Expresión (matemáticas)

Descripción simbólica de un objeto matemático

En la ecuación 7x − 5 = 2, los lados de la ecuación son expresiones.

En matemáticas , una expresión es una disposición escrita de símbolos que sigue las convenciones sintácticas dependientes del contexto de la notación matemática . Los símbolos pueden denotar números , variables , operaciones y funciones . ^[1] Otros símbolos incluyen signos de puntuación y corchetes , utilizados para agrupar cuando no hay un orden de operaciones bien definido .

Las expresiones se distinguen comúnmente de las fórmulas : las expresiones son un tipo de objeto matemático , mientras que las fórmulas son afirmaciones sobre objetos matemáticos. ^[2] Esto es análogo al lenguaje natural , donde una frase nominal se refiere a un objeto y una oración completa se refiere a un hecho . Por ejemplo, es una expresión, mientras que la desigualdad es una fórmula. ${\displaystyle 8x-5}$ ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Evaluar una expresión significa encontrar un valor numérico equivalente a la expresión. ^{[3] [4]} Las expresiones se pueden evaluar o simplificar reemplazando las operaciones que aparecen en ellas con su resultado. Por ejemplo, la expresión se simplifica a , y se evalúa como ${\displaystyle 8\times 2-5}$ ${\displaystyle 16-5}$ ${\displaystyle 11.}$

Una expresión se utiliza a menudo para definir una función , tomando las variables como argumentos , o entradas, de la función, y asignando la salida como la evaluación de la expresión resultante. ^[5] Por ejemplo, y definen la función que asocia a cada número su cuadrado más uno. Una expresión sin variables definiría una función constante . Por lo general, dos expresiones se consideran iguales o equivalentes si definen la misma función. Tal igualdad se llama " igualdad semántica ", es decir, ambas expresiones "significan lo mismo". ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$

Una expresión formal es una especie de cadena de símbolos , creada con las mismas reglas de producción que las expresiones estándar, sin embargo, se utilizan sin tener en cuenta el significado de la expresión. De esta manera, dos expresiones formales se consideran iguales solo si son sintácticamente iguales, es decir, si son exactamente la misma expresión. ^{[6] [7]} Por ejemplo, las expresiones formales "2" y "1+1" no son iguales.

Historia

Matemáticas escritas tempranas

El hueso de Ishango en el RBINS . Tablilla babilónica que aproxima la raíz cuadrada de 2. Problema 14 del Papiro matemático de Moscú .

Las primeras matemáticas escritas probablemente comenzaron con marcas de conteo , donde cada marca representaba una unidad, tallada en madera o piedra. Un ejemplo de conteo temprano es el hueso de Ishango , encontrado cerca del Nilo y que data de hace más de 20.000 años , que se cree que muestra un calendario lunar de seis meses . ^[8] El Antiguo Egipto desarrolló un sistema simbólico utilizando jeroglíficos , asignando símbolos para potencias de diez y usando símbolos de suma y resta que se asemejaban a piernas en movimiento. ^{[9] [10]} Este sistema, registrado en textos como el Papiro matemático de Rhind (c. 2000-1800 a. C.), influyó en otras culturas mediterráneas . En Mesopotamia , se desarrolló un sistema similar, con números escritos en un formato de base 60 ( sexagesimal ) en tablillas de arcilla escritas en cuneiforme , una técnica que se originó con los sumerios alrededor del 3000 a. C. Este sistema de base 60 persiste hoy en día en la medición del tiempo y los ángulos .

Etapa sincopada

La etapa "sincopada" de las matemáticas introdujo abreviaturas simbólicas para operaciones y cantidades de uso común, lo que marcó un cambio con respecto al razonamiento puramente geométrico . Las matemáticas de la antigua Grecia , en gran parte de naturaleza geométrica, se basaron en los sistemas numéricos egipcios (especialmente los numerales áticos ), ^[11] con poco interés en los símbolos algebraicos, hasta la llegada de Diofanto de Alejandría , ^[12] quien fue pionero en una forma de álgebra sincopada en su Arithmetica , que introdujo la manipulación simbólica de expresiones. ^[13] Su notación representaba incógnitas y potencias simbólicamente, pero sin símbolos modernos para relaciones (como igualdad o desigualdad ) o exponentes . ^[14] Un número desconocido se llamaba . ^[15] El cuadrado de era ; el cubo era ; la cuarta potencia era ; y la quinta potencia era . ^[16] Entonces, por ejemplo, lo que se escribiría en notación moderna como: Se escribiría en la notación sincopada de Diofanto como: ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \Delta ^{v}}$ ${\displaystyle K^{v}}$ ${\displaystyle \Delta ^{v}\Delta }$ ${\displaystyle \Delta K^{v}}$ $${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1,}$$

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$

En el siglo VII, Brahmagupta utilizó diferentes colores para representar las incógnitas en las ecuaciones algebraicas en el Brāhmasphuṭasiddhānta . Los avances matemáticos griegos y de otras épocas antiguas solían quedar atrapados en ciclos de explosiones de creatividad, seguidas de largos períodos de estancamiento, pero esto comenzó a cambiar a medida que el conocimiento se difundió en el período moderno temprano .

Etapa simbólica y aritmética temprana

El uso de los signos más y menos en la imprenta en 1489.

La transición al álgebra completamente simbólica comenzó con Ibn al-Banna' al-Marrakushi (1256-1321) y Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412-1482), quienes introdujeron símbolos para operaciones utilizando caracteres árabes . ^{[17] [18] [19]} El signo más (+) apareció alrededor de 1351 con Nicole Oresme , ^[20] probablemente derivado del latín et (que significa "y"), mientras que el signo menos (−) fue utilizado por primera vez en 1489 por Johannes Widmann . ^[21] Luca Pacioli incluyó estos símbolos en sus obras, aunque gran parte se basó en contribuciones anteriores de Piero della Francesca . El símbolo radical (√) para la raíz cuadrada fue introducido por Christoph Rudolff en el siglo XVI, y los paréntesis para la precedencia por Niccolò Tartaglia en 1556. La Nueva Álgebra de François Viète (1591) formalizó la manipulación simbólica moderna. El signo de multiplicación (×) fue utilizado por primera vez por William Oughtred y el signo de división (÷) por Johann Rahn .

René Descartes avanzó aún más el simbolismo algebraico en La Géométrie (1637), donde introdujo el uso de letras al final del alfabeto (x, y, z) para las variables , junto con el sistema de coordenadas cartesianas , que unía el álgebra y la geometría. ^[22] Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron independientemente el cálculo a fines del siglo XVII, y la notación de Leibniz se convirtió en el estándar.

Variables y evaluación

En álgebra elemental , una variable en una expresión es una letra que representa un número cuyo valor puede cambiar. Evaluar una expresión con una variable significa encontrar el valor de la expresión cuando a la variable se le asigna un número dado. Las expresiones se pueden evaluar o simplificar reemplazando las operaciones que aparecen en ellas con su resultado o combinando términos iguales . ^[23]

Por ejemplo, tome la expresión ; se puede evaluar en x = 3 en los siguientes pasos: ${\displaystyle 4x^{2}+8}$

${\textstyle 4(3)^{2}+3}$, (reemplaza x por 3)

${\displaystyle 4\cdot (3\cdot 3)+8}$(use la definición de exponente )

${\displaystyle 4\cdot 9+8}$(simplificar)

${\displaystyle 36+8}$

${\displaystyle 44}$

Un término es una constante o el producto de una constante y una o más variables. Algunos ejemplos incluyen La constante del producto se llama coeficiente . Los términos que son constantes o tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias se llaman términos semejantes . Si hay términos semejantes en una expresión, puedes simplificarla combinando los términos semejantes. Sumamos los coeficientes y mantenemos la misma variable. ${\displaystyle 7,\;5x,\;13x^{2}y,\;4b}$

${\displaystyle 4x+7x+2x=15x}$

Cualquier variable puede clasificarse como variable libre o variable ligada . Para una combinación dada de valores para las variables libres, se puede evaluar una expresión, aunque para algunas combinaciones de valores de las variables libres, el valor de la expresión puede ser indefinido . Por lo tanto, una expresión representa una operación sobre constantes y variables libres y cuyo resultado es el valor resultante de la expresión. ^[24]

En un lenguaje no formalizado, es decir, en la mayoría de los textos matemáticos fuera de la lógica matemática , para una expresión individual no siempre es posible identificar qué variables son libres y cuáles están ligadas. Por ejemplo, en , dependiendo del contexto, la variable puede ser libre y ligada, o viceversa, pero no pueden ser ambas libres. Determinar qué valor se supone que es libre depende del contexto y la semántica . ^[25] ${\textstyle \sum _{i<k}a_{ik}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle k}$

Equivalencia

Una expresión se utiliza a menudo para definir una función , o denotar composiciones de funciones, tomando las variables como argumentos , o entradas, de la función, y asignando la salida como la evaluación de la expresión resultante. ^[26] Por ejemplo, y definen la función que asocia a cada número su cuadrado más uno. Una expresión sin variables definiría una función constante . De esta manera, se dice que dos expresiones son equivalentes si, para cada combinación de valores de las variables libres, tienen la misma salida, es decir, representan la misma función. ^{[27] [28]} La equivalencia entre dos expresiones se llama identidad y a veces se denota con ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ ${\displaystyle \equiv .}$

Por ejemplo, en la expresión la variable n está ligada y la variable x es libre. Esta expresión es equivalente a la expresión más simple 12 x ; es decir El valor para x = 3 es 36, que puede denotarse ${\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}$$

Evaluación de polinomios

Un polinomio consta de variables y coeficientes , que involucran únicamente las operaciones de suma , resta , multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas , y tiene un número finito de términos. El problema de la evaluación de polinomios surge con frecuencia en la práctica. En geometría computacional , los polinomios se utilizan para calcular aproximaciones de funciones utilizando polinomios de Taylor . En criptografía y tablas hash , los polinomios se utilizan para calcular hash k -independiente .

En el primer caso, los polinomios se evalúan utilizando aritmética de punto flotante , que no es exacta. Por lo tanto, los diferentes esquemas de evaluación darán, en general, respuestas ligeramente diferentes. En el segundo caso, los polinomios se evalúan normalmente en un cuerpo finito , en cuyo caso las respuestas son siempre exactas.

Para evaluar el polinomio univariado, el método más ingenuo utilizaría multiplicaciones para calcular , utilizaría multiplicaciones para calcular y así sucesivamente para un total de multiplicaciones y sumas. Si se utilizan métodos mejores, como la regla de Horner , esto se puede reducir a multiplicaciones y sumas. Si se permite algún preprocesamiento, es posible ahorrar aún más. ${\textstyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$ ${\textstyle n-1}$ ${\displaystyle a_{n-1}x^{n-1}}$ ${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Cálculo

Un cálculo es cualquier tipo de cálculo aritmético o no aritmético que esté "bien definido". ^[29] La noción de que los enunciados matemáticos deberían estar "bien definidos" ha sido defendida por los matemáticos desde al menos el siglo XVII , ^[30] pero el acuerdo sobre una definición adecuada resultó difícil de alcanzar. ^[31] Una definición candidata fue propuesta independientemente por varios matemáticos en la década de 1930. ^[32] La variante más conocida fue formalizada por el matemático Alan Turing , quien definió un enunciado o cálculo bien definido como cualquier enunciado que pudiera expresarse en términos de los parámetros de inicialización de una máquina de Turing . ^{[33] [ página necesaria ] La definición de Turing asignó "bien definido" a una clase muy grande de enunciados matemáticos, incluyendo todos} los enunciados algebraicos bien formados y todos los enunciados escritos en lenguajes de programación informática modernos. ^[34]

A pesar de la amplia aceptación de esta definición, hay algunos conceptos matemáticos que no tienen una caracterización bien definida bajo esta definición. Esto incluye el problema de la detención y el juego del castor atareado . Sigue siendo una pregunta abierta si existe una definición más poderosa de "bien definido" que sea capaz de capturar tanto las declaraciones computables como las "no computables". ^{[a] [35]} Todas las declaraciones caracterizadas en los lenguajes de programación modernos están bien definidas, incluidos C++ , Python y Java . ^[34]

