grupo euclidiano

Isometry group of Euclidean space

En matemáticas , un grupo euclidiano es el grupo de isometrías (euclidianas) de un espacio euclidiano ; es decir, las transformaciones de ese espacio que preservan la distancia euclidiana entre dos puntos cualesquiera (también llamadas transformaciones euclidianas ). El grupo depende sólo de la dimensión n del espacio y comúnmente se denota como E ( n ) o ISO ( n ). ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

El grupo euclidiano E( n ) comprende todas las traslaciones , rotaciones y reflexiones de ; y combinaciones finitas arbitrarias de ellos. El grupo euclidiano puede verse como el grupo de simetría del espacio mismo y contiene el grupo de simetrías de cualquier figura (subconjunto) de ese espacio. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

Una isometría euclidiana puede ser directa o indirecta , dependiendo de si conserva la lateralidad de las figuras. Las isometrías euclidianas directas forman un subgrupo, el grupo euclidiano especial , a menudo denominado SE( n ) y E ⁺ ( n ), ​​cuyos elementos se denominan movimientos rígidos o movimientos euclidianos. Comprenden combinaciones arbitrarias de traslaciones y rotaciones, pero no reflexiones.

Estos grupos se encuentran entre los más antiguos y estudiados, al menos en los casos de las dimensiones 2 y 3 (implícitamente, mucho antes de que se inventara el concepto de grupo).

Descripción general

Dimensionalidad

El número de grados de libertad para E( n ) es n ( n + 1)/2 , lo que da 3 en el caso de n = 2 y 6 para n = 3 . De estos, n puede atribuirse a la simetría traslacional disponible y los n ( n − 1)/2 restantes a la simetría rotacional .

Isometrías directas e indirectas.

Las isometrías directas (es decir, isometrías que preservan la lateralidad de los subconjuntos quirales ) comprenden un subgrupo de E ( n ), llamado grupo euclidiano especial y generalmente denotado por E ⁺ ( n ) o SE( n ). Incluyen las traslaciones y rotaciones, y combinaciones de las mismas; incluyendo la transformación de la identidad, pero excluyendo cualquier reflexión.

Las isometrías que invierten la mano se llaman indirectas u opuestas . Para cualquier isometría indirecta fija R , como una reflexión sobre algún hiperplano, cualquier otra isometría indirecta se puede obtener mediante la composición de R con alguna isometría directa. Por lo tanto, las isometrías indirectas son una clase lateral de E ⁺ ( n ), que puede denotarse por E ⁻ ( n ). De ello se deduce que el subgrupo E ⁺ ( n ) es de índice 2 en E ( n ).

Topología del grupo

La topología natural del espacio euclidiano implica una topología para el grupo euclidiano E ( n ). Es decir, una secuencia f _i de isometrías de ( ) se define para converger si y sólo si, para cualquier punto p de , la secuencia de puntos p _i converge. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

De esta definición se deduce que una función es continua si y sólo si, para cualquier punto p de , la función definida por f _p ( t ) = ( f ( t ))( p ) es continua. Esta función se denomina "trayectoria continua" en E ( n ). ${\displaystyle f:[0,1]\to E(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{p}:[0,1]\to \mathbb {E} ^{n}}$

Resulta que el grupo euclidiano especial SE( n ) = E ⁺ ( n ) está conexo en esta topología. Es decir, dadas dos isometrías directas cualesquiera A y B de , existe una trayectoria continua f en E ⁺ ( n ) tal que f (0) = A y f (1) = B . Lo mismo ocurre con las isometrías indirectas E ⁻ ( n ). Por otro lado, el grupo E( n ) en su conjunto no es conexo: no existe una trayectoria continua que comience en E ⁺ ( n ) y termine en E ⁻ ( n ). ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

Las trayectorias continuas en E(3) juegan un papel importante en la mecánica clásica , porque describen los movimientos físicamente posibles de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional a lo largo del tiempo. Se toma f (0) como la transformación de identidad I de , que describe la posición inicial del cuerpo. La posición y orientación del cuerpo en cualquier momento posterior t se describirán mediante la transformación f (t). Dado que f (0) = I está en E ⁺ (3), lo mismo debe ser cierto para f ( t ) en cualquier momento posterior. Por esta razón, las isometrías euclidianas directas también se denominan "movimientos rígidos". ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$

estructura de mentira

Los grupos euclidianos no son sólo grupos topológicos , son grupos de Lie , de modo que las nociones de cálculo pueden adaptarse inmediatamente a este escenario.

