En matemáticas , un grupo euclidiano es el grupo de isometrías (euclidianas) de un espacio euclidiano ; es decir, las transformaciones de ese espacio que preservan la distancia euclidiana entre dos puntos cualesquiera (también llamadas transformaciones euclidianas ). El grupo depende sólo de la dimensión n del espacio y comúnmente se denota como E ( n ) o ISO ( n ).
El grupo euclidiano E( n ) comprende todas las traslaciones , rotaciones y reflexiones de ; y combinaciones finitas arbitrarias de ellos. El grupo euclidiano puede verse como el grupo de simetría del espacio mismo y contiene el grupo de simetrías de cualquier figura (subconjunto) de ese espacio.
Una isometría euclidiana puede ser directa o indirecta , dependiendo de si conserva la lateralidad de las figuras. Las isometrías euclidianas directas forman un subgrupo, el grupo euclidiano especial , a menudo denominado SE( n ) y E + ( n ), cuyos elementos se denominan movimientos rígidos o movimientos euclidianos. Comprenden combinaciones arbitrarias de traslaciones y rotaciones, pero no reflexiones.
Estos grupos se encuentran entre los más antiguos y estudiados, al menos en los casos de las dimensiones 2 y 3 (implícitamente, mucho antes de que se inventara el concepto de grupo).
El número de grados de libertad para E( n ) es n ( n + 1)/2 , lo que da 3 en el caso de n = 2 y 6 para n = 3 . De estos, n puede atribuirse a la simetría traslacional disponible y los n ( n − 1)/2 restantes a la simetría rotacional .
Las isometrías directas (es decir, isometrías que preservan la lateralidad de los subconjuntos quirales ) comprenden un subgrupo de E ( n ), llamado grupo euclidiano especial y generalmente denotado por E + ( n ) o SE( n ). Incluyen las traslaciones y rotaciones, y combinaciones de las mismas; incluyendo la transformación de la identidad, pero excluyendo cualquier reflexión.
Las isometrías que invierten la mano se llaman indirectas u opuestas . Para cualquier isometría indirecta fija R , como una reflexión sobre algún hiperplano, cualquier otra isometría indirecta se puede obtener mediante la composición de R con alguna isometría directa. Por lo tanto, las isometrías indirectas son una clase lateral de E + ( n ), que puede denotarse por E − ( n ). De ello se deduce que el subgrupo E + ( n ) es de índice 2 en E ( n ).
La topología natural del espacio euclidiano implica una topología para el grupo euclidiano E ( n ). Es decir, una secuencia f i de isometrías de ( ) se define para converger si y sólo si, para cualquier punto p de , la secuencia de puntos p i converge.
De esta definición se deduce que una función es continua si y sólo si, para cualquier punto p de , la función definida por f p ( t ) = ( f ( t ))( p ) es continua. Esta función se denomina "trayectoria continua" en E ( n ).
Resulta que el grupo euclidiano especial SE( n ) = E + ( n ) está conexo en esta topología. Es decir, dadas dos isometrías directas cualesquiera A y B de , existe una trayectoria continua f en E + ( n ) tal que f (0) = A y f (1) = B . Lo mismo ocurre con las isometrías indirectas E − ( n ). Por otro lado, el grupo E( n ) en su conjunto no es conexo: no existe una trayectoria continua que comience en E + ( n ) y termine en E − ( n ).
Las trayectorias continuas en E(3) juegan un papel importante en la mecánica clásica , porque describen los movimientos físicamente posibles de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional a lo largo del tiempo. Se toma f (0) como la transformación de identidad I de , que describe la posición inicial del cuerpo. La posición y orientación del cuerpo en cualquier momento posterior t se describirán mediante la transformación f (t). Dado que f (0) = I está en E + (3), lo mismo debe ser cierto para f ( t ) en cualquier momento posterior. Por esta razón, las isometrías euclidianas directas también se denominan "movimientos rígidos".
Los grupos euclidianos no son sólo grupos topológicos , son grupos de Lie , de modo que las nociones de cálculo pueden adaptarse inmediatamente a este escenario.
El grupo euclidiano E ( n ) es un subgrupo del grupo afín para n dimensiones, y de tal manera que se respete la estructura del producto semidirecto de ambos [ aclaración necesaria ] grupos. Esto da, a fortiori , dos maneras de escribir elementos en una notación explícita. Estos son:
Los detalles de la primera representación se dan en la siguiente sección.
En los términos del programa Erlangen de Felix Klein , de esto se desprende que la geometría euclidiana , la geometría del grupo euclidiano de simetrías, es, por tanto, una especialización de la geometría afín . Se aplican todos los teoremas afines. El origen de la geometría euclidiana permite definir la noción de distancia , de la que luego se puede deducir el ángulo .
El grupo euclidiano es un subgrupo del grupo de transformaciones afines .
Tiene como subgrupos el grupo traslacional T( n ) y el grupo ortogonal O( n ). Cualquier elemento de E( n ) es una traslación seguida de una transformación ortogonal (la parte lineal de la isometría), de forma única:
o la misma transformación ortogonal seguida de una traducción:
T( n ) es un subgrupo normal de E( n ): para cada traslación t y cada isometría u , la composición
En conjunto, estos hechos implican que E( n ) es el producto semidirecto de O( n ) extendido por T( n ), que se escribe como . En otras palabras, O( n ) es (de forma natural) también el grupo cociente de E( n ) por T( n ):
Ahora SO( n ), el grupo ortogonal especial , es un subgrupo de O( n ) del índice dos. Por tanto, E( n ) tiene un subgrupo E + ( n ), también de índice dos, formado por isometrías directas . En estos casos el determinante de A es 1.
Se representan como una traslación seguida de una rotación , en lugar de una traslación seguida de algún tipo de reflexión (en las dimensiones 2 y 3, estas son las conocidas reflexiones en una línea o plano especular , que se puede considerar que incluyen el origen , o en 3D, una reflexión del rotor ).
Esta relación se escribe comúnmente como:
Tipos de subgrupos de E( n ):
Ejemplos en 3D de combinaciones:
E(1), E(2) y E(3) se pueden clasificar de la siguiente manera, con grados de libertad :
El teorema de Chasles afirma que cualquier elemento de E + (3) es un desplazamiento de tornillo .
Ver también isometrías 3D que dejan fijo el origen , grupo espacial , involución .
Para algunos pares de isometría, la composición no depende del orden:
Las traslaciones a una distancia determinada en cualquier dirección forman una clase de conjugación ; el grupo de traducción es la unión de los de todas las distancias.
En 1D, todos los reflejos están en la misma clase.
En 2D, las rotaciones del mismo ángulo en cualquier dirección pertenecen a la misma clase. Los reflejos de planeo con traslación a la misma distancia pertenecen a la misma clase.
En 3D: