}(q^{5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}}{\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}=1}$

Este resultado aparece debido a la fórmula de suma de Poisson y esta ecuación se puede resolver de esta manera:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=1\ominus S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1\ominus \tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}$

Tomando el otro teorema mencionado sobre las funciones theta de Jacobi se puede determinar el siguiente valor:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\ominus R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=R(q)\ominus R(q^{2}){\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}=}$

${\displaystyle ={\frac {\vartheta _{01}(q)^{2}-\vartheta _{01}(q^{1/5})^{2}}{5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}-\vartheta _{01}(q)^{2}}}{\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}-1}{{\sqrt[{4}]{5}}+1}}={\sqrt[{4}]{5}}\ominus 1=\tan {\bigl [}\arctan({\sqrt[{4}]{5}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

Esa cadena de ecuaciones conduce a esta suma tangencial:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}\oplus \tan {\bigl [}\arctan({\sqrt[{4}]{5}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

Y por lo tanto aparece el siguiente resultado:

En el siguiente paso usamos nuevamente el teorema de reflexión para la fracción continua R:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-4\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}}$

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-4\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(2){\bigr ]}\ominus R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}}$

Y aparece otro resultado:

Derivación de valores no lemniscaticos

El teorema de la reflexión ahora se utiliza para los siguientes valores:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}}$

El teorema theta de Jacobi conduce a una relación adicional:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\ominus R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=R(q)\ominus R(q^{2}){\bigl [}q=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=}$

${\displaystyle ={\frac {\vartheta _{01}(q)^{2}-\vartheta _{01}(q^{1/5})^{2}}{5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}-\vartheta _{01}(q)^{2}}}{\bigl [}q=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}2\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

Sumando tangencialmente los dos teoremas ahora mencionados obtenemos este resultado:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}\oplus \tan {\bigl [}2\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

Por resta tangencial ese resultado aparece:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}\ominus \tan {\bigl [}2\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

Como solución alternativa utilizamos el teorema del nomo cuadrado:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{-1}\oplus R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}=1}$

${\displaystyle {\bigl \{}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{-1}+1{\bigr \}}{\bigl \{}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}+1{\bigr \}}=2}$

Ahora se retoma el teorema de la reflexión:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}\ominus R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}$

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}={\frac {1-\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}{\Phi +R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}}}$

La inserción de la última expresión mencionada en el teorema del nomo al cuadrado da esa ecuación:

${\displaystyle {\biggl \{}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}{\frac {\Phi +R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}{1-\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}}+1{\biggr \}}{\biggl \langle }R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}{\frac {{\bigl \{}1-\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}{{\bigl \{}\Phi +R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}+1{\biggr \rangle }=2}$

Borrando los denominadores se obtiene una ecuación de sexto grado:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{6}+2\,\Phi ^{-2}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{5}-{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{4}+}$

${\displaystyle +2\,{\sqrt {5}}\,\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{3}+{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}+2\,\Phi ^{-2}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}-1=0}$

La solución de esta ecuación es la solución ya mencionada:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccot}(2){\bigr ]}}$

Relación con las formas modulares

${\displaystyle R(q)}$se puede relacionar con la función eta de Dedekind , una forma modular de peso 1/2, como, ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{R(q)}}-R(q)={\frac {\eta ({\frac {\tau }{5}})}{\eta (5\tau )}}+1}$

${\displaystyle {\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11}$

La fracción continua de Rogers-Ramanujan también se puede expresar en términos de las funciones theta de Jacobi . Recuerde la notación,

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}}$

La notación es un poco más fácil de recordar desde , con subíndices pares en el lado izquierdo. De este modo, ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle \theta _{2}^{4}+\theta _{4}^{4}=\theta _{3}^{4}}$

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}+{\frac {\theta _{4}(x^{1/5})[5\,\theta _{4}(x^{5})^{2}-\theta _{4}(x)^{2}]}{2\,\theta _{4}(x^{5})[\theta _{4}(x)^{2}-\theta _{4}(x^{1/5})^{2}]}}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}+{\bigg (}{\frac {\theta _{2}(x^{1/10})\,\theta _{3}(x^{1/10})\,\theta _{4}(x^{1/10})}{2^{3}\,\theta _{2}(x^{5/2})\,\theta _{3}(x^{5/2})\,\theta _{4}(x^{5/2})}}{\bigg )}^{1/3}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\times \tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x^{1/2})^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\times \cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x^{1/2})^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

Tenga en cuenta, sin embargo, que las funciones theta normalmente usan el nomo q = e ^iπτ , mientras que la función eta de Dedekind usa el cuadrado del nomo q = e ^2iπτ , por lo que se ha empleado la variable x para mantener la coherencia entre todas las funciones. Por ejemplo, déjalo así . Al conectar esto a las funciones theta, se obtiene el mismo valor para las tres fórmulas R ( x ), que es la evaluación correcta de la fracción continua dada anteriormente, ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle x=e^{-\pi }}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-\pi }{\big )}={\frac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.511428\dots }$