Relación con el grupo afín

El grupo euclidiano E ( n ) es un subgrupo del grupo afín para n dimensiones, y de tal manera que se respete la estructura del producto semidirecto de ambos ^{[ aclaración necesaria ]} grupos. Esto da, a fortiori , dos maneras de escribir elementos en una notación explícita. Estos son:

1. por un par ( A , b ) , con A una matriz ortogonal de n × n , y b un vector columna real de tamaño n ; o
2. por una única matriz cuadrada de tamaño n + 1 , como se explica para el grupo afín .

Los detalles de la primera representación se dan en la siguiente sección.

En los términos del programa Erlangen de Felix Klein , de esto se desprende que la geometría euclidiana , la geometría del grupo euclidiano de simetrías, es, por tanto, una especialización de la geometría afín . Se aplican todos los teoremas afines. El origen de la geometría euclidiana permite definir la noción de distancia , de la que luego se puede deducir el ángulo .

Discusión detallada

Estructura de subgrupos, representación matricial y vectorial.

El grupo euclidiano es un subgrupo del grupo de transformaciones afines .

Tiene como subgrupos el grupo traslacional T( n ) y el grupo ortogonal O( n ). Cualquier elemento de E( n ) es una traslación seguida de una transformación ortogonal (la parte lineal de la isometría), de forma única:

$${\displaystyle x\mapsto A(x+b)}$$

Amatriz ortogonal

o la misma transformación ortogonal seguida de una traducción:

$${\displaystyle x\mapsto Ax+c,}$$

c = Ab

T( n ) es un subgrupo normal de E( n ): para cada traslación t y cada isometría u , la composición

$${\displaystyle u^{-1}tu}$$

En conjunto, estos hechos implican que E( n ) es el producto semidirecto de O( n ) extendido por T( n ), que se escribe como . En otras palabras, O( n ) es (de forma natural) también el grupo cociente de E( n ) por T( n ): ${\displaystyle {\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)}$

$${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{E}}(n)/{\text{T}}(n)}$$

Ahora SO( n ), el grupo ortogonal especial , es un subgrupo de O( n ) del índice dos. Por tanto, E( n ) tiene un subgrupo E ⁺ ( n ), también de índice dos, formado por isometrías directas . En estos casos el determinante de A es 1.

Se representan como una traslación seguida de una rotación , en lugar de una traslación seguida de algún tipo de reflexión (en las dimensiones 2 y 3, estas son las conocidas reflexiones en una línea o plano especular , que se puede considerar que incluyen el origen , o en 3D, una reflexión del rotor ).

Esta relación se escribe comúnmente como:

$${\displaystyle {\text{SO}}(n)\cong {\text{E}}^{+}(n)/{\text{T}}(n)}$$

$${\displaystyle {\text{E}}^{+}(n)={\text{SO}}(n)\ltimes {\text{T}}(n).}$$

Subgrupos

Tipos de subgrupos de E( n ):

Grupos finitos .

Siempre tienen un punto fijo. En 3D, por cada punto hay para cada orientación dos que son máximos (con respecto a la inclusión) entre los grupos finitos: Oh _h y I _h . Los grupos I _h son incluso máximos entre los grupos que incluyen la siguiente categoría.

Grupos contablemente infinitos sin traslaciones, rotaciones o combinaciones arbitrariamente pequeñas

es decir, para cada punto el conjunto de imágenes bajo las isometrías es topológicamente discreto (por ejemplo, para 1 ≤ m ≤ n un grupo generado por m traslaciones en direcciones independientes, y posiblemente un grupo de puntos finito). Esto incluye celosías . Ejemplos más generales que esos son los grupos espaciales discretos .

Grupos contablemente infinitos con traslaciones, rotaciones o combinaciones arbitrariamente pequeñas

En este caso hay puntos para los cuales el conjunto de imágenes bajo las isometrías no está cerrado. Ejemplos de tales grupos son, en 1D, el grupo generado por una traslación de 1 y uno de √ 2 , y, en 2D, el grupo generado por una rotación alrededor del origen de 1 radian.

Grupos no contables, donde hay puntos para los cuales el conjunto de imágenes bajo las isometrías no está cerrado

(por ejemplo, en 2D todas las traslaciones en una dirección y todas las traslaciones por distancias racionales en otra dirección).