Ejemplos comunes de computación son la aritmética básica y la ejecución de algoritmos informáticos . Un cálculo es un proceso matemático deliberado que transforma una o más entradas en una o más salidas o resultados . Por ejemplo, multiplicar 7 por 6 es un cálculo algorítmico simple. Extraer la raíz cuadrada o la raíz cúbica de un número utilizando modelos matemáticos es un cálculo algorítmico más complejo.

Reescritura

Las expresiones se pueden calcular por medio de una estrategia de evaluación . ^[36] Para ilustrar, la ejecución de una llamada de función f(a,b)puede evaluar primero los argumentos ay b, almacenar los resultados en referencias o ubicaciones de memoria ref_ay ref_b, luego evaluar el cuerpo de la función con esas referencias pasadas. Esto le da a la función la capacidad de buscar los valores de los argumentos originales pasados ​​mediante la desreferenciación de los parámetros (algunos lenguajes usan operadores específicos para realizar esto), modificarlos mediante asignación como si fueran variables locales y devolver valores mediante las referencias. Esta es la estrategia de evaluación de llamada por referencia. ^[37] La ​​estrategia de evaluación es parte de la semántica de la definición del lenguaje de programación. Algunos lenguajes, como PureScript , tienen variantes con diferentes estrategias de evaluación. Algunos lenguajes declarativos , como Datalog , admiten múltiples estrategias de evaluación. Algunos lenguajes definen una convención de llamada .

En reescritura , una estrategia de reducción o estrategia de reescritura es una relación que especifica una reescritura para cada objeto o término, compatible con una relación de reducción dada. Una estrategia de reescritura especifica, de todos los subtérminos reducibles ( redexes ), cuál debe reducirse ( contraerse ) dentro de un término. Uno de los sistemas más comunes implica el cálculo lambda .

Expresiones bien definidas

El lenguaje de las matemáticas presenta una especie de gramática (llamada gramática formal ) sobre cómo se pueden escribir las expresiones. Hay dos consideraciones para la buena definición de las expresiones matemáticas: la sintaxis y la semántica . La sintaxis se ocupa de las reglas utilizadas para construir o transformar los símbolos de una expresión sin tener en cuenta ninguna interpretación o significado que se les dé. Las expresiones que son sintácticamente correctas se denominan bien formadas . La semántica se ocupa del significado de estas expresiones bien formadas. Las expresiones que son semánticamente correctas se denominan bien definidas .

Bien formado

La sintaxis de las expresiones matemáticas se puede describir de manera algo informal de la siguiente manera: los operadores permitidos deben tener el número correcto de entradas en los lugares correctos (generalmente escritos con notación infija ), las subexpresiones que componen estas entradas deben estar bien formadas, tener un orden claro de operaciones , etc. Las cadenas de símbolos que se ajustan a las reglas de la sintaxis se denominan bien formadas , y las que no están bien formadas se denominan mal formadas , y no constituyen expresiones matemáticas. ^[38]

Por ejemplo, en aritmética , la expresión 1 + 2 × 3 está bien formada, pero

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

no es.

Sin embargo, estar bien formada no es suficiente para ser considerada bien definida. Por ejemplo, en aritmética, la expresión está bien formada, pero no está bien definida. (Véase División por cero ). Tales expresiones se denominan indefinidas . ${\textstyle {\frac {1}{0}}}$

Bien definido

La semántica es el estudio del significado. La semántica formal trata de asignar significado a las expresiones. Una expresión que define un valor o significado único se dice que está bien definida . De lo contrario, se dice que la expresión está mal definida o es ambigua. ^[39] En general, el significado de las expresiones no se limita a designar valores; por ejemplo, una expresión puede designar una condición o una ecuación que se debe resolver, o puede verse como un objeto en sí mismo que puede manipularse de acuerdo con ciertas reglas. Ciertas expresiones que designan un valor expresan simultáneamente una condición que se supone que se cumple, por ejemplo, aquellas que involucran al operador para designar una suma directa interna . ${\displaystyle \oplus }$

