En matemáticas , el principio local-global de Helmut Hasse , también conocido como principio de Hasse , es la idea de que se puede encontrar una solución entera a una ecuación utilizando el teorema del resto chino para unir soluciones potencias de módulo de cada número primo diferente . Esto se maneja examinando la ecuación en las compleciones de los números racionales : los números reales y los números p -ádicos . Una versión más formal del principio de Hasse establece que ciertos tipos de ecuaciones tienen una solución racional si y sólo si tienen una solución en los números reales y en los números p -ádicos para cada primo p .
Dada una ecuación polinómica con coeficientes racionales, si tiene una solución racional, entonces esto también produce una solución real y una solución p -ádica, ya que los racionales se integran en los reales y p -ádicos: una solución global produce soluciones locales en cada primo . El principio de Hasse pregunta cuándo se puede hacer lo contrario, o mejor dicho, pregunta cuál es la obstrucción: cuándo se pueden unir soluciones sobre los reales y p -ádicos para producir una solución sobre los racionales; cuándo se pueden unir soluciones locales para formar una solución global?
Se puede solicitar esto para otros anillos o campos : números enteros, por ejemplo, o campos numéricos . Para campos numéricos, en lugar de reales y p -ádicos, se utilizan incrustaciones complejas y -ádicos, para ideales primos .
El teorema de Hasse-Minkowski establece que el principio local-global es válido para el problema de representar 0 mediante formas cuadráticas sobre números racionales (que es el resultado de Minkowski ); y, de manera más general, sobre cualquier campo numérico (como lo demuestra Hasse), cuando se utilizan todas las condiciones necesarias del campo local apropiado . El teorema de Hasse sobre extensiones cíclicas establece que el principio local-global se aplica a la condición de ser una norma relativa para una extensión cíclica de campos numéricos.
Un contraejemplo de Ernst S. Selmer muestra que el teorema de Hasse-Minkowski no se puede extender a formas de grado 3: la ecuación cúbica 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 tiene solución en números reales, y en todos p -campos ádicos, pero no tiene una solución no trivial en la que x , y y z sean todos números racionales. [1]
Roger Heath-Brown demostró [2] que cada forma cúbica sobre números enteros en al menos 14 variables representa 0, mejorando los resultados anteriores de Davenport . [3] Dado que cada forma cúbica sobre los números p-ádicos con al menos diez variables representa 0, [2] el principio local-global se cumple trivialmente para las formas cúbicas sobre los racionales en al menos 14 variables.
Si nos limitamos a las formas no singulares, se puede hacer algo mejor que esto: Heath-Brown demostró que cada forma cúbica no singular sobre los números racionales en al menos 10 variables representa 0, [4] estableciendo así trivialmente el principio de Hasse para esta clase de formas. Se sabe que el resultado de Heath-Brown es mejor posible en el sentido de que existen formas cúbicas no singulares sobre los racionales en 9 variables que no representan cero. [5] Sin embargo, Hooley demostró que el principio de Hasse se cumple para la representación de 0 mediante formas cúbicas no singulares sobre los números racionales en al menos nueve variables. [6] Davenport, Heath-Brown y Hooley utilizaron el método del círculo de Hardy-Littlewood en sus pruebas. Según una idea de Manin , las obstrucciones al principio de Hasse válido para las formas cúbicas pueden vincularse a la teoría del grupo de Brauer ; ésta es la obstrucción de Brauer-Manin , que explica completamente el fracaso del principio de Hasse para algunas clases de variedad. Sin embargo, Skorobogatov ha demostrado que la obstrucción de Brauer-Manin no puede explicar todos los fallos del principio de Hasse. [7]
Los contraejemplos de Fujiwara y Sudo muestran que el teorema de Hasse-Minkowski no es extensible a formas de grado 10 n + 5, donde n es un número entero no negativo. [8]
Por otro lado, el teorema de Birch muestra que si d es cualquier número natural impar, entonces hay un número N ( d ) tal que cualquier forma de grado d en más de N ( d ) variables representa 0: el principio de Hasse se cumple trivialmente.
El teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether establece un principio local-global para la división de un álgebra simple central A sobre un campo numérico algebraico K. Afirma que si A se divide en cada terminación K v, entonces es isomorfo a un álgebra matricial sobre K.
El principio de Hasse para grupos algebraicos establece que si G es un grupo algebraico simplemente conexo definido sobre el campo global k, entonces el mapa
es inyectivo, donde el producto está sobre todos los lugares s de k .
El principio de Hasse para grupos ortogonales está estrechamente relacionado con el principio de Hasse para las formas cuadráticas correspondientes.
Kneser (1966) y varios otros verificaron el principio de Hasse mediante pruebas caso por caso para cada grupo. El último caso fue el grupo E 8 , que sólo fue completado por Chernousov (1989) muchos años después de los demás casos.
El principio de Hasse para grupos algebraicos se utilizó en las pruebas de la conjetura de Weil para los números de Tamagawa y el teorema de aproximación fuerte .