Grupos no contables, donde para todos los puntos el conjunto de imágenes bajo las isometrías es cerrado

p.ej:

• todas las isometrías directas que mantienen fijo el origen, o más generalmente, algún punto (en 3D llamado grupo de rotación )
• todas las isometrías que mantienen fijo el origen, o más generalmente, algún punto (el grupo ortogonal )
• todas las isometrías directas E ⁺ ( n )
• todo el grupo euclidiano E( n )
• uno de estos grupos en un subespacio m -dimensional combinado con un grupo discreto de isometrías en el espacio ortogonal ( n − m ) -dimensional
• uno de estos grupos en un subespacio m -dimensional combinado con otro en el espacio ortogonal ( n − m ) -dimensional

Ejemplos en 3D de combinaciones:

• todas las rotaciones alrededor de un eje fijo
• ídem combinado con reflexión en planos que pasan por el eje y/o un plano perpendicular al eje
• ídem combinado con traslación discreta a lo largo del eje o con todas las isometrías a lo largo del eje
• un grupo de puntos discretos, un grupo de frisos o un grupo de papel tapiz en un plano, combinado con cualquier grupo de simetría en la dirección perpendicular
• todas las isometrías que son una combinación de una rotación alrededor de algún eje y una traslación proporcional a lo largo del eje; en general, esto se combina con isometrías rotacionales k veces alrededor del mismo eje ( k ≥ 1 ); el conjunto de imágenes de un punto bajo las isometrías es una hélice de k veces ; además, puede haber una rotación doble alrededor de un eje que se cruza perpendicularmente y, por tanto, una hélice de k veces de dichos ejes.
• para cualquier grupo de puntos: el grupo de todas las isometrías que son una combinación de una isometría en el grupo de puntos y una traslación; por ejemplo, en el caso del grupo generado por inversión en el origen: el grupo de todas las traslaciones e inversión en todos los puntos; este es el grupo diédrico generalizado de R ³ , Dih(R ³ ).

Resumen de isometrías hasta en tres dimensiones.

E(1), E(2) y E(3) se pueden clasificar de la siguiente manera, con grados de libertad :

El teorema de Chasles afirma que cualquier elemento de E ⁺ (3) es un desplazamiento de tornillo .

Ver también isometrías 3D que dejan fijo el origen , grupo espacial , involución .

Isometrías de conmutación

Para algunos pares de isometría, la composición no depende del orden:

• dos traducciones
• dos rotaciones o tornillos sobre el mismo eje
• reflexión con respecto a un plano y una traslación en ese plano, una rotación alrededor de un eje perpendicular al plano, o una reflexión con respecto a un plano perpendicular
• reflexión de planeo con respecto a un plano, y una traslación en ese plano
• inversión en un punto y cualquier isometría manteniendo el punto fijo
• rotación de 180° alrededor de un eje y reflexión en un plano que pasa por ese eje
• rotación de 180° alrededor de un eje y rotación de 180° alrededor de un eje perpendicular (da como resultado una rotación de 180° alrededor del eje perpendicular a ambos)
• dos reflexiones del rotor alrededor del mismo eje, con respecto al mismo plano
• dos reflexiones de deslizamiento con respecto al mismo plano

Clases de conjugación

Las traslaciones a una distancia determinada en cualquier dirección forman una clase de conjugación ; el grupo de traducción es la unión de los de todas las distancias.

En 1D, todos los reflejos están en la misma clase.

En 2D, las rotaciones del mismo ángulo en cualquier dirección pertenecen a la misma clase. Los reflejos de planeo con traslación a la misma distancia pertenecen a la misma clase.

En 3D:

• Las inversiones con respecto a todos los puntos son de la misma clase.
• Las rotaciones del mismo ángulo pertenecen a la misma clase.
• Las rotaciones alrededor de un eje combinadas con la traslación a lo largo de ese eje pertenecen a la misma clase si el ángulo es el mismo y la distancia de traslación es la misma.
• Los reflejos en un plano son de la misma clase.
• Las reflexiones en un plano combinadas con la traslación en ese plano a la misma distancia están en la misma clase.
• Las rotaciones alrededor de un eje con el mismo ángulo distinto de 180°, combinadas con la reflexión en un plano perpendicular a ese eje, pertenecen a la misma clase.

Ver también

• Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano.
• Isometría del plano euclidiano
• grupo poincaré
• Coordinar rotaciones y reflexiones.
• Reflexión a través del origen.
• Plano de rotación

Referencias

• Cederberg, Judith N. (2001). Un curso de geometrías modernas . págs. 136-164. ISBN 978-0-387-98972-3.
• William Thurston . Geometría y topología tridimensional. vol. 1 . Editado por Silvio Levy. Serie Matemática de Princeton, 35. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1997. x+311 págs.  ISBN 0-691-08304-5