La cuadratura del circulo

Problem of constructing equal-area shapes

Cuadrar el círculo: las áreas de este cuadrado y de este círculo son ambas iguales a π . En 1882, se demostró que esta figura no se puede construir en un número finito de pasos con un compás y una regla idealizados .

La cuadratura del círculo es un problema de geometría propuesto por primera vez en las matemáticas griegas . Es el desafío de construir un cuadrado con el área de un círculo dado usando sólo un número finito de pasos con un compás y una regla . La dificultad del problema planteó la cuestión de si axiomas específicos de la geometría euclidiana relativos a la existencia de líneas y círculos implicaban la existencia de tal cuadrado.

En 1882, se demostró que la tarea era imposible, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass , que demuestra que pi ( ) es un número trascendental . Es decir, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales . Se sabía desde hacía décadas que la construcción sería imposible si fuera trascendental, pero ese hecho no se demostró hasta 1882. Existen construcciones aproximadas con una precisión no perfecta, y se han encontrado muchas de esas construcciones. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

A pesar de la prueba de que es imposible, los intentos de cuadrar el círculo han sido comunes en las pseudomatemáticas (es decir, el trabajo de chiflados matemáticos). La expresión "la cuadratura del círculo" se utiliza a veces como metáfora de intentar hacer lo imposible. ^[1]

El término cuadratura del círculo se utiliza a veces como sinónimo de cuadratura del círculo. También puede referirse a métodos aproximados o numéricos para encontrar el área de un círculo . En general, la cuadratura o la elevación al cuadrado también se pueden aplicar a otras figuras planas.

Historia

Los métodos para calcular el área aproximada de un círculo dado, que pueden considerarse como un problema precursor de la cuadratura del círculo, ya se conocían en muchas culturas antiguas. Estos métodos se pueden resumir indicando la aproximación a π que producen. Alrededor del año 2000 a. C., los matemáticos babilónicos utilizaron la aproximación , y aproximadamente al mismo tiempo que los antiguos matemáticos egipcios utilizaron . Más de 1000 años después, los Libros de los Reyes del Antiguo Testamento utilizaron la aproximación más simple . ^[2] Las antiguas matemáticas indias , tal como se registran en los Shatapatha Brahmana y Shulba Sutras , utilizaban varias aproximaciones diferentes para . ^[3] Arquímedes demostró una fórmula para el área de un círculo, según la cual . ^[2] En matemáticas chinas , en el siglo III d.C., Liu Hui encontró aproximaciones aún más precisas utilizando un método similar al de Arquímedes, y en el siglo V Zu Chongzhi encontró una aproximación conocida como Milü . ^[4] ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3.125}$ ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3.16}$ ${\displaystyle \pi \approx 3}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143}$ ${\displaystyle \pi \approx 355/113\approx 3.141593}$

El problema de construir un cuadrado cuya área sea exactamente la de un círculo, más que una aproximación a la misma, proviene de las matemáticas griegas . Los matemáticos griegos encontraron construcciones con compás y regla para convertir cualquier polígono en un cuadrado de área equivalente. ^[5] Utilizaron esta construcción para comparar áreas de polígonos geométricamente, en lugar de mediante el cálculo numérico del área que sería más típico en las matemáticas modernas. Como escribió Proclo muchos siglos después, esto motivó la búsqueda de métodos que permitieran realizar comparaciones con formas no poligonales:

Creo que, habiendo tomado la iniciativa de este problema, los antiguos también buscaron la cuadratura del círculo. Porque si se encuentra que un paralelogramo es igual a cualquier figura rectilínea, vale la pena investigar si se puede probar que las figuras rectilíneas son iguales a las figuras delimitadas por arcos circulares. ^[6]

Algunas soluciones aparentemente parciales dieron lugar a falsas esperanzas durante mucho tiempo. En esta figura, la figura sombreada es la luna de Hipócrates . Su área es igual al área del triángulo ABC (encontrado por Hipócrates de Quíos ).

