Altitud (triángulo)

Segmento de línea perpendicular desde el lado de un triángulo hasta el vértice opuesto

Las tres alturas de un triángulo se intersecan en el ortocentro, que para un triángulo agudo está dentro del triángulo.

En geometría , la altura de un triángulo es un segmento de línea que pasa por un vértice dado (llamado vértice ) y es perpendicular a una línea que contiene el lado o arista opuesto al vértice (la base ). Esta línea (infinita) que contiene la base (finita) se llama la base extendida de la altura. La intersección de la base extendida y la altura se llama el pie de la altura. La longitud de la altura, a menudo llamada simplemente "la altura", es la distancia entre el pie y el vértice. El proceso de dibujar la altura desde un vértice hasta el pie se conoce como dejar caer la altura en ese vértice. Es un caso especial de proyección ortogonal .

Las alturas se pueden utilizar para calcular el área de un triángulo : la mitad del producto de la longitud de una altura por la longitud de su base es igual al área del triángulo. Por lo tanto, la altura más larga es perpendicular al lado más corto del triángulo. Las alturas también están relacionadas con los lados del triángulo a través de las funciones trigonométricas .

En un triángulo isósceles (un triángulo con dos lados congruentes ), la altura que tiene como base el lado incongruente tendrá como pie el punto medio de ese lado. Además, la altura que tiene como base el lado incongruente será la bisectriz del ángulo del vértice.

Es común marcar la altitud con la letra h (como en altura ), a menudo subíndice con el nombre del lado hacia el que se dibuja la altitud.

La altura de un triángulo rectángulo desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en que se divide la hipotenusa. Utilizando el teorema de Pitágoras sobre los 3 triángulos de lados ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) y ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

En un triángulo rectángulo , la altura trazada sobre la hipotenusa c divide a la hipotenusa en dos segmentos de longitudes p y q . Si denotamos la longitud de la altura por h _c , entonces tenemos la relación

${\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}$  ( Teorema de la media geométrica ; ver Casos especiales, teorema de Pitágoras inverso )

En un triángulo rectángulo, la altura de cada ángulo agudo coincide con un cateto e interseca al lado opuesto en (tiene su pie en) el vértice rectángulo, que es el ortocentro.

En los triángulos acutángulos, los pies de las alturas caen todos sobre los lados del triángulo (no prolongados). En un triángulo obtusángulo (uno con un ángulo obtuso ), el pie de la altura del vértice obtusángulo cae en el interior del lado opuesto, pero los pies de las alturas de los vértices acutángulos caen sobre el lado prolongado opuesto , exterior al triángulo. Esto se ilustra en el diagrama adyacente: en este triángulo obtusángulo, una altura caída perpendicularmente desde el vértice superior, que tiene un ángulo agudo, interseca el lado horizontal prolongado fuera del triángulo.

Ortocentro

Tres alturas que se cortan en el ortocentro

Las tres alturas (posiblemente extendidas) se intersecan en un único punto, llamado ortocentro del triángulo, que se suele denotar con H. ^{[1] [2]} El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo. Si un ángulo es recto, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. ^[2]

Sean A, B, C los vértices y también los ángulos del triángulo, y sean las longitudes de los lados. El ortocentro tiene coordenadas trilineales ^[3] ${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}}$$

y coordenadas baricéntricas

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}}$$

Dado que las coordenadas baricéntricas son todas positivas para un punto en el interior de un triángulo, pero al menos una es negativa para un punto en el exterior, y dos de las coordenadas baricéntricas son cero para un punto de vértice, las coordenadas baricéntricas dadas para el ortocentro muestran que el ortocentro está en el interior de un triángulo agudo , en el vértice rectángulo de un triángulo rectángulo y en el exterior de un triángulo obtuso .

En el plano complejo , sean los puntos A, B, C los números z _A , z _B , z _C y supongamos que el circuncentro del triángulo △ ABC se encuentra en el origen del plano. Entonces, el número complejo

${\displaystyle z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}}$

está representado por el punto H , es decir la altura del triángulo △ ABC . ^[4] A partir de esto, se pueden establecer de forma sencilla las siguientes caracterizaciones del ortocentro H mediante vectores libres :

${\displaystyle {\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.}$

La primera de las identidades vectoriales anteriores también se conoce como el problema de Sylvester , propuesto por James Joseph Sylvester . ^[5]

Propiedades

Sean D, E, F los pies de las alturas de A, B, C respectivamente. Entonces:

• El producto de las longitudes de los segmentos en que el ortocentro divide una altitud es el mismo para las tres altitudes: ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HF}}.}$

El círculo centrado en H cuyo radio es la raíz cuadrada de esta constante es el círculo polar del triángulo . ^[8]

• La suma de las razones de las tres alturas de la distancia del ortocentro desde la base a la longitud de la altura es 1: ^[9] (Esta propiedad y la siguiente son aplicaciones de una propiedad más general de cualquier punto interior y las tres cevianas que lo pasan.)