En álgebra , una expresión puede utilizarse para designar un valor, que puede depender de los valores asignados a las variables que aparecen en la expresión. La determinación de este valor depende de la semántica asociada a los símbolos de la expresión. La elección de la semántica depende del contexto de la expresión. La misma expresión sintáctica 1 + 2 × 3 puede tener diferentes valores (matemáticamente 7, pero también 9), dependiendo del orden de las operaciones implícitas en el contexto (véase también Operaciones § Calculadoras ).

Para los números reales , el producto es inequívoco porque ; por lo tanto, se dice que la notación está bien definida . ^[40] Esta propiedad, también conocida como asociatividad de la multiplicación, garantiza que el resultado no dependa de la secuencia de multiplicaciones; por lo tanto, se puede omitir una especificación de la secuencia. La operación de resta no es asociativa; a pesar de eso, existe una convención que es una abreviatura de , por lo que se considera "bien definida". Por otro lado, la división no es asociativa y, en el caso de , las convenciones de paréntesis no están bien establecidas; por lo tanto, esta expresión a menudo se considera mal definida. ${\displaystyle a\times b\times c}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$ ${\displaystyle a-b-c}$ ${\displaystyle (a-b)-c}$ ${\displaystyle a/b/c}$

A diferencia de las funciones, las ambigüedades de notación se pueden superar por medio de definiciones adicionales (por ejemplo, reglas de precedencia , asociatividad del operador). Por ejemplo, en el lenguaje de programación C , el operador -de resta es asociativo de izquierda a derecha , lo que significa que a-b-cse define como (a-b)-c, y el operador =de asignación es asociativo de derecha a izquierda , lo que significa que a=b=cse define como a=(b=c). ^[41] En el lenguaje de programación APL solo hay una regla: de derecha a izquierda , pero primero los paréntesis.

Definición formal

El término expresión forma parte del lenguaje de las matemáticas , es decir, no se define dentro de las matemáticas, sino que se toma como una parte primitiva del lenguaje. Intentar definir el término no sería hacer matemáticas, sino que uno estaría involucrándose en una especie de metamatemática (el metalenguaje de las matemáticas), normalmente la lógica matemática . Dentro de la lógica matemática, las matemáticas suelen describirse como una especie de lenguaje formal , y una expresión bien formada puede definirse recursivamente de la siguiente manera: ^[42]

El alfabeto consta de:

• Un conjunto de constantes individuales : símbolos que representan objetos fijos en el dominio del discurso , como números (1, 2,5, 1/7, ...), conjuntos ( , ...), valores de verdad (V o F), etc. ${\displaystyle \varnothing ,\{1,2,3\}}$

• Un conjunto de variables individuales: una cantidad infinitamente numerable de símbolos que representan variables utilizadas para representar un objeto no especificado en el dominio. (Generalmente letras como x o y )

• Un conjunto de operaciones: símbolos de funciones que representan operaciones que se pueden realizar sobre elementos del dominio, como la suma (+), la multiplicación (×) u operaciones de conjuntos como la unión (∪) o la intersección (∩). (Las funciones pueden entenderse como operaciones unarias )

• Corchetes ( )

Con este alfabeto, las reglas recursivas para formar una expresión bien formada (WFE) son las siguientes:

• Cualquier constante o variable definida son expresiones atómicas , las expresiones bien formadas más simples (WFE). Por ejemplo, la constante o la variable son expresiones sintácticamente correctas. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$

• Sea una metavariable para cualquier operación n-aria sobre el dominio, y sean metavariables para cualquier WFE. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n}}$

Entonces también está bien formado. Para las operaciones más utilizadas, a lo largo de los siglos se han desarrollado notaciones más convenientes (como la notación infija ). ${\displaystyle F(\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n})}$

Por ejemplo, si el dominio del discurso son los números reales , puede denotar la operación binaria +, entonces está bien formada. O puede ser la operación unaria, entonces está bien formada. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1}+\phi _{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \surd }$ ${\displaystyle {\sqrt {\phi _{1}}}}$

Los corchetes se encuentran inicialmente alrededor de cada expresión no atómica, pero se pueden eliminar en los casos en que hay un orden definido de operaciones , o donde el orden no importa (es decir, donde las operaciones son asociativas ).