El primer griego conocido que estudió el problema fue Anaxágoras , quien trabajó en él mientras estaba en prisión. Hipócrates de Quíos atacó el problema encontrando una forma delimitada por arcos circulares, la luna de Hipócrates , que podía ser cuadrada. Antífona el Sofista creía que inscribir polígonos regulares dentro de un círculo y duplicar el número de lados eventualmente llenaría el área del círculo (este es el método de agotamiento ). Como cualquier polígono puede ser cuadrado, argumentó ^[5] , el círculo puede ser cuadrado. Por el contrario, Eudemo argumentó que las magnitudes se pueden dividir sin límite, por lo que el área del círculo nunca se consumiría. ^[7] Al mismo tiempo que Antífona, Bryson de Heraclea argumentó que, dado que existen círculos más grandes y más pequeños, debe haber un círculo de igual área; este principio puede verse como una forma del teorema del valor intermedio moderno . ^[8] El objetivo más general de llevar a cabo todas las construcciones geométricas utilizando sólo un compás y una regla se ha atribuido a menudo a Enópides , pero la evidencia de esto es circunstancial. ^[9]

El problema de encontrar el área bajo una curva arbitraria, ahora conocido como integración en cálculo , o cuadratura en análisis numérico , se conocía como cuadratura antes de la invención del cálculo. ^[10] Dado que las técnicas de cálculo eran desconocidas, generalmente se suponía que una cuadratura debía realizarse mediante construcciones geométricas, es decir, con compás y regla. Por ejemplo, Newton escribió a Oldenburg en 1676: "Creo que al Sr. Leibnitz no le desagradará el teorema del comienzo de mi carta, página 4, para cuadrar geométricamente líneas curvas". ^[11] En las matemáticas modernas, los términos han divergido en significado, con cuadratura generalmente utilizada cuando se permiten métodos de cálculo, mientras que cuadratura de la curva conserva la idea de utilizar sólo métodos geométricos restringidos.

James Gregory intentó una prueba de la imposibilidad de la cuadratura del círculo en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola) en 1667. Aunque su prueba fue defectuosa, fue el primer artículo que intentó resolver el problema. usando propiedades algebraicas de . ^{[12] [13]} Johann Heinrich Lambert demostró en 1761 que es un número irracional . ^{[14] [15]} No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann logró demostrar con más fuerza que π es un número trascendental , y al hacerlo también demostró la imposibilidad de cuadrar el círculo con compás y regla. ^{[16] [17]} ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Después de la prueba de imposibilidad de Lindemann, se consideró que el problema había sido resuelto por matemáticos profesionales, y su historia matemática posterior está dominada por intentos pseudomatemáticos de construcciones de círculo cuadrado, en gran parte por aficionados, y por la desacreditación de estos esfuerzos. ^[18] Además, varios matemáticos posteriores, incluido Srinivasa Ramanujan, desarrollaron construcciones con compás y regla que aproximan el problema con precisión en unos pocos pasos. ^{[19] [20]}

Otros dos problemas clásicos de la antigüedad, famosos por su imposibilidad, fueron duplicar el cubo y trisecar el ángulo . Al igual que la cuadratura del círculo, estos no se pueden resolver con compás y regla. Sin embargo, tienen un carácter diferente a la cuadratura del círculo, en el sentido de que su solución involucra la raíz de una ecuación cúbica , en lugar de ser trascendental. Por lo tanto, se pueden utilizar métodos más potentes que las construcciones con compás y regla, como la construcción de neusis o el plegado matemático de papel , para construir soluciones a estos problemas. ^{[21] [22]}