${\displaystyle {\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF}}{\overline {CF}}}=1.}$

• La suma de las razones de las tres alturas de la distancia del ortocentro al vértice y la longitud de la altura es 2: ^[9]

${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH}}{\overline {CF}}}=2.}$

• El conjugado isogonal del ortocentro es el circuncentro del triángulo. ^[10]
• El conjugado isotómico del ortocentro es el punto simediano del triángulo anticomplementario . ^[11]
• Cuatro puntos en el plano, tales que uno de ellos es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres, se llama sistema ortocéntrico o cuadrángulo ortocéntrico.

Relación con círculos y cónicas

Denotemos el radio circunscrito del triángulo por R . Entonces ^{[12] [13]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.}$

Además, denotando r como el radio del círculo inscrito del triángulo , r _a , r _b , r _c como los radios de sus círculos exscritos y R nuevamente como el radio de su círculo circunscrito, se cumplen las siguientes relaciones respecto de las distancias del ortocentro desde los vértices: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$

Si cualquier altitud, por ejemplo, AD , se extiende para intersecar el círculo circunscrito en P , de modo que AD sea una cuerda del círculo circunscrito, entonces el pie D biseca el segmento HP : ^[7]

${\displaystyle {\overline {HD}}={\overline {DP}}.}$

Las directrices de todas las parábolas que son tangentes externamente a un lado de un triángulo y tangentes a las extensiones de los otros lados pasan por el ortocentro. ^[15]

Una circuncónica que pasa por el ortocentro de un triángulo es una hipérbola rectangular . ^[16]

Relación con otros centros, el círculo de nueve puntos

El ortocentro H , el baricentro G , el circuncentro O y el centro N del círculo de nueve puntos se encuentran todos en una sola línea, conocida como la línea de Euler . ^[17] El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio de la línea de Euler, entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el centroide y el ortocentro: ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned}}}$

El ortocentro está más cerca del incentro I que del centroide, y el ortocentro está más lejos que el incentro del centroide:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned}}}$

En términos de los lados a , b , c , inradio r y circunradio R , ^{[19] [20] : p. 449}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}}$

Triángulo órtico

El triángulo △ abc (respectivamente, △ DEF en el texto) es el triángulo órtico del triángulo △ ABC

Si el triángulo △ ABC es oblicuo (no contiene un ángulo recto), el triángulo pedal del ortocentro del triángulo original se llama triángulo órtico o triángulo de alturas . Es decir, los pies de las alturas de un triángulo oblicuo forman el triángulo órtico, △ DEF . Además, el incentro (el centro del círculo inscrito) del triángulo órtico △ DEF es el ortocentro del triángulo original △ ABC . ^[21]

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo órtico están dadas por $${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}}$$

Los lados extendidos del triángulo órtico se encuentran con los lados extendidos opuestos de su triángulo de referencia en tres puntos colineales . ^{[22] [23] [21]}

En cualquier triángulo acutángulo , el triángulo inscrito con el perímetro más pequeño es el triángulo órtico. ^[24] Esta es la solución al problema de Fagnano , planteado en 1775. ^[25] Los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices del triángulo original. ^[26]

El triángulo órtico de un triángulo agudo da una ruta de luz triangular. ^[27]

Las líneas tangentes del círculo de nueve puntos en los puntos medios de los lados de △ ABC son paralelas a los lados del triángulo órtico, formando un triángulo similar al triángulo órtico. ^[28]

El triángulo órtico está estrechamente relacionado con el triángulo tangente , construido de la siguiente manera: sea L _A la línea tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo △ ABC en el vértice A , y definamos L _B , L _C análogamente. Sea El triángulo tangente es △ A"B"C" , cuyos lados son las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo △ ABC en sus vértices; es homotético al triángulo órtico. El circuncentro del triángulo tangencial, y el centro de similitud de los triángulos órtico y tangencial, están en la línea de Euler . ^{[20] : p. 447} ${\displaystyle A''=L_{B}\cap L_{C},}$ ${\displaystyle B''=L_{C}\cap L_{A},}$ ${\displaystyle C''=L_{C}\cap L_{A}.}$

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo tangencial están dadas por El triángulo de referencia y su triángulo órtico son triángulos ortológicos . $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

Para obtener más información sobre el triángulo órtico, consulte aquí .

Algunos teoremas de altitud adicionales

Altitud en términos de los lados

Para cualquier triángulo con lados a, b, c y semiperímetro, la altura desde el lado a (la base) está dada por ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

Esto se deduce de la combinación de la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de los lados con la fórmula del área donde la base se toma como el lado a y la altura es la altitud desde el vértice A (lado opuesto a ). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},}$

Al intercambiar a por b o c , esta ecuación también se puede utilizar para encontrar las altitudes h _b y h _c , respectivamente.

Teoremas de radio interno

Considérese un triángulo arbitrario con lados a, b, c y con alturas correspondientes h _a , h _b , h _c . Las alturas y el radio del círculo inscrito r están relacionados por ^{[29] : Lema 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

Teorema del circunradio

Al denotar la altura de un lado de un triángulo como h _a , los otros dos lados como b y c , y el radio circunscrito del triángulo (radio del círculo circunscrito del triángulo) como R , la altura se da por ^[30]

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

Punto interior

Si p ₁ , p ₂ , p ₃ son las distancias perpendiculares desde cualquier punto P a los lados, y h ₁ , h ₂ , h ₃ son las alturas a los lados respectivos, entonces ^[31]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

Teorema del área

Denotando las alturas de cualquier triángulo de los lados a, b, c respectivamente como h _a , h _b , h _c , y denotando la semisuma de los recíprocos de las alturas como tenemos ^[32] ${\displaystyle H={\tfrac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Punto general sobre una altitud

Si E es cualquier punto sobre una altitud AD de cualquier triángulo △ ABC , entonces ^{[33] : 77–78}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

Desigualdad triangular

Como el área del triángulo es , la desigualdad del triángulo implica ^[34] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}}$ ${\displaystyle a<b+c}$

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$.

Casos especiales

Triángulo equilátero

Desde cualquier punto P dentro de un triángulo equilátero , la suma de las perpendiculares a los tres lados es igual a la altura del triángulo. Este es el teorema de Viviani .

Triángulo rectángulo

Comparación del teorema de Pitágoras inverso con el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c , cada uno de los catetos es también una altura: ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{a}=b}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{b}=a}$ . La tercera altura se puede hallar mediante la relación ^{[35] [36]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

Esto también se conoce como el teorema de Pitágoras inverso .

Tenga en cuenta en particular:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

Historia

El teorema de que las tres alturas de un triángulo coinciden (en el ortocentro) no se enuncia directamente en los textos matemáticos griegos supervivientes, pero se utiliza en el Libro de los Lemas (proposición 5), atribuido a Arquímedes (siglo III a. C.), citando el "comentario al tratado sobre triángulos rectángulos", una obra que no sobrevive. También fue mencionado por Pappus ( Colección matemática , VII, 62; c. 340). ^[37] El teorema fue enunciado y demostrado explícitamente por al-Nasawi en su comentario (siglo XI) al Libro de los Lemas , y atribuido a al-Quhi (  siglo X aprox. ). ^[38]

Esta prueba en árabe fue traducida como parte de las ediciones latinas (de principios del siglo XVII) del Libro de los Lemas , pero no era muy conocida en Europa, por lo que el teorema fue demostrado varias veces más entre los siglos XVII y XIX. Samuel Marolois lo demostró en su Geometrie (1619), e Isaac Newton lo demostró en un tratado inacabado Geometría de líneas curvas ( c. 1680). ^[37] Más tarde, William Chapple lo demostró en 1749. ^[39]

Una demostración particularmente elegante se debe a François-Joseph Servois (1804) e independientemente a Carl Friedrich Gauss (1810): Traza una línea paralela a cada lado del triángulo a través del punto opuesto, y forma un nuevo triángulo a partir de las intersecciones de estas tres líneas. Entonces el triángulo original es el triángulo medial del nuevo triángulo, y las alturas del triángulo original son las bisectrices perpendiculares del nuevo triángulo, y por lo tanto concurren (en el circuncentro del nuevo triángulo). ^[40]

Véase también

• Centro del triangulo
• Mediana (geometría)

Notas

1. Smart 1998, pág. 156
2. Berele y Goldman 2001, pág. 118
3. Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling "Enciclopedia de centros triangulares". Archivado desde el original el 19 de abril de 2012. Consultado el 19 de abril de 2012 .
4. Andreescu, Titu; Andrica, Dorin, "Números complejos de la A a la... Z". Birkhäuser, Boston, 2006, ISBN 978-0-8176-4326-3 , página 90, Proposición 3 
5. Dörrie, Heinrich, "100 grandes problemas de matemáticas elementales. Su historia y solución". Dover Publications, Inc., Nueva York, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , página 142 
6. Johnson 2007, pág. 163, Sección 255
7. «"Ortocentro de un triángulo"». Archivado desde el original el 5 de julio de 2012. Consultado el 4 de mayo de 2012 .
8. Johnson 2007, pág. 176, Sección 278
9. Panapoi, Ronnachai, "Algunas propiedades del ortocentro de un triángulo", Universidad de Georgia .
10. Smart 1998, pág. 182
11. Weisstein, Eric W. "Conjugado isotómico" de MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
12. Weisstein, Eric W. "Ortocentro". De MathWorld, un recurso web de Wolfram.
13. Altshiller-Court 2007, pág. 102
14. Bell, Amy, "Teorema del triángulo rectángulo de Hansen, su recíproco y una generalización", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
15. Weisstein, Eric W. "Parábola de Kipert". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
16. Weisstein, Eric W. "Hiperbola de Jerabek". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
17. Berele y Goldman 2001, pag. 123
18. Berele y Goldman 2001, págs. 124-126
19. Marie-Nicole Gras, "Distancias entre el circuncentro del triángulo extouch y los centros clásicos", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
20. Smith, Geoff, y Leversha, Gerry, "Euler y la geometría triangular", Mathematical Gazette 91, noviembre de 2007, 436–452.
21. William H. Barker, Roger Howe (2007). "§ VI.2: Las coincidencias clásicas". Simetría continua: de Euclides a Klein . American Mathematical Society. pág. 292. ISBN 978-0-8218-3900-3.Véase también: Corolario 5.5, pág. 318.
22. Johnson 2007, pág. 199, Sección 315
23. Altshiller-Court 2007, pág. 165
24. Johnson 2007, pág. 168, Sección 264
25. Berele y Goldman 2001, págs. 120-122
26. Johnson 2007, pág. 172, Sección 270c
27. Bryant, V., y Bradley, H., "Rutas de luz triangulares", Mathematical Gazette 82, julio de 1998, 298-299.
28. Kay, David C. (1993), Geometría universitaria: un enfoque de descubrimiento , HarperCollins, pág. 6, ISBN 0-06-500006-4
29. Dorin Andrica y Dan S ̧tefan Marinescu. "Nuevas desigualdades de interpolación para R ≥ 2r de Euler". Forum Geometricorum , volumen 17 (2017), págs. 149-156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
30. Johnson 2007, pág. 71, Sección 101a
31. Johnson 2007, pág. 74, Sección 103c
32. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
33. Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind, Problemas desafiantes en geometría , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.
34. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89 (noviembre de 2005), 494.
35. Voles, Roger, "Soluciones enteras de ", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
36. Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.
37. Newton, Isaac (1971). "3.1 La 'Geometría de las líneas curvas'" . En Whiteside, Derek Thomas (ed.). Los artículos matemáticos de Isaac Newton . Vol. 4. Cambridge University Press. págs. 454–455.Notas al pie de página de Whiteside 90-92, págs. 454-456.
38. Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2013). "Concurrencia de las alturas de un triángulo" (PDF) . Informes semestrales matemáticos . 60 (2): 249–260. doi :10.1007/s00591-013-0123-z.
    Hogendijk, Jan P. (2008). "Dos hermosos teoremas geométricos de Abū Sahl Kūhī en una traducción holandesa del siglo XVII". Tārīk͟h-e ʾElm: Revista iraní de historia de la ciencia . 6 : 1–36.
39. Davies, Thomas Stephens (1850). «XXIV. Geometría y geómetras» (PDF) . Revista filosófica . 3. 37 (249): 198–212. doi :10.1080/14786445008646583.Nota a pie de página en las págs. 207-208. Citado por Bogomolny, Alexander (2010). "Posiblemente la primera prueba de la concurrencia de altitudes". Cut The Knot . Consultado el 17 de noviembre de 2019 .
40. Servois, Francois-Joseph (1804). Solutions peu connues de différens problèmes de Géométrie-pratique [ Soluciones poco conocidas de varios problemas de práctica de geometría ] (en francés). Diabólicamente, Metz et Courcier. pag. 15.
    Gauss, Carl Friedrich (1810). "Zusatze". Geometrie der Stellung . Por Carnot, Lazare (en alemán). Traducido por Schumacher.republicado en Gauss, Carl Friedrich (1873). "Zusatze". Trabajo . vol. 4. Academia de Ciencias de Gotinga. pag. 396.
    Véase Mackay, John Sturgeon (1883). "El triángulo y sus seis círculos inscritos §5. Ortocentro". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 1 : 60–96. doi : 10.1017/S0013091500036762 .

Referencias

• Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], Geometría universitaria , Dover
• Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometría: teoremas y construcciones , Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
• Bogomolny, Alexander . "Existencia del ortocentro". Cortar el nudo . Consultado el 17 de diciembre de 2022 .
• Johnson, Roger A. (2007) [1960], Geometría euclidiana avanzada , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
• Smart, James R. (1998), Geometrías modernas (5.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Altitud". MundoMatemático .
• Ortocentro de un triangulo Con animación interactiva
• Demostración animada de la construcción del ortocentro. Compás y regla.
• El problema de Fagnano por Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project .