En geometría , una reflexión puntual (también llamada inversión puntual o inversión central ) es una transformación del espacio afín en la que cada punto se refleja a través de un punto fijo específico . Cuando se trata de estructuras cristalinas y en las ciencias físicas se utilizan más comúnmente los términos simetría de inversión, centro de inversión o centrosimétrico .
Una reflexión puntual es una involución : aplicarla dos veces es la transformación de identidad . Es equivalente a una transformación homotética con factor de escala −1 . El punto de inversión también se llama centro homotético .
Se dice que un objeto que es invariante bajo una reflexión puntual posee simetría puntual ; si es invariante bajo reflexión puntual a través de su centro , se dice que posee simetría central o que es centralmente simétrico . Un grupo de puntos que incluye una reflexión de puntos entre sus simetrías se llama centrosimétrico .
En el espacio euclidiano , una reflexión puntual es una isometría (conserva la distancia ). [1] En el plano euclidiano , una reflexión puntual es lo mismo que una rotación de media vuelta (180° o π radianes ); una reflexión puntual a través del centroide del objeto es lo mismo que un giro de media vuelta .
El término reflexión es vago y algunos lo consideran un abuso del lenguaje, prefiriéndose la inversión ; sin embargo, la reflexión puntual se utiliza ampliamente. Tales mapas son involuciones , lo que significa que tienen orden 2; son su propia inversa: al aplicarlos dos veces se obtiene el mapa de identidad , lo que también es cierto para otros mapas llamados reflejos . Más específicamente, una reflexión se refiere a una reflexión en un hiperplano ( subespacio afín dimensional : un punto en la línea , una línea en el plano , un plano en el espacio tridimensional), con el hiperplano fijo, pero de manera más amplia, la reflexión se aplica a cualquier involución del espacio euclidiano, y el conjunto fijo (un espacio afín de dimensión k , donde ) se llama espejo . En la dimensión 1 estos coinciden, ya que un punto es un hiperplano en la línea.
En términos de álgebra lineal, suponiendo que el origen es fijo, las involuciones son exactamente los mapas diagonalizables con todos los valores propios 1 o −1. La reflexión en un hiperplano tiene un único valor propio −1 (y multiplicidad en el valor propio 1), mientras que la reflexión puntual tiene solo el valor propio −1 (con multiplicidad n ).
El término inversión no debe confundirse con geometría inversa , donde la inversión se define con respecto a un círculo.
En dos dimensiones, una reflexión puntual es lo mismo que una rotación de 180 grados. En tres dimensiones, una reflexión puntual se puede describir como una rotación de 180 grados compuesta de reflexión a través del plano de rotación, perpendicular al eje de rotación. En la dimensión n , las reflexiones puntuales conservan la orientación si n es par y invierten la orientación si n es impar.
Dado un vector a en el espacio euclidiano R n , la fórmula para la reflexión de a a través del punto p es
En el caso de que p sea el origen, la reflexión puntual es simplemente la negación del vector a .
En geometría euclidiana , la inversión de un punto X con respecto a un punto P es un punto X * tal que P es el punto medio del segmento de recta con puntos finales X y X *. En otras palabras, el vector de X a P es el mismo que el vector de P a X *.
La fórmula para la inversión en P es
donde p , x y x * son los vectores de posición de P , X y X * respectivamente.
Este mapeo es una transformación afín involutiva isométrica que tiene exactamente un punto fijo , que es P.
Cuando el punto de inversión P coincide con el origen, la reflexión del punto equivale a un caso especial de escalamiento uniforme : escalamiento uniforme con factor de escala igual a −1. Este es un ejemplo de transformación lineal .
Cuando P no coincide con el origen, la reflexión puntual equivale a un caso especial de transformación homotética : homotecia con centro homotético coincidente con P y factor de escala −1. (Este es un ejemplo de transformación afín no lineal ).
La composición de dos reflexiones puntuales es una traslación . [2] Específicamente, la reflexión puntual en p seguida de la reflexión puntual en q es la traslación por el vector 2( q − p ).
El conjunto que consta de todas las reflexiones y traslaciones puntuales es el subgrupo de Lie del grupo euclidiano . Es un producto semidirecto de R n con un grupo cíclico de orden 2, actuando este último sobre R n por negación. Es precisamente el subgrupo del grupo euclidiano el que fija puntualmente la recta en el infinito .
En el caso n = 1, el grupo de reflexión de puntos es el grupo de isometría completo de la línea.
Dado el punto y su reflexión respecto del punto , este último es el punto medio del segmento ;
Por lo tanto, las ecuaciones para encontrar las coordenadas del punto reflejado son
Particular es el caso en el que el punto C tiene coordenadas (ver el párrafo siguiente)
En un espacio euclidiano de dimensión par , digamos un espacio de 2 N dimensiones , la inversión en un punto P es equivalente a N rotaciones sobre ángulos π en cada plano de un conjunto arbitrario de N planos mutuamente ortogonales que se cruzan en P. Estas rotaciones son mutuamente conmutativas. Por lo tanto, la inversión en un punto en un espacio de dimensiones pares es una isometría que conserva la orientación o isometría directa .
En el espacio euclidiano de dimensiones impares , digamos un espacio de dimensiones (2 N + 1), es equivalente a N rotaciones sobre π en cada plano de un conjunto arbitrario de N planos mutuamente ortogonales que se cruzan en P , combinado con la reflexión en los 2 N. -subespacio dimensional abarcado por estos planos de rotación. Por lo tanto, invierte la orientación en lugar de preservarla , es una isometría indirecta .
Geométricamente en 3D equivale a una rotación alrededor de un eje que pasa por P en un ángulo de 180°, combinada con una reflexión en el plano que pasa por P que es perpendicular al eje; el resultado no depende de la orientación (en el otro sentido) del eje. Las notaciones para el tipo de operación, o el tipo de grupo que genera, son , C i , S 2 y 1×. El tipo de grupo es uno de los tres tipos de grupos de simetría en 3D sin ninguna simetría rotacional pura , ver simetrías cíclicas con n = 1.
Los siguientes grupos de puntos en tres dimensiones contienen inversión:
Estrechamente relacionada con la inversa en un punto está la reflexión con respecto a un plano , que puede considerarse como una "inversión en un plano".
Las moléculas contienen un centro de inversión cuando existe un punto a través del cual todos los átomos pueden reflejar manteniendo la simetría. En cristalografía , la presencia de centros de inversión distingue entre compuestos centrosimétricos y no centrosimétricos. Las estructuras cristalinas se componen de varios poliedros, categorizados por su número de coordinación y ángulos de enlace. Por ejemplo, los poliedros de cuatro coordenadas se clasifican como tetraedros , mientras que los entornos de cinco coordenadas pueden ser piramidales cuadradas o bipiramidales trigonales dependiendo de los ángulos de enlace. Todos los compuestos cristalinos provienen de una repetición de un bloque de construcción atómico conocido como celda unitaria, y estas celdas unitarias definen qué poliedros se forman y en qué orden. Estos poliedros se unen entre sí compartiendo esquinas, bordes o caras, dependiendo de qué átomos compartan enlaces comunes. Los poliedros que contienen centros de inversión se conocen como centrosimétricos, mientras que los que no los tienen son no centrosimétricos. Los octaedros de seis coordenadas son un ejemplo de poliedros centrosimétricos, ya que el átomo central actúa como un centro de inversión a través del cual los seis átomos unidos conservan la simetría. Los tetraedros, por otro lado, no son centrosimétricos ya que una inversión a través del átomo central daría como resultado una inversión del poliedro. Es importante señalar que las geometrías de enlace con números de coordinación impares no deben ser centrosimétricas, porque estos poliedros no contendrán centros de inversión.
Los poliedros reales en los cristales a menudo carecen de la uniformidad prevista en su geometría de enlace. Las irregularidades comunes que se encuentran en la cristalografía incluyen distorsiones y desorden. La distorsión implica la deformación de los poliedros debido a longitudes de enlace no uniformes, a menudo debido a diferentes atracciones electrostáticas entre heteroátomos. Por ejemplo, un centro de titanio probablemente se unirá uniformemente a seis oxígenos en un octaedro, pero se produciría una distorsión si uno de los oxígenos fuera reemplazado por un flúor más electronegativo . Las distorsiones no cambiarán la geometría inherente de los poliedros: un octaedro distorsionado todavía se clasifica como octaedro, pero distorsiones suficientemente fuertes pueden tener un efecto en la centrosimetría de un compuesto. El desorden implica una ocupación dividida en dos o más sitios, en los que un átomo ocupará una posición cristalográfica en un cierto porcentaje de poliedros y la otra en las posiciones restantes. El desorden también puede influir en la centrosimetría de ciertos poliedros, dependiendo de si la ocupación se divide o no en un centro de inversión ya presente.
La centrosimetría también se aplica a la estructura cristalina en su conjunto. Los cristales se clasifican en treinta y dos grupos de puntos cristalográficos que describen cómo los diferentes poliedros se organizan en el espacio en la estructura masiva. De estos treinta y dos grupos de puntos, once son centrosimétricos. La presencia de poliedros no centrosimétricos no garantiza que el grupo de puntos sea el mismo: dos formas no centrosimétricas se pueden orientar en el espacio de una manera que contenga un centro de inversión entre las dos. Dos tetraedros enfrentados pueden tener un centro de inversión en el medio, porque la orientación permite que cada átomo tenga un par reflejado. Lo inverso también es cierto, ya que se pueden organizar múltiples poliedros centrosimétricos para formar un grupo de puntos no centrosimétrico.
Los compuestos no centrosimétricos pueden resultar útiles para su aplicación en óptica no lineal . La falta de simetría a través de los centros de inversión puede permitir que áreas del cristal interactúen de manera diferente con la luz entrante. La longitud de onda, la frecuencia y la intensidad de la luz están sujetas a cambios a medida que la radiación electromagnética interactúa con diferentes estados de energía en toda la estructura. Titanilfosfato de potasio , KTiOPO 4 (KTP). cristaliza en el grupo espacial Pna21 ortorrómbico , no centrosimétrico , y es un cristal no lineal útil. KTP se utiliza para láseres dopados con neodimio que duplican la frecuencia , utilizando una propiedad óptica no lineal conocida como generación de segundo armónico . Las aplicaciones de materiales no lineales aún se están investigando, pero estas propiedades se deben a la presencia (o ausencia del mismo) de un centro de inversión.
La inversión con respecto al origen corresponde a la inversión aditiva del vector de posición y también a la multiplicación escalar por −1. La operación conmuta con cualquier otra transformación lineal , pero no con traslación : está en el centro del grupo lineal general . "Inversión" sin indicar "en un punto", "en una recta" o "en un plano", significa esta inversión; En física, la reflexión tridimensional a través del origen también se denomina transformación de paridad .
En matemáticas, la reflexión a través del origen se refiere a la reflexión puntual del espacio euclidiano R n a través del origen del sistema de coordenadas cartesiano . La reflexión a través del origen es una transformación ortogonal correspondiente a la multiplicación escalar por , y también se puede escribir como , donde está la matriz identidad . En tres dimensiones, esto envía y así sucesivamente.
Como matriz escalar , está representada en cada base por una matriz con diagonal y, junto con la identidad, es el centro del grupo ortogonal .
Es producto de n reflexiones ortogonales (reflexión a través de los ejes de cualquier base ortogonal ); tenga en cuenta que las reflexiones ortogonales conmutan.
En 2 dimensiones, de hecho es una rotación de 180 grados, y en dimensión , es una rotación de 180 grados en n planos ortogonales; [a] observe nuevamente que las rotaciones en planos ortogonales conmutan.
Tiene determinante (a partir de la representación mediante una matriz o como producto de reflexiones). Por lo tanto, conserva la orientación en una dimensión par, por lo tanto es un elemento del grupo ortogonal especial SO(2 n ), y invierte la orientación en una dimensión impar, por lo que no es un elemento de SO(2 n + 1) y en su lugar proporciona un división del mapa , mostrándolo como un producto directo interno .
De manera análoga, es el elemento más largo del grupo ortogonal, con respecto al conjunto generador de reflexiones: todos los elementos del grupo ortogonal tienen una longitud como máximo n con respecto al conjunto generador de reflexiones, [b] y la reflexión a través del origen tiene longitud n, aunque no es único en esto: otras combinaciones máximas de rotaciones (y posiblemente reflexiones) también tienen una longitud máxima.
En SO(2 r ), la reflexión a través del origen es el punto más alejado del elemento identidad con respecto a la métrica habitual. En O(2 r + 1), la reflexión a través del origen no está en SO(2 r +1) (está en el componente de no identidad), y no hay un sentido natural en el que sea un "punto más lejano" que cualquier otro punto en el componente sin identidad, pero proporciona un punto base en el otro componente.
No debe confundirse con el elemento del grupo de giro . Esto es particularmente confuso para grupos de giro pares, ya que , y por lo tanto hay ambos y 2 levantamientos de .
La reflexión a través de la identidad se extiende a un automorfismo de un álgebra de Clifford , llamado involución principal o involución de grado.
La reflexión a través de la identidad se eleva a un pseudoescalar .