Imposibilidad

La solución del problema de cuadrar el círculo con compás y regla requiere la construcción del número , la longitud del lado de un cuadrado cuyo área es igual a la de un círculo unitario. Si fuera un número construible , se deduciría de las construcciones estándar con compás y regla que también serían construibles. En 1837, Pierre Wantzel demostró que las longitudes que podían construirse con compás y regla tenían que ser soluciones de ciertas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. ^{[23] [24]} Por lo tanto, las longitudes construibles deben ser números algebraicos . Si el círculo se pudiera cuadrar usando solo compás y regla, entonces tendría que ser un número algebraico. No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró la trascendencia de esta construcción y mostró así su imposibilidad. La idea de Lindemann era combinar la prueba de trascendencia del número de Euler , mostrada por Charles Hermite en 1873, con la identidad de Euler. Esta identidad muestra inmediatamente que es un número irracional , porque una potencia racional de un número trascendental sigue siendo trascendental. Lindemann pudo ampliar este argumento, a través del teorema de Lindemann-Weierstrass sobre la independencia lineal de potencias algebraicas de , para demostrar que es trascendental y, por tanto, que la cuadratura del círculo es imposible. ^{[16] [17]} ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi }$

Infringir las reglas introduciendo una herramienta complementaria, permitiendo un número infinito de operaciones con compás y regla o realizando las operaciones en ciertas geometrías no euclidianas hace posible, en cierto sentido, la cuadratura del círculo. Por ejemplo, el teorema de Dinostratus utiliza la cuadratriz de Hipias para cuadrar el círculo, lo que significa que si esta curva ya está dada de alguna manera, entonces se puede construir un cuadrado y un círculo de áreas iguales a partir de ella. La espiral de Arquímedes se puede utilizar para otra construcción similar. ^[25] Aunque el círculo no puede ser cuadrado en el espacio euclidiano , a veces puede serlo en geometría hiperbólica bajo interpretaciones adecuadas de los términos. El plano hiperbólico no contiene cuadrados (cuadriláteros con cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales), sino que contiene cuadriláteros regulares , formas con cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales más agudos que los rectos. En el plano hiperbólico existen ( contablemente ) infinitos pares de círculos construibles y cuadriláteros regulares construibles de igual área, que, sin embargo, se construyen simultáneamente. No existe ningún método para comenzar con un cuadrilátero regular arbitrario y construir el círculo de igual área. Simétricamente, no existe ningún método para comenzar con un círculo arbitrario y construir un cuadrilátero regular de igual área, y para círculos suficientemente grandes no existe tal cuadrilátero. ^{[26] [27]}

Construcciones aproximadas

Aunque es imposible cuadrar el círculo exactamente con compás y regla, se pueden obtener aproximaciones para cuadrar el círculo construyendo longitudes cercanas a . Sólo se necesita geometría elemental para convertir cualquier aproximación racional dada en una construcción correspondiente con compás y regla , pero tales construcciones tienden a ser muy prolijas en comparación con la precisión que logran. Después de que se demostró que el problema exacto no tenía solución, algunos matemáticos aplicaron su ingenio para encontrar aproximaciones a la cuadratura del círculo que sean particularmente simples entre otras construcciones imaginables que brindan una precisión similar. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Construcción de Kochański

Una de las primeras construcciones históricas aproximadas de compás y regla proviene de un artículo de 1685 del jesuita polaco Adam Adamandy Kochański , que produce una aproximación que diverge del quinto decimal. Aunque ya se conocían aproximaciones numéricas mucho más precisas, la construcción de Kochański tiene la ventaja de ser bastante simple. ^[28] En el diagrama de la izquierda. En el mismo trabajo, Kochański también derivó una secuencia de aproximaciones racionales cada vez más precisas para . ^[29] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3.141\,5{\color {red}33\,338}\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}$$ ${\displaystyle \pi }$

Construcciones utilizando 355/113

Jacob de Gelder publicó en 1849 una construcción basada en la aproximación. Este valor tiene una precisión de seis decimales y se conoce en China desde el siglo V como Milü , y en Europa desde el siglo XVII. ^[30] $${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }}$$

Gelder no construyó el lado del cuadrado; le bastó para encontrar el valor. La ilustración muestra la construcción de De Gelder. $${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$$

En 1914, el matemático indio Srinivasa Ramanujan dio otra construcción geométrica para la misma aproximación. ^{[19] [20]}

Construcciones utilizando la proporción áurea.