Una expresión bien formada puede considerarse como un árbol sintáctico . ^[43] Los nodos hoja son siempre expresiones atómicas. Las operaciones y tienen exactamente dos nodos secundarios, mientras que las operaciones , y tienen exactamente uno. Hay infinitas expresiones WFE, sin embargo, cada una tiene un número finito de nodos. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ ${\textstyle {\text{ln}}(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$

Cálculo lambda

Los lenguajes formales permiten formalizar el concepto de expresiones bien formadas.

En la década de 1930, Alonzo Church y Stephen Kleene introdujeron un nuevo tipo de expresiones, llamadas expresiones lambda , para formalizar funciones y su evaluación. ^{[44] [b]} Forman la base del cálculo lambda , un sistema formal utilizado en la lógica matemática y la teoría de los lenguajes de programación .

La equivalencia de dos expresiones lambda es indecidible . Esto también es así para las expresiones que representan números reales, que se construyen a partir de los números enteros mediante las operaciones aritméticas, el logaritmo y la exponencial ( teorema de Richardson ).

Tipos de expresiones

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes algebraicas , variables y operaciones algebraicas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación por un número racional ). ^[45] Por ejemplo, 3 x ² − 2 xy + c es una expresión algebraica. Dado que sacar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia ⁠1/2⁠ , lo siguiente también es una expresión algebraica:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

Véase también: Ecuación algebraica y Cierre algebraico

Expresión polinómica

Una expresión polinómica es una expresión construida con escalares (números de elementos de algún campo), indeterminados y los operadores de suma, multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas; por ejemplo ${\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}$

Utilizando la asociatividad , la conmutatividad y la distributividad , cada expresión polinómica es equivalente a un polinomio , es decir, una expresión que es una combinación lineal de productos de potencias enteras de indeterminados. Por ejemplo, la expresión polinómica anterior es equivalente (denote el mismo polinomio como ${\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}$

Muchos autores no distinguen entre polinomios y expresiones polinómicas. En este caso, la expresión de una expresión polinómica como combinación lineal se denomina forma canónica , forma normal o forma expandida del polinomio.

Expresión computacional

En informática , una expresión es una entidad sintáctica en un lenguaje de programación que puede evaluarse para determinar su valor ^[46] o no terminar, en cuyo caso la expresión no está definida. ^[47] Es una combinación de una o más constantes , variables , funciones y operadores que el lenguaje de programación interpreta (según sus reglas particulares de precedencia y de asociación ) y calcula para producir ("devolver", en un entorno con estado ) otro valor. Este proceso, para expresiones matemáticas, se llama evaluación . En configuraciones simples, el valor resultante suele ser uno de varios tipos primitivos , como cadena , booleano o numérico (como entero , punto flotante o complejo ).

En álgebra computacional , las fórmulas se consideran expresiones que se pueden evaluar como booleanas, según los valores que se les asignan a las variables que aparecen en las expresiones. Por ejemplo, toma el valor falso si se asigna a x un valor menor que 1 y el valor verdadero en caso contrario. ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Las expresiones a menudo se contrastan con las declaraciones : entidades sintácticas que no tienen valor (una instrucción).

Representación de la expresión (8 − 6) × (3 + 1) como un árbol Lisp , de una tesis de maestría de 1985 ^[48]

A excepción de los números y las variables , toda expresión matemática puede ser vista como el símbolo de un operador seguido de una secuencia de operandos. En el software de álgebra computacional, las expresiones se representan generalmente de esta manera. Esta representación es muy flexible y muchas cosas que a primera vista no parecen expresiones matemáticas, pueden representarse y manipularse como tales. Por ejemplo, una ecuación es una expresión con "=" como operador, una matriz puede representarse como una expresión con "matriz" como operador y sus filas como operandos.