También se puede definir el nomo elíptico,

${\displaystyle q(k)=\exp {\big [}-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k){\big ]}}$

La letra k minúscula describe el módulo elíptico y la letra K grande describe la integral elíptica completa de primer tipo. La fracción continua también se puede expresar mediante las funciones elípticas de Jacobi de la siguiente manera:

${\displaystyle R{\big (}q(k){\big )}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan y{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} y{\biggr \}}^{2/5}=\left\{{\frac {{\sqrt {y^{2}+1}}-1}{y}}\right\}^{1/5}\left\{y\left[{\sqrt {{\frac {1}{y^{2}}}+1}}-1\right]\right\}^{2/5}}$

con

${\displaystyle y={\frac {2k^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}{5-k^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}}.}$

Relación con la función j

Una fórmula que involucra la función j y la función eta de Dedekind es la siguiente:

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x^{2}+10x+5)^{3}}{x}}}$

donde Desde también, ${\displaystyle x=\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right]^{6}.\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11}$

Eliminando el cociente eta entre las dos ecuaciones, se puede expresar j ( τ ) en términos de como, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r=R(q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&j(\tau )=-{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\\[6pt]&j(\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^{5}+1)^{2}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\end{aligned}}}$

donde el numerador y denominador son invariantes polinomiales del icosaedro . Usando la ecuación modular entre y , se encuentra que, ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle R(q^{5})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&j(5\tau )=-{\frac {(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^{5}+1)^{3}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}\\[6pt]&j(5\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+18r^{25}+75r^{20}+75r^{10}-18r^{5}+1)^{2}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}\end{aligned}}}$

Vamos entonces ${\displaystyle z=r^{5}-{\frac {1}{r^{5}}}}$ ${\displaystyle j(5\tau )=-{\frac {\left(z^{2}+12z+16\right)^{3}}{z+11}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{\infty }=-\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{0}=-\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{1}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +2}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\\[6pt]&z_{2}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +4}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{3}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +6}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{4}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +8}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11\end{aligned}}}$

que de hecho es el j-invariante de la curva elíptica ,

${\displaystyle y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y=x^{3}+r^{5}x^{2}}$

parametrizado por los puntos no cúspides de la curva modular . ${\displaystyle X_{1}(5)}$

Ecuación funcional

Por conveniencia, también se puede usar la notación cuando q = e ^2πiτ . Mientras que otras funciones modulares como la j-invariante satisfacen, ${\displaystyle r(\tau )=R(q)}$

${\displaystyle j(-{\tfrac {1}{\tau }})=j(\tau )}$

y la función Dedekind eta tiene,

${\displaystyle \eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau )}$

la ecuación funcional de la fracción continua de Rogers-Ramanujan implica ^[2] la proporción áurea , ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle r(-{\tfrac {1}{\tau }})={\frac {1-\varphi \,r(\tau )}{\varphi +r(\tau )}}}$

De paso,

${\displaystyle r({\tfrac {7+i}{10}})=i}$

Ecuaciones modulares

Hay ecuaciones modulares entre y . Los elegantes para n primos pequeños son los siguientes. ^[3] ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle R(q^{n})}$

Para , deja y , entonces ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{2})}$ ${\displaystyle v-u^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.}$

Para , deja y , entonces ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{3})}$ ${\displaystyle (v-u^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.}$

Para , deja y , entonces ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{5})}$ ${\displaystyle v(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)=(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1)u^{5}.}$

O de manera equivalente para , let y y , entonces ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{5})}$ ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle u^{5}={\frac {v\,(v^{2}-\varphi ^{2}v+\varphi ^{2})(v^{2}-\varphi ^{-2}v+\varphi ^{-2})}{(v^{2}+v+\varphi ^{2})(v^{2}+v+\varphi ^{-2})}}.}$

Para , deja y , entonces ${\displaystyle n=11}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{11})}$ ${\displaystyle uv(u^{10}+11u^{5}-1)(v^{10}+11v^{5}-1)=(u-v)^{12}.}$

Respecto a , tenga en cuenta que ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle v^{10}+11v^{5}-1=(v^{2}+v-1)(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1).}$

Otros resultados

Ramanujan encontró muchos otros resultados interesantes con respecto a . ^[4] Sea , y como la proporción áurea . ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Si entonces, ${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$

${\displaystyle {\bigl [}R(e^{-2a})+\varphi {\bigl ]}{\bigl [}R(e^{-2b})+\varphi {\bigr ]}={\sqrt {5}}\,\varphi .}$

Si entonces, ${\displaystyle 5ab=\pi ^{2}}$

${\displaystyle {\bigl [}R^{5}(e^{-2a})+\varphi ^{5}{\bigl ]}{\bigl [}R^{5}(e^{-2b})+\varphi ^{5}{\bigr ]}=5{\sqrt {5}}\,\varphi ^{5}.}$

Los poderes de también se pueden expresar de formas inusuales. Por su cubo , ${\displaystyle R(q)}$

${\displaystyle R^{3}(q)={\frac {\alpha }{\beta }}}$

dónde

${\displaystyle \alpha =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{5n+2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}},}$

${\displaystyle \beta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{5n+1}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}.}$

Para su quinta potencia, sea , entonces, ${\displaystyle w=R(q)R^{2}(q^{2})}$

${\displaystyle R^{5}(q)=w\left({\frac {1-w}{1+w}}\right)^{2},\;\;R^{5}(q^{2})=w^{2}\left({\frac {1+w}{1-w}}\right)}$

Ecuaciones quínticas

La ecuación quíntica general en forma de Bring-Jerrard:

${\displaystyle x^{5}-5x-4a=0}$

porque cada valor real se puede resolver en términos de la fracción continua de Rogers-Ramanujan y el nomo elíptico ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle R(q)}$

${\displaystyle q(k)=\exp {\big [}-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k){\big ]}.}$

Para resolver esta quíntica, primero se debe determinar el módulo elíptico como

${\displaystyle k=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}(a^{2})].}$

Entonces la verdadera solución es

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]\,R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{4\cot \langle 4\arctan\{S\}\rangle -3}}}}\\&={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{{\frac {2}{S-1}}+{\frac {2}{S+1}}+{\frac {1}{S}}-S-3}}}}.\end{aligned}}}$

dónde . Recuerde en la sección anterior que la quinta potencia de se puede expresar como : ${\displaystyle S=R[q(k)]\,R^{2}[q(k)^{2}].}$ ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle R^{5}[q(k)]=S\left({\frac {1-S}{1+S}}\right)^{2}}$

Ejemplo 1

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

transformarse en,

${\displaystyle ({\sqrt[{4}]{5}}x)^{5}-5({\sqrt[{4}]{5}}x)-4({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})=0}$

de este modo,

${\displaystyle a={\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}}$

${\displaystyle k=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}(a^{2})]={\tfrac {5^{5/4}+{\sqrt {25{\sqrt {5}}-16}}}{5^{5/4}+{\sqrt {25{\sqrt {5}}+16}}}}}$

${\displaystyle q(k)=0.0851414716\dots }$

${\displaystyle R[q(k)]=0.5633613184\dots }$

${\displaystyle R[q(k)^{2}]=0.3706122329\dots }$

y la solución es:

${\displaystyle x={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]\,R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{R[q(k)]\,R[q(k)^{2}]^{2}\}\rangle -15}}}}=1.167303978\dots }$

y no puede representarse mediante expresiones raíz elementales.

Ejemplo 2

${\displaystyle x^{5}-5x-4{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{\tfrac {81}{32}}}{\Bigr )}=0}$

de este modo,

${\displaystyle a={\sqrt[{4}]{\tfrac {81}{32}}}}$

Dadas las fracciones continuas más familiares con formas cerradas,

${\displaystyle r_{1}=R{\big (}e^{-\pi }{\big )}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.511428\dots }$

${\displaystyle r_{2}=R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\sqrt[{4}]{5}}\,\varphi ^{1/2}-\varphi =0.284079\dots }$

${\displaystyle r_{4}=R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})(-{\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.081002\dots }$

con proporción áurea y la solución se simplifica a ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt[{4}]{5}}\,{\frac {2-{\bigl \{}1-r_{1}{\bigr \}}{\bigl \{}1+r_{2}{\bigr \}}}{{\sqrt {r_{1}\,r_{2}}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{r_{1}\,r_{2}^{2}\}\rangle -15}}}}\\[6pt]&={\sqrt[{4}]{5}}\,{\frac {2-{\bigl \{}1-r_{2}{\bigr \}}{\bigl \{}1+r_{4}{\bigr \}}}{{\sqrt {r_{2}\,r_{4}}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{r_{2}\,r_{4}^{2}\}\rangle -15}}}}\\[6pt]&={\sqrt[{4}]{8}}=1.681792\dots \end{aligned}}}$

Referencias

1. Duke, W. "Fracciones continuas y funciones modulares", https://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf
2. Duke, W. "Fracciones continuas y funciones modulares" (p.9)
3. Berndt, B. y col. "La fracción continua de Rogers-Ramanujan", http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/rrcf.pdf
4. Berndt, B. y col. "La fracción continua de Rogers-Ramanujan"

• Rogers, LJ (1894), "Segunda memoria sobre la expansión de ciertos productos infinitos", Proc. Matemáticas de Londres. Soc. , t1-25 (1): 318–343, doi :10.1112/plms/s1-25.1.318
• Berndt, antes de Cristo; Chan, HH; Huang, SS; Kang, SY; Sohn, J.; Son, SH (1999), "La fracción continua de Rogers-Ramanujan" (PDF) , Journal of Computational and Applied Mathematics , 105 (1–2): 9–24, doi : 10.1016/S0377-0427(99)00033-3

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Identidades de Rogers-Ramanujan". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Fracción continua de Rogers-Ramanujan". MundoMatemático .