Una construcción aproximada realizada por EW Hobson en 1913 ^[30] tiene una precisión de tres decimales. La construcción de Hobson corresponde a un valor aproximado de donde está la proporción áurea ,. $${\displaystyle {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)=3.141\;{\color {red}640\;\ldots },}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

El mismo valor aproximado aparece en una construcción de 1991 de Robert Dixon . ^[31] En 2022, Frédéric Beatrix presentó una construcción geometrográfica en 13 pasos. ^[32]

Segunda construcción de Ramanujan

En 1914, Ramanujan dio una construcción que equivalía a tomar el valor aproximado para dar ocho decimales de . ^{[19] [20]} Describe la construcción del segmento de línea OS de la siguiente manera. ^[19] ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }}$$ ${\displaystyle \pi }$

Sea AB (Fig.2) el diámetro de un círculo cuyo centro es O. Biseca el arco ACB en C y triseca AO en T. Une BC y corta CM y MN iguales a AT. Une AM y AN y corta del último AP igual a AM. Por P trazar PQ paralelo a MN y encontrando AM en Q. Unir OQ y por T trazar TR, paralelo a OQ y encontrando AQ en R. Trazar AS perpendicular a AO e igual a AR, y unir OS. Entonces la media proporcional entre OS y OB será casi igual a un sexto de la circunferencia, siendo el error inferior a un doceavo de pulgada cuando el diámetro tiene 8000 millas de largo.

Construcciones incorrectas

En su vejez, el filósofo inglés Thomas Hobbes se convenció de que había logrado la cuadratura del círculo, afirmación refutada por John Wallis como parte de la controversia Hobbes-Wallis . ^[33] Durante los siglos XVIII y XIX, las nociones falsas de que el problema de la cuadratura del círculo estaba de alguna manera relacionado con el problema de la longitud , y que se daría una gran recompensa por una solución, prevalecieron entre los aspirantes a cuadrar el círculo. ^{[34] [35]} En 1851, John Parker publicó un libro Cuadratura del círculo en el que afirmaba haber cuadrado el círculo. En realidad, su método produjo una aproximación con una precisión de seis dígitos. ^{[36] [37] [38]} ${\displaystyle \pi }$

El matemático, lógico y escritor de la época victoriana Charles Lutwidge Dodgson, más conocido por su seudónimo Lewis Carroll , también expresó interés en desacreditar las teorías ilógicas de la cuadratura de círculos. En una de las anotaciones de su diario de 1855, Dodgson enumeró los libros que esperaba escribir, incluido uno llamado "Hechos sencillos para los cuadrados del círculo". En la introducción a "Una nueva teoría de los paralelos", Dodgson relató un intento de demostrar errores lógicos a un par de círculos cuadrados, afirmando: ^[39]

El primero de estos dos visionarios descarriados me llenó de una gran ambición de realizar una hazaña que nunca he oído que haya sido realizada por el hombre: ¡convencer a un círculo más cuadrado de su error! El valor que mi amigo seleccionó para Pi fue 3,2: el enorme error me tentó con la idea de que se podía demostrar fácilmente que ERA un error. Se intercambiaron más de una veintena de cartas antes de que me convenciera tristemente de que no tenía ninguna posibilidad.

Una burla de la cuadratura del círculo aparece en el libro de Augustus De Morgan Un presupuesto de paradojas , publicado póstumamente por su viuda en 1872. Habiendo publicado originalmente el trabajo como una serie de artículos en The Athenæum , lo estaba revisando para su publicación en el momento de su muerte. La cuadratura del círculo perdió popularidad después del siglo XIX y se cree que el trabajo de De Morgan contribuyó a lograrlo. ^[18]

El libro de Heisel de 1934.

Incluso después de que se demostró que era imposible, en 1894, el matemático aficionado Edwin J. Goodwin afirmó que había desarrollado un método para cuadrar el círculo. La técnica que desarrolló no cuadraba con precisión el círculo y proporcionaba un área incorrecta del círculo que esencialmente se redefinió como igual a 3,2. Goodwin luego propuso el proyecto de ley pi de Indiana en la legislatura del estado de Indiana, permitiendo al estado utilizar su método en la educación sin pagarle regalías. El proyecto de ley fue aprobado sin objeciones en la Cámara estatal, pero fue presentado y nunca votado en el Senado, en medio de crecientes burlas por parte de la prensa. ^[40] ${\displaystyle \pi }$

El excéntrico matemático Carl Theodore Heisel también afirmó haber cuadrado el círculo en su libro de 1934, "¡Mira!: el gran problema ya no está sin resolver: el círculo se cuadró más allá de toda refutación". ^[41] Paul Halmos se refirió al libro como un "libro chiflado clásico". ^[42]

En literatura

El problema de la cuadratura del círculo se ha mencionado en una amplia gama de épocas literarias, con diversos significados metafóricos . ^[43] Su uso literario se remonta al menos al 414 a. C., cuando se representó por primera vez la obra Los pájaros de Aristófanes . En él, el personaje Metón de Atenas menciona la cuadratura del círculo, posiblemente para indicar el carácter paradójico de su ciudad utópica. ^[44]

hombre de Vitruvio

El Paraíso de Dante , canto XXXIII, líneas 133-135, contiene el verso:

Como el geómetra, su mente se aplica
a la cuadratura del círculo, ni a pesar de todo su ingenio
encuentra la fórmula correcta, por mucho que lo intente.

Qual è 'l geométra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,

Para Dante, la cuadratura del círculo representa una tarea más allá de la comprensión humana, que compara con su propia incapacidad para comprender el Paraíso. ^[45] La imagen de Dante también recuerda un pasaje de Vitruvio , famoso ilustrado más tarde en El Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci , de un hombre inscrito simultáneamente en un círculo y un cuadrado. ^[46] Dante usa el círculo como símbolo de Dios, y puede haber mencionado esta combinación de formas en referencia a la naturaleza divina y humana simultánea de Jesús. ^{[43] [46]} Anteriormente, en el canto XIII, Dante señala al griego Bryson, el cuadrado del círculo, por haber buscado conocimiento en lugar de sabiduría. ^[43]

Several works of 17th-century poet Margaret Cavendish elaborate on the circle-squaring problem and its metaphorical meanings, including a contrast between unity of truth and factionalism, and the impossibility of rationalizing "fancy and female nature".^[43] By 1742, when Alexander Pope published the fourth book of his Dunciad, attempts at circle-squaring had come to be seen as "wild and fruitless":^[37]

Mad Mathesis alone was unconfined,
Too mad for mere material chains to bind,
Now to pure space lifts her ecstatic stare,
Now, running round the circle, finds it square.

Similarly, the Gilbert and Sullivan comic opera Princess Ida features a song which satirically lists the impossible goals of the women's university run by the title character, such as finding perpetual motion. One of these goals is "And the circle – they will square it/Some fine day."^[47]

The sestina, a poetic form first used in the 12th century by Arnaut Daniel, has been said to metaphorically square the circle in its use of a square number of lines (six stanzas of six lines each) with a circular scheme of six repeated words. Spanos (1978) writes that this form invokes a symbolic meaning in which the circle stands for heaven and the square stands for the earth.^[48] A similar metaphor was used in "Squaring the Circle", a 1908 short story by O. Henry, about a long-running family feud. In the title of this story, the circle represents the natural world, while the square represents the city, the world of man.^[49]

In later works, circle-squarers such as Leopold Bloom in James Joyce's novel Ulysses and Lawyer Paravant in Thomas Mann's The Magic Mountain are seen as sadly deluded or as unworldly dreamers, unaware of its mathematical impossibility and making grandiose plans for a result they will never attain.^[50][51]

See also

• Mrs. Miniver's problem – Problem on areas of intersecting circles
• Round square copula – Philosophical treatment of oxymoronsPages displaying short descriptions of redirect targets
• Squircle – Shape between a square and a circle
• Tarski's circle-squaring problem – Problem of cutting and reassembling a disk into a square

References

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Further reading and external links

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• Polster, Burkard. "2000 years unsolved: Why is doubling cubes and squaring circles impossible?". Mathologer – via YouTube.