Ver: Expresión de álgebra computacional

Expresión lógica

En lógica matemática , una "expresión lógica" puede hacer referencia a términos o fórmulas . Un término denota un objeto matemático, mientras que una fórmula denota un hecho matemático. En particular, los términos aparecen como componentes de una fórmula.

Un término de primer orden se construye recursivamente a partir de símbolos constantes, variables y símbolos de función . Una expresión formada al aplicar un símbolo de predicado a un número apropiado de términos se llama fórmula atómica , que evalúa como verdadera o falsa en lógicas bivalentes , dada una interpretación . Por ejemplo, ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+1)*(x+1)}$ es un término construido a partir de la constante 1, la variable x y los símbolos de función binaria ⁠ ⁠ ${\displaystyle +}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle *}$ ; es parte de la fórmula atómica ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+1)*(x+1)\geq 0}$ que evalúa como verdadera para cada valor de número real de x .

Véase también

• Expresión analítica
• Expresión de forma cerrada
• Cálculo formal
• Programación funcional
• Expresión infinita
• Oración numérica
• Expresión regular
• Reescritura
• Firma (lógica)

Notas

1. El estudio de enunciados no computables es el campo de la hipercomputación .
2. Para una historia completa, véase "Historia del cálculo lambda y la lógica combinatoria" de Cardone y Hindley (2006).

Referencias

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3. Oxford English Dictionary, sv "Evaluar (v.), percibir", " Matemáticas. Calcular el 'valor' de (una expresión cuantitativa); encontrar una expresión numérica para (cualquier hecho o relación cuantitativa). "
4. Oxford English Dictionary , sv “Simplificar (v.), sentido 4.a”, " Expresar (una ecuación u otra expresión matemática) en una forma que sea más fácil de entender, analizar o trabajar, por ejemplo, recopilando términos similares o sustituyendo variables " .
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13. Boyer (1991). "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas". pp. 180-182. "En este sentido, puede compararse con los grandes clásicos de la época alejandrina anterior; sin embargo, no tiene prácticamente nada en común con ellos ni, de hecho, con ninguna matemática griega tradicional. Representa esencialmente una nueva rama y hace uso de un enfoque diferente. Al estar divorciada de los métodos geométricos, se parece en gran medida al álgebra babilónica. Pero mientras que los matemáticos babilónicos se habían preocupado principalmente por soluciones aproximadas de ecuaciones determinadas hasta el tercer grado, la Aritmética de Diofanto (tal como la tenemos) está casi enteramente dedicada a la solución exacta de ecuaciones, tanto determinadas como indeterminadas. [...] A lo largo de los seis libros supervivientes de Aritmética hay un uso sistemático de abreviaturas para potencias de números y para relaciones y operaciones. Un número desconocido se representa con un símbolo parecido a la letra griega ζ {\displaystyle \zeta } (quizás para la última letra de arithmos). [...] Es, en cambio, una colección de unos 150 problemas, todos resueltos en términos de ejemplos numéricos específicos, aunque tal vez se pretendía generalizar el método. No se desarrolla ninguna postulación ni se hace ningún esfuerzo por encontrar todas las soluciones posibles. En el caso de ecuaciones cuadráticas con dos raíces positivas, sólo se da la mayor, y no se reconocen las raíces negativas. No se hace una distinción clara entre problemas determinados e indeterminados, e incluso para estos últimos, para los que el número de soluciones es generalmente ilimitado, sólo se da una única respuesta. Diofanto resolvió problemas que involucraban varios números desconocidos expresando hábilmente todas las cantidades desconocidas, cuando era posible, en términos de sólo una de ellas.
14. Boyer (1991). "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas". pág. 178. "La principal diferencia entre la síncopa diofántica y la notación algebraica moderna es la falta de símbolos especiales para operaciones y relaciones, así como de la notación exponencial".
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Obras citadas

Descartes, René (2006) [1637]. Discurso sobre el método de conducir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias. Traducido por Ian Maclean. Oxford University Press. ISBN 0-19-282514-